几何五大模型之五(燕尾定理)

几何五大模型之五(燕尾定理).燕尾定理是指在三角形ABC中，如果AD，BE，CF相交于同一点O，那么三角形ABO与三角形ACO的面积比等于线段BD与线段DC的比。这个定理可以用来转化面积比和线段比，因为三角形ABO和三角形ACO的形状很像燕子的尾巴。这个定理可以在任何三角形中使用，为三角形中的三角形面积提供了联系的途径。举个例子，如图所示，D是BC上的任意一点，那么S1:S4=S2:S3=BD:DC。因为三角形BED和三角形CED同高，分别以BD和DC为底，所以S1:S4=BD:DC；三角形ABE和三角形EBD同高，所以S1:S2=ED:EA；三角形ACE和三角形CED同高，所以S4:S3=ED:EA。因此，S1:S4=S2:S3=BD:DC。接下来是一些练习题。在三角形ABC中，如果E是AC的中点，BD:DC=1:2，AD与BE交于点F，那么四边形DFEC的面积是多少？答案是1/3。在三角形ABC中，BD=DC，EC=2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分的面积。答案是10。在三角形ABC中，AE:EC=3:5，BD:DC=2:3，AD与BE交于点F，那么四边形DFEC的面积是多少？答案是84。在三角形ABC中，BD=3DC，EC=2AE，BE与CD相交于点O，那么四个部分的面积各占三角形ABC面积的几分之几？答案是7/12。在△ABC中，CP=CB，CQ=CA，BQ与AP相交于点X，如果△ABC的面积是6，那么△ABX的面积是多少？答案是2。在三角形ABC中，BD=2DC，CE=2AE，AD与BE相交于点F，请写出四个部分的面积各是多少？答案是S1=S2=S3=1/9，S4=4/9。【巩固】已知四边形DFEC中DF与EC交于点G，且E在AC上，D在BC上，且AE:EC=2:3,BD:DC=1:2，AD与BE交于点F．若四边形DFEC的面积为22cm²，则求三角形ABC的面积。【巩固】如图，三角形ABC中，C为直角，已知AC=2，CD=2，CB=3，AM=BM，求三角形AMN（阴影部分）的面积。【巩固】已知长方形ABCD的面积为2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点，求阴影部分的面积。【例2】如图所示，在四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，且四边形AEOF的面积为12，求平行四边形BODC的面积。【例3】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则求四边形AGCD的面积。【例4】已知正方形ABCD的面积为120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。【例5】如图所示，在△ABC中，BE:EC=3:1，D是AE的中点，求AF:FC。【巩固】在△ABC中，BD:DC=3:2，AE:EC=3:1，求OB:OE。【巩固】在△ABC中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求OB:OE。【例6】如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=AB/11，CF=BC/11，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则求△AEG与△CGF的面积之和。【例7】如右图，三角形ABC中，BD:DC=4:9，CE:EA=4:3，求AF:FB。【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC=3:4，AE:CE=5:6，求AF:FB。【巩固】如图，BD:DC=2:3，AE:CE=5:3，求AF:BF。【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC=2:3，EA:CE=5:4，求AF:FB。【例8】三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为3/5，三角形AGE的面积为2/5，三角形GHI的面积为1/5。【巩固】如图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积。【巩固】如图，三角形ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么三角形ABC的面积是阴影三角形面积的4倍。【巩固】如图，在△ABC中，$\frac{DCE}{AFB_1}=\frac{DBECFA_2}{GHI}$，求△ABC的面积。【课后作业】1、如图，已知BD=3DC，EC=2AE，BE与CD相交于点O，则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC面积的$\frac{2}{15}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{15}$，$\frac{1}{3}$。2、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是7。3、右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么阴影三角形的面积是2。4、如图，三角形ABC的面积是1，BD=2DC，CE=2AE，AD与BE相交于点F，则四个部分的面