概率论和数理统计知识点总结超详细版

概率论和数理统计知识点总结超详细版i}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。如果事件A包含在事件B中，那么我们称事件B包含事件A。如果事件A和事件B至少有一个发生，那么我们称事件A与事件B的和事件为AB。如果事件A和事件B同时发生，那么我们称事件A与事件B的积事件为AB。如果事件A发生，但是事件B不发生，那么我们称事件A与事件B的差事件为A—B。如果事件A与事件B互不相容，那么我们称它们是互不相容的，或互斥的。如果事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件。在概率论中，有一些运算规则需要遵守。比如交换律，结合律，分配律和德摩根律。频率和概率也是概率论中的重要概念。频率是指在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。概率是指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率。概率有三个基本条件，即非负性、规范性和可列可加性。此外，概率还有一些重要性质，比如P()0，P(Ak)P(Ak)（n可以取），P(BA)P(B)P(A)，P(A)1，P(AB)P(A)P(B)P(AB)等。在等可能概型中，试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。如果事件A包含k个基本事件，即A{ei}{ei}{ei}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。注意到$kn-kknp(p+q)$是二项式的展开式中出现的那一项，我们称随机变量$X$服从参数为$n,p$的二项分布。泊松分布是指随机变量$X$所有可能取的值为$0,1,2,\ldots$，而取各个值的概率为$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$，其中$\lambda>0$是常数。若$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，则记为$X\sim\pi(\lambda)$。随机变量$X$的分布函数$F(x)=P(X\leqx)$具有以下性质：(1)$F(x)$是一个不减函数；(2)$0\leqF(x)\leq1$，且$F(-\infty)=0,F(\infty)=1$；(3)$F(x+)=F(x)$，即$F(x)$是右连续的。若对于随机变量$X$的分布函数$F(x)$，存在非负可积函数$f(x)$，使对于任意实数$x$有$F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt$，则称$X$为连续性随机变量，其中函数$f(x)$称为$X$的概率密度函数，简称概率密度。概率密度$f(x)$具有以下性质：(1)$f(x)\geq0$；(2)$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$；(3)$P(x_1\leqX\leqx_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx$；(4)若$f(x)$在点$x$处连续，则$F'(x)=f(x)$。均匀分布是指若连续性随机变量$X$在区间$(a,b)$上具有概率密度$f(x)=\frac{1}{b-a}$，则称$X$在区间$(a,b)$上服从均匀分布，记为$X\simU(a,b)$。指数分布是指若连续性随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0\\0,&x\leq0\end{cases}$，其中$\theta>0$为常数，则称$X$服从参数为$\theta$的指数分布。正态分布是指若连续型随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu,\sigma(\sigma>0)$为常数，则称$X$服从参数为$\mu,\sigma$的正态分布或高斯分布，记为$X\simN(\mu,\sigma^2)$。特别地，当$\mu=0,\sigma=1$时称随机变量$X$服从标准正态分布。设随机变量$X$具有概率密度$f_X(x)$，函数$g(x)$恒有$g'(x)>0$，则$g(X)$是连续型随机变量，其概率密度为$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot|(g^{-1})'(y)|$，其中$g^{-1}(y)$是$g(x)=y$的解。(x)FY(y)，其概率密度为fmax(z)=fX(z)fY(z)同理，N=min{X,Y}的分布函数为Fmin(z)=P{X≤z,Y≤z}=FX(z)FY(z)，其概率密度为fmin(z)=fX(z)fY(z)需要注意的是，当X和Y不相互独立时，M和N的分布函数和概率密度并不容易求解。因此，在处理M和N的分布时，需要先确定X和Y是否相互独立，然后再根据相互独立的情况使用相应的公式求解。相互独立的随机变量是概率论中一个重要的概念。如果两个随机变量X和Y相互独立，那么它们的联合概率分布可以拆分成两个边缘分布的乘积。此外，在处理多个正态随机变量时，可以使用线性组合的方法来求解它们的分布。另外，当需要求解最大值或最小值时，需要先确定随机变量之间是否相互独立，然后再使用相应的公式进行求解。小于无穷大的任意正数k，有P{|X-E(X)|≥k}≤D(X)/k2。在本章中，我们学习了随机变量的数字特征，包括数学期望和方差。对于离散型随机变量，我们定义了它的分布律为P{X=k}=pk，其中pk表示X等于k的概率。若级数∑kpk绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)=∑kpk。对于连续型随机变量，我们定义它的概率密度为f(x)，若积分∫-∞+∞xf(x)dx绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)=∫-∞+∞xf(x)dx。我们还学习了数学期望的几个重要性质，包括常数和随机变量的线性性、相互独立随机变量的乘积的期望等。接着，我们引入了方差的概念，定义为E{(X-E(X))2}，记为D(X)，其中E(X)表示随机变量X的数学期望。我们还引入了标准差或均方差的概念，记为σ(X