2021高考理科数学复习仿真模拟卷2

仿真模拟卷2

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.已知全集U=R,集合4={XHW4},那么等于()

A.(一8,—2)B.(2,+°°)

C.(-2,2)D.(一8,—2)U(2,+8)

答案D

解析：全集U=R,

集合人={卫』<4}={川一2Wx<2},

，CuA={4r<—2或x>2}=(-8,—2)U(2,+°°).

2.设复数z满足(2—i)z=2+i,则z在复平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析+则z在复平面内所对应的点的坐标为白事，位

2—1(2—1)(2+1)J

于第一象限.

3.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：℃)数据,

绘制如下折线图：

I月2月3月4月阴6月7月明9月10月11月12月月份

那么，下列叙述错误的是()

A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关

B.全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大

C.全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个

D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势

答案D

解析A项，各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关，故A正确；B项，由折

线图可知全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；C项,

全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月、2月、3月、11月、12月，共5个，

故C正确；D项，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值中，7

月至8月呈上升趋势，故D错误.

‘0+1,

4.设x,y满足约束条件则z=x-4y的最大值为（）

产一次

A.-2B.2C.0D.4

答案B

解析画出可行域如图所示阴影部分，将目标函数Z=x—4y,转化为），=%—上，平移直线y

=%,当直线在y轴上截距最小时，经过点从-2,-1）,此时，目标函数取得最大值，最大

值为2.

5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinBsinC=45sinA,△ABC的面

积为乎，a+b=3下,则c等于（）

A.4B.A/3

C.01或正D#或3

答案D

解析由sinBsinC=V^sin4,

及正弦定理得sin。=华，

又S^ABC=5加in3

解得ci=y/3,

又a+b=3小，・，・b=2小，

s।

.\sinC=2»则cosC=±2»

由余弦定理c2=a2+b2—2abcosC,

得C2=\5±6,解得c=3或c=yf21.

6.体育品牌Kappa的LOGO为於太可抽象为：如图背靠背而坐的两条优美的曲线，下列函

数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是()

人彳、sin6/.cos6.x

A.7(x)—2口―21/U)—2八一2一1

sin6xcos6x

JJ\X)—12%_2”•八x)—12*_2A|

答案D

解析因为B,C选项中的两个函数均是奇函数，故不符合题意；对于A,当x趋近于0且

足够小时，40<0,不符合题意；对于D,因为yu)=A—X),满足x趋近于0且足够小时函数

值段)>0.

7.(2020•德州模拟)已知2"=3・2"i,。一》=log।(』+2%+3),则实数a,b,c的大小关系是

2

()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.a>c>b

答案A

解析20=3•2-1,・・.2a~b+1=3>2,

Atz—/?+1>1,贝(Ia>b.

9：X2+2X+3=(X+1)2+222,

/.c—/?=log]logj2=-1,

22

b>c./.a>b>c.

8.如图，在正方体ABCO-AiBiGOi中，M,N,P分别是CQi，BC,4。|的中点，有下列

四个结论：

①AP与CM是异面直线；②AP,CM,相交于一点；③MN〃BD\：

④MN〃平面BB\D\D.

其中所有正确结论的序号是()

A.①④B.②④C.①③D.②③④

答案B

解析因为MP〃4C,MP^AC,所以4尸与CM是相交直线，又平面4AO£>m平面C\CDD\

=DDi,所以AP,CM,相交于一点，则①不正确，②正确；令ACC8O=。，因为M,

N分别是CiA,8c的中点，所以ON〃O|M〃C£）,且。N=AM=4c。，则四边形MNO。

为平行四边形，所以MN〃。力又平面BBiOi。，ODU平面BBiOiD,所以MN〃平面

BBiDiD,所以③不正确，④正确.

9.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多・斐波那契发现，因为斐波那契以兔

子繁殖为例子而提出，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列｛如｝满足0=1,。2=1，

a“=a,i+a,L2（〃》3,〃GN*）.如图是输出斐波那契数列的一个程序框图，现要输出斐波那契

数列的前50项，则图中的空白框应填入（）

4=1

8=1

/输足48/

I邑I3|

|C=4+8|

/输出C/

.I

Ii=i+lI

[W|

A.A=B,B=CB.3=A,C=B

C.C=A,B=CD.A=C,C=B

答案A

解析执行第1次，A=l,5=1,C=2,z—4,循环,

因为第二次应该计算C=l+2,i=i+l=5,循环,

执行第3次，因为第三次应该计算C=2+3,

由此可得图中的空白框应填入A=8,B=C.

10.已知定义在R上的函数段）满足川）=1,且对于任意的x,，（X）<一加成立，则不等式

Alg2^）2号+；的解集为（）

A(0,B.(0,]^ju(10,+°0)

C.(*,10)D.(10,+8)

答案B

解析设g(x)=/(x)—$一3，

由/■'(X)<一/得g'(»=/'(》)一3<0,

••・g(x)为减函数.

又70)=1,可得g(D=-i)—1=0,

由gOg%)<0=g⑴得lg2x>1,即lg2%-1>0

即(lgx+l)(lgx—1)>0,即lgx>l或lgx<—1,

解得x>10或

11.点P(l,l)是抛物线C：y=f上一点，斜率为k的直线/交抛物线C于点A,B,且布_LP8,

设直线孙，尸8的斜率分别为左1,k[,则()

A.2心+%2B1V+上

C.直线/过点(1,-2)D.直线/过点(-1,2)

答案D

解析设A(xi,x?),3(X2,均，

F11君一1i.A~1

则k\=7=x\+1,k2=7=X2+1,

Xj-1X2~1

才一京

k=~=xi+%2»所以％=h+22—2.

X\—X2

直线/的方程为y~x\=(xj+%2)(^~^1)»

即y=(X]+x2)X-X\X2,

因为办_LP8,所以⑶+1)。2+1)=—1,

即X\+12+2=一乃及，

代入方程整理得y—2=(x1+x2)(x+1),

则直线/过点(—1,2).

12.已知函数/U)=，5sin卷+$皿①工一坐(①>0),若7U)在(壬争)上无零点，则①的取值范

围是()

A.(0,力[§,+°°JB.(0,司哈，§

/21「81，28~

C.(o,D.(j,gju[l,+°°)

答案B

解析•・7(x)=V^sin2^+gsincox-2

坐(1-cos5)

22-日

4.兀3兀n.a>7rn兀3am兀

2*^，-2，贝k铲s—y一不

・•.（竽司-修一加"

则9241,又0>0,解得

0)717T

KTt^——

3,

又彳

3CU7T71

兀>

(4+1)y

28

-2JI-

339

41

-ykN-

3-6

V*GZ,・・・攵=0或-1.

2842

--当-N-

3一-3_G9

9;

2

又0<①W1,/.0<G

.U2]「28]

•,①气0,g.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（2020・全国I）设a,b为单位向量，且|a+例=1,则|。一。|=.

答案事

解析将|。+臼=1两边平方，得。2+206+辰=1.

，：a2=b2=l,

/.1+2aZ>+1=1,即21rb=-1.

\a-b\=yj（a—b）2=y]a2—2ab+b2

=个]-（-1）+1=小.

14.将一边长为1的正方形A3CO沿对角线3。折起，形成三棱锥C—A3D其正视图与俯视

图如图所示，则侧视图的面积为.

cc

正视图俯视图

答案I

解析由题中正视图和俯视图，结合折叠前的图，得三棱锥C—若。为BO的中点,

则CO_L平面ABD,AO^OC=-^,

则侧视图为Rt^COA,

其面积s=gx乎X乎=；.

15.某县城中学安排5位教师（含甲）去3所不同的农村小学（含A小学）支教，每位教师只能支

教一所农村小学，且每所农村小学都有教师支教.甲不去A小学，则不同的安排方法种数为

答案100

解析A小学若安排3人，则有C?A3=8（种），A小学若安排2人，则有C5C*A9=36（种），A

小学若安排1人，则有C（C计臂）A3=56（种），故共有8+36+56=100（种）.

16.（2020-泰安模拟）已知直线/：3x+4y+〃?=0,圆C：f+y2—4x+2=0,则圆C的半径r

=;若在圆C上存在两点4,B,在直线/上存在一点P,使得NAP3=90。，则实数加

的取值范围是.

答案72[-16,4]

解析由圆f+y2-4X+2=0,

得（X—2）2+V=2,

所以圆C的半径r=<2.

16+涧

①当直线/：3x+4y+加=0与圆C：f+.y2—4x+2=0有交点时，显然满足题意，此时班干布

W啦，

解得一6一—6-\-5y[2,

②当直线/：3x+4y+w=0与圆C：x2+y2—4x+2=0无交点时，此时,“<一6—56或m>-6

+5小，

“在圆C上存在两点A,B,在直线/上存在一点尸，使得乙4尸8=90。”等价于“直线/上存

在点P,过点P作圆的两条切线，其夹角大于等于90。”，

设两个切点为M,N,则NMPN290。，

所以NMPC245。，

所以sinNMPC=恃?2sin45°=半，

I*5乙

所以IPQW2,

根据题意可得直线/上存在点P,使得|PC|W2,

等价于|PC|minW2,

又IPC1的最小值为圆心C到直线/的距离，

所以解得-…4.

A/32+42

又6—5寸i或6+5，5,

所以一16W〃z<—6—5啦或一6+5也<机<4,

由①②可得实数〃z的取值范围是一16W勿2<4.

三、解答题(本大题共70分.第17〜21题为必考题，第22、23题为选考题)

(一)必考题共60分.

17.(12分)已知数列｛斯｝满足飙+1=2为一〃+1(〃£N*).

(1)若数列｛%｝是等差数列，求数列的前n项和S”；

(2)证明：数列｛斯+2｝不可能是等比数列.

(1)解设数列｛。1｝的首项为公差为d.

则an+]=an+d,代入已知得斯=〃+d—1,

又atJ=a\+(n—l)d9即a\+[n—\)d=n+d—1,

所以对应系数相等，

易得0=1,d—1,所以

、门1111

设C〃=--------，贝I」G尸/_1_1'=二一二7,

anan+\〃(九十1)nn-r1

”…八.1JL,11n

所以S,=1—尹]―Q+…+广干=干・

⑵证明假设数列｛”,,+2｝是等比数列，

则(02+2)2=3+2)3+2),

由已知a〃+i=2o〃一〃+l(n^N*),

可得ai=2a\,〃3=2。2—1=4。]-1,

代入(02+2)2=3+2)(的+2),

易得0=2,42=4,"3=7,"4=12.

于是数列｛斯+2｝的前4项为4,6,9,14,

显然它不是等比数列，

所以数列｛斯+2｝不可能是等比数列.

18.(12分)厂家在产品出厂前，需对产品做检测，第一次检测厂家的每件产品合格的概率为

0.5,如果合格，则可以出厂；如果不合格，则进行技术处理，处理后进行第二次检测.每件

产品的合格率为0.8,如果合格，则可以出厂，不合格则当废品回收.

(1)求某件产品能出厂的概率；

⑵若该产品的生产成本为800元/件，出厂价格为1500元/件，每次检测费为100元/件，技

术处理每次100元/件，回收获利100元/件.假如每件产品是否合格相互独立，记^为任意

一件产品所获得的利润，求随机变量q的分布列与均值.

解(1)设“某件产品第一次检测合格”为事件A,“某件产品第二次检测合格”为事件B,

则P(A)=0.5,

尸(B)=0.5X0.8=04

所以某件产品能够出厂的概率P=0.5+0.4=0.9.

(2)由已知，若该产品不合格，则

-(800+100X2+100)+100=-!000,

若该产品经过第二次检测才合格，则

4=1500-(800+100X2+100)=400,

若该产品第一次检测合格，则

4=1500—(800+100)=600,

所以4的所有可能取值为一1000,400,600.

P(c=-1000)=(l-0.5)X(l-0.8)=0.1,

尸4=400)=(1-0.5)X0.8=0.4,

P((f=600)=0.5.

故4的分布列为

-1000400600

P0.10.40.5

£（^）=-1000X0.1+400X0.4+600X0.5=360（元）.

19.（12分）如图，在三棱锥。一ABC中，AB=BC=2小,DA=DC=AC=4,平面平

面A8C,点M在棱3c上.

(1)若M为BC的中点，证明：BCVDM-,

(2)若OC与平面D4M所成角的正弦值为坐，求AM.

⑴证明取AC的中点0,连接。8,0D.

因为D4=Z)C,所以0£>_LAC.

又因为平面ADUL平面A8C,且相交于AC,

所以0£>J_平面ABC,

又08U平面A8C,所以

因为A82+BC2=AC2,所以AB_LBC,

所以0B=0C,所以AOBD咨AOCD,

所以。B=QC,且M为BC的中点，所以8CLOM.

(2)解如图，以0为坐标原点，02的方向为x轴正方向，0C的方向为y轴正方向，。。的

方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，

由已知得4(0,-2,0),C(0,2,0),0(0,0,2小),

而=(0,2,2小)，诙=(0,2,-2小)，

设M(a,2-a,0)(0—),

则AM=(〃,4—〃,0).

设平面D4M的法向量为〃=(x,y9z).

―-f2y+2小z=0,

由A£>〃=0,AMn=0得，

9[or+(4—〃)y=0,

可取〃=(小(a—4),小a,一〃)，

设£>C与平面DAM所成的角为仇

|2小〃+2岛

所以sin9=|cos(DC,〃)|=

4yl3(〃一钎+3/+邛

解得a=-4(舍去)或“4则而=岸，0),

所以AM=|褊=^0+02=生$.

20.(12分)已知?(0,1)为平面上一点，，为直线/：)，=一1上任意一点，过点”作直线/的垂

线m，设线段F”的中垂线与直线胆交于点P,记点P的轨迹为「

(1)求轨迹厂的方程；

(2)过点尸作互相垂直的直线AB与C£>,其中直线A8与轨迹广交于点A,B,直线CO与轨

迹广交于点C,D,设点M,N分别是AB和8的中点，求面积的最小值.

解(1)设点尸(x,y),则”(x,-1),

设尸〃的中点为M,则耀，0),

"：PM为"7的中垂线，

**•当xWO时，kpM，k，FH=11,

即m.2=-1，，f=4y,

X—X/

2

当x=0时，M(0,0),则P(0,0),

综上所述，点P的轨迹「的方程为f=4y

⑵设直线AB的斜率为k,则直线CD的斜率为一尢

•.•直线AB与轨迹广交于点A,B,直线CO与轨迹广交于点C,D,

，直线AB的方程为y=fcv+l,直线CD的方程为),=—pv+1,

设A3,》)，8(X2,y2),联立直线AB与曲线厂方程

丫=4丫，

\:得«_4"_4=0,

[y=H+l,

•»xi4~12=4%,

即空=2七审=%b+,)+2=2牛+1,

•.•点〃是48的中点，：.M(2k,2lc+l),

同理Md，1+1),

设点'(一£1+1)到直线A&自—>+1=0的距离为乩

.J一杀一信+D+)J—121俵+2

yjk2-}-11.F+1，

\FM\=#(2-0)2+(21+—Ip=#41伍+1),

[1甲+2,2

SAFMN=]dlFM]=^XX标伍+1)=J-+2k》4,

当且仅当木2=2因，即z=±1时，等号成立.

IN

••.△FMN面积的最小值为4.

21.(12分)已知函数y(x)=--—+(n+l)lnx—x-a.

⑴讨论危)的导函数r(X)零点的个数；

(2)若7U)的最小值为e-l,求a的取值范围.

解(1)/U)的定义域为(0,+8),

H/、(%—1)eA—x2+(a+1)x—a

f田=P

(x—l)ev—(x—l)(x—a)(x—l)(ev—x+a)

=?=『，

令/(x)=0,解得x=l或e'—x=—■”，

令g(x)=泡一xgO),则g'(x)=e*-l>0,

故g(x)在(0,+8)上单调递增，

故g(x)>g(O)=l.

又当x=l时1一1=—a=a=1—e.

故当a》-1或a=l—e时，/'(x)只有一个零点；

当1—e<a<—1或a<l—e时，/(x)有两个零点.

(2)当a2一1时，e“一x+a>0,

所以7U)在(o,i)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

则兀r)在x=l处取得最小值式l)=e—l+n—n=e—1,符合题意.

当4<一1时，则>=6,一X在(0,+8)上单调递增，

则必存在正数X0使得e%—xo+a=O.

若a<l—e,则超>1,在(0,1)和(xo,+8)上单调递增，在(1,知)上单调递减，

又式l)=e—1习由)),故不符合题意.

若”=1—e,则M)=1,

所以ra)2o,述X)在(o,+8)上单调递增，

又y(l)=e-l,故不符合题意.

若则05<1,式x)在(0,必)和(1,+8)上单调递增，在(沏,1)上单调递减，

当X-0,«x)f—8时，与火x)的最小值为e—1矛盾.

综上，a的取值范围