北师大版数学八年级下册 角平分线（2课时）教案

1.4角平分线第1课时角平分线的性质定理及逆定理教学目标【知识与能力】会证明角平分线的性质定理及其逆定理【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.【情感态度价值观】经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法.教学重难点【教学重点】正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.【教学难点】正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.教学过程一.情景导入，初步认知让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用.【教学说明】高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力.尤其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励.提高学生的积极性.二.思考探究，获取新知探究1：角平分线定理已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．【教学说明】请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．教师在教学过程中对有困难的学生要给予指导.【归纳结论】角平分线上的点到这个角两边的距离相等.探究2：角平分线的判定定理.已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∴PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．∴点P在∠AOB的角平分线上.【归纳结论】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.三.运用新知，深化理解1.见教材P29例12.如图，已知：∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC于E，AB=2AC.求证：CE=DE.证明：连接AE，由于∠C=90°，AB=2AC，∴∠B=30°，∠CAB=60°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=30°，∴∠CAE=60°－30°=30°，即AE是∠CAB的角平分线，∴CE=DE.3.如图，已知：E是∠AOB的平分线上的一点，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D.求证：OE垂直平分CD.证明：∵OE是∠AOB的平分线，∴CE=DE，∴Rt△OCE≌Rt△ODE，∴OC=OD，∴O与E都在CD的垂直平分线上，∴OE垂直平分CD.4.如图，已知：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：AD是EF的垂直平分线.证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴A与D都在EF的垂直平分线上，∴AD就是EF的垂直平分线.【教学说明】综合利用角平分线的性质和判定直角三角形.垂直平分线的相关性质解决问题.进一步发展学生的推论证明能力.在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范.四.师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.五.教学板书六.课后作业布置作业:教材“习题1.9”中第2、3题.七.教学反思这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决.学生掌握较好.

第2课时三角形三个内角的平分线教学目标【知识与能力】证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.【情感态度价值观】在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重难点【教学重点】三角形三个内角的平分线的性质.【教学难点】角平分线的性质定理和判定定理的综合应用.教学过程一.情景导入，初步认知本节课继续学习有关角平分线的性质和应用，讨论三角形中的角平分线.那么，今天的这节课的研究方法和内容还是和线段的垂直平分线很类似，在学习的过程中，要注意对比线段垂直平分线的研究方法来学习.【教学说明】通过老师的说明，对这节课的大体内容和总的研究方法有了整体的认识和把握，学生可以在一个比较高的起点上来学习本节课的内容.同时，由于老师点明了线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，学生初步感受到了数学中的和谐，对数学对象之间的相互联系有了感性的体验.在教师的帮助下提炼出数学中的联系，构建认知结构.二.思考探究，获取新知探究：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.1.证明：三角形的三条角平分线相交于一点已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．2.证明：这一点到三条边的距离相等如上图，P是△ABC的三条角平分线的交点，求证：PD=PE=PF.由上题的证明可知：PD=PE=PF.【教学说明】让学生把证明落实到笔上，可以培养学生的数学语言表达能力，也可以让学生自己监控自己的思维，培养学生思维的批判性.【归纳结论】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．三.运用新知，深化理解1.见教材P31例3.2.已知：如图，P点是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）OC=OD；（2）OP是CD的垂直平分线．证明：(1)P点是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．∴OC=OD(全等三角形对应边相等)．（2）又∵OP是∠AOB的角平分线，∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．3.如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?解：我找到四处．除了△ABC三条角平分线交点P外，在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P2、P3.因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3.4.作图证明：如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，交BC于F，垂足为O，连结DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）解：（1）画角平分线，线段的垂直平分线．（图形略）（2）△BOE≌△BOF≌△DOF（证明过程略）【教学说明】让学生首先自己思考例题的解决方法.分析例题的条件和结论，充分暴露自己的思维过程，让学生“观摩”，在此过程中使学生知道“老师是怎么想到的”.四.师生互动，课堂小结本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相