广东省揭阳市神泉中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析

广东省揭阳市神泉中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，那么等于

A.

B.

C.

D.参考答案：D由，得，即，解得，所以，选D.2.，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.右边程序运行后输出的结果为A．10

B．9

C．6

D．5参考答案：B4.如下图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有个点，每个图形总的点数记为，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.若，则下列结论不正确的是A.

B.C.

D.参考答案：D7.已知，则等于

(

)A． B．

C． D．参考答案：D8.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断．【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A，（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B，（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．9.等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知函数的图象与直线恰有三个公共点,则实数的取值范围是

（）A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，则的值为

参考答案：1略12.已知A,B,C在球的球面上，AB=1,BC=2，，且点O到平面ABC的距离为2，则球的表面积为

.参考答案：.中用余弦定理求得，据勾股定理得为直角，故中点即所在小圆的圆心；面，在直角三角形中求得球的半径为；计算球的表面积为.13.在锐角三角形ABC中，=______.参考答案：-2略14.已知直线与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点，若，则实数

.参考答案： 15.已知，函数的最小值为2，则的最小值为

参考答案：216.已知函数，若成立，则＝________.【解析】因为f(x)dx＝(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4?a＝－1或a＝. 参考答案：因为f(x)dx＝(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4?a＝－1或a＝. 【答案】

17.已知向量，则在方向上的投影为_______.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中,a,,bc分别为角A,B,C的对边，且.（1）若b=6，求sinC及；（2）若D,E在线段BC上，且，求AD的长.参考答案：（Ⅰ）∵，，，在△ABC中，由正弦定理，

得，

又，所以，则C为锐角，所以，则，

所以（Ⅱ）设，则，又，，在△ABE中，由余弦定理得，即，解得（取正），则，,所以，在直角△ADE中，．19.如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）根据OA=OD，得到∠ODA=∠OAD，结合AD是∠BAC的平分线，得到∠OAD=∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE．再根据DE⊥AE，得到DE⊥OD，结合圆的切线的判定定理，得到DE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接OD，BC，设AC=2k，AB=5k，可证OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=k，然后通过OD∥AE，利用相似比即可求出的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD∵∠BAC的平分线是AD∴∠OAD=∠DAC∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；

…5分（Ⅱ）解：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，又OD∥AE，∴∠OGB=∠ACB=90°，∴OD⊥BC，∴G为BC的中点，即BG=CG，又∵=，∴设AC=2k，AB=5k，根据中位线定理得OG=k，∴DG=OD﹣OG=k，又四边形CEDG为矩形，∴CE=DG=k，∴AE=AC+CE=k，而OD∥AE，∴可得…10分20.选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根．（I）证明：C，B，D，E四点共圆；（II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径．参考答案：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC，

即.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

所以C，B，D，E四点共圆．

（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.故

AD=2，AB=12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=900，故GH∥AB，HF∥AC.HF=AG=5，DF=(12-2)=5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为521.（12分）（2015?福安市校级模拟）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角B的大小；（2）如图，在△ABC内取一点P，使得PB=2．过点P分别作直线BA、BC的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PBA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．参考答案：【考点】正弦定理．

【专题】解三角形．【分析】（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），可得A=B或A+B=．由于C=，即可得出．（2）由题设，得在Rt△PMB中，PM=PB?sin∠PBM=2sinα；在Rt△PNB中，同理可得PN=2sin（﹣α），α∈（0，）．于是PM+PN=2sin（α+）．由于α∈（0，），可得sin（α+）∈（，1]，即可得出．解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），∴有A=B或A+B=．

又∵C=，得A+B=，与A+B=矛盾，∴A=B，因此B=．（2）由题设，得在Rt△PMB中，PM=PB?sin∠PBM=2sinα；在Rt△PNB中，PN=PB?sin∠PBN=PB?sin（﹣∠PBA）=2sin（﹣α），α∈（0，）．∴PM+PN=2sinα+2sin（﹣α）=sinα+cosα=2sin（α+）．∵α∈（0，），∴α+∈（，），从而有sin（α+）∈（，1]，即2sin（α+）∈（，2]．于是，当α+=，即α=时，PM+PN取得最大值2．【点评】本题查克拉正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.（本小题满分12分）某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：中学

人数

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查.（1）问四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列.参考答案：（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，

抽取的样本容量与总体个数的比值为.

∴应从四所中学抽取的学生人数分别为.

……………4分（2）解：设“从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生的取法共有C种，…5分这两名学生来自同一所中学的取法共有CCCC.

…………6分∴.答：从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为.