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向量数乘和线性运算

PART

向量数乘和线性运算

01

探究

相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如2+2+2=3×2=6.

那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？

探究

已知非零向量做出++和++,并说明

它们的几何意义.

-

-

-

A

B

C

N

M

Q

P

把++记作3,3与的方向相同,长度是的3倍,即

=3

++=3,显然3与的方向相反，

3的长度是的3倍,即=3.

一.数乘向量

定义：实数与向量的乘积是一个向量,记作，

它的长度与方向规定如下：

⑴=；

⑵(0)的方向

特别地,当=0或=时,=；

(3)数乘向量得到的仍然是向量;向量与实数不能进行

加减运算,如＋－2无法运算．

几何意义：把向量沿着的方向或的反方向放大或缩小.

二.数乘向量的运算律

设为实数,那么

⑴=；(数乘结合律)

⑵=；(第一分配律)

⑶=(第二分配律)

特别地,有=-==-。

向量的加法,减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算.

快问快答

判断对错

(1)若=0,则=0;

(2)若=0,则=0;

(3)若非零向量,满足=+,0,则与

同向;

(4)对于实数和向量,,若=,则=;

(5)对于实数,和向量,若=,则=;

(6)=;

(7)(+)=+

×

×

×

×

×

×

×

例1

1.化简下列各式:

(1)4(2-3)+5(3-2);

(2)4(3-4+)-3(2+-3);

答案:(1)23-22(2)6-19+13

例2

2.求未知向量:

(1)+2(+)=0;

(2)2(-)-(-3+)+=0.

答案：(1)=-

共线向量基本定理

艾坤山东省实验中学西校

PART

平行向量基本定理

01

复习与思考

复行（共线）向量的定义？

思考：

1.与有何关系？()

2.如果=,那么,是共线向量？

3.反过来,如果与是共线向量,那么=？

平行向量基本定理

平行向量基本定理如果=,则∥；反之,如果∥,

且,则一定存在唯一一个实数,使=.即

与共线=(0)

思考：(1)为什么要是非零向量？

(2)可以是零向量吗？

应用

定理的应用:

证明向量共线

证明三点共线:=A,B,C三点共线

证明两直线平行:

例1

已知=3,=-2,试问向量与是否平行？并求:.

解：由=-2得=-,代入=3得=-.

因

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