新人教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程全套练习题

3．1椭圆3．1.1椭圆及其标准方程学习指导核心素养1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程．1.数学抽象：结合教材实例理解椭圆的定义及应用．2.逻辑推理、数学运算：椭圆标准方程的推导及求解．第1课时椭圆及其标准方程(一)知识点一椭圆的定义(1)定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.(1)椭圆的定义中提到的“常数”一般用2a表示，焦距一般用2c表示．设点M(x，y)是椭圆上任意一点，则椭圆的定义的数学表达式为|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2.(3)当2a＜|F1F2|时，点的轨迹不存在．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．()(2)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．()(3)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．()(4)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．()解析：(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆．(2)×.2a＜|F1F2|，动点不存在，因此轨迹不存在．(3)√.符合椭圆的定义．(4)×.平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形焦点坐标(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2椭圆的标准方程的特征(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．(2)代数特征：左边是“平方＋平方”，右边是“1”，椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分式的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分式的分母较大．1．已知a＝5，c＝2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为________．解析：由已知得b2＝a2－c2＝21，于是椭圆的标准方程为eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,21)＝1.答案：eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,21)＝12．若椭圆方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．解析：因为10＞6，所以焦点在x轴上，且a2＝10，b2＝6，所以c2＝10－6＝4，c＝2，故焦点坐标为(2，0)和(－2，0).答案：x(2，0)和(－2，0)考点一待定系数法求椭圆的标准方程求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)；(2)椭圆的焦点在y轴上，且椭圆与y轴的一个交点为P(0，－10)，点P到离它较近的一个焦点的距离等于2.【解】(1)由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0).因为椭圆经过点(2，0)和点(0，1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＝1，,\f(1,b2)＝1，,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.,))所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0).因为点P(0，－10)在椭圆上，所以eq\f(100,a2)＝1，所以a2＝100.因为点P到离它较近的一个焦点的距离为2，所以－c－(－10)＝2，所以c＝8，所以b2＝a2－c2＝36.所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1.利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能．(2)设方程：依据上述判断设出椭圆的方程．(3)寻关系：依据已知条件，建立关于a，b，c的方程组．(4)解方程组：将求得的结果代入所设方程即为所求．[提醒]在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．求经过两点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))的椭圆的标准方程．解：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2)m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2)n＝1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4.))所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1.考点二椭圆的定义及其应用如图所示，已知过椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．若|F1A|＋|F1B|＝12，试求弦AB的长．【解】由椭圆方程eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1可得a＝5，故由椭圆定义有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以|AB|＝(|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|)－(|F1A|＋|F1B|)＝20－12=8.故弦AB的长为8.椭圆定义的双向运用判断(正用)符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆求值(逆用)椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a1．椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，点N是MF1的中点，则|ON|等于________．解析：设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝8，知|MF2|＝8－2＝6.又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝3.答案：32．若椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，则椭圆的标准方程为________．解析：椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0).由椭圆的定义，知2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))\s\up12(2))＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(10),2)＋eq\f(\r(10),2)＝2eq\r(10)，所以a＝eq\r(10).又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.答案：eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1考点三椭圆标准方程的识别已知方程eq\f(x2,8－t)＋eq\f(y2,t－3)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，求t的取值范围．【解】因为方程eq\f(x2,8－t)＋eq\f(y2,t－3)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8－t＞0，,t－3＞0，,8－t＞t－3，))解得3＜t＜eq\f(11,2).所以t的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(11,2))).根据椭圆方程求参数的取值范围(1)给出方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，其表示椭圆的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞0，,n＞0，,m≠n，))其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0.(2)若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式eq\f(x2,\f(C,A))＋eq\f(y2,\f(C,B))＝1，再研究其焦点的位置等情况．1．“0＜t＜1”是“曲线eq\f(x2,t)＋eq\f(y2,1－t)＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B.曲线eq\f(x2,t)＋eq\f(y2,1－t)＝1表示椭圆等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＞0，,1－t＞0，,t≠1－t，))解得0＜t＜1且t≠eq\f(1,2).所以“0＜t＜1”是“曲线eq\f(x2,t)＋eq\f(y2,1－t)＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.2．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则实数k的值为________．解析：易知k＞0，方程2kx2＋ky2＝1变形为eq\f(y2,\f(1,k))＋eq\f(x2,\f(1,2k))＝1，所以eq\f(1,k)－eq\f(1,2k)＝16，解得k＝eq\f(1,32).答案：eq\f(1,32)1．若椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B.由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，则|PF2|＝10－6＝4.2．椭圆y2＋4x2＝1的焦距为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\r(3)C．2eq\r(3) D．eq\r(5)解析：选B.由椭圆的方程y2＋4x2＝1，得a2＝1，b2＝eq\f(1,4).又由c2＝a2－b2，得c2＝eq\f(3,4)，解得c＝eq\f(\r(3),2)，所以焦距2c＝eq\r(3).故选B.3．(2022·北京怀柔区高二期中)已知椭圆的焦点为(0，4)，(0，－4)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1C．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1 D．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1解析：选D.由已知，椭圆的焦点在y轴上，且c＝4.由椭圆定义得，2a＝10，则a＝5，则b＝3，从而椭圆的标准方程为eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1，故选D.4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＋c＝10，a－c＝4；(2)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2).解：(1)由a＋c＝10，a－c＝4，得a＝7，c＝3.所以b2＝a2－c2＝40.故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,40)＝1或eq\f(y2,49)＋eq\f(x2,40)＝1.(2)由题意知c＝2，且焦点坐标分别为F1(0，－2)，F2(0，2).由|MF1|＋|MF2|＝2a，即2a＝eq\r(（3－0）2＋（2＋2）2)＋eq\r(（3－0）2＋（2－2）2)＝8，可得a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.[A基础达标]1．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为()A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1解析：选D.由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝9，,0＋\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝18，,b2＝9，))故椭圆的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.2．已知椭圆C：eq\f(x2,13－2m)＋eq\f(y2,m－1)＝1的焦点在x轴上，且焦距为2eq\r(2)，则m＝()A．2B．3C．4D．5解析：选C.因为椭圆C是焦点在x轴上的椭圆，所以a2＝13－2m，b2＝m－1.又2c＝2eq\r(2)，所以13－2m－(m－1)＝2，解得m＝4.3．(2021·新高考卷Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A．13 B．12C．9 D．6解析：选C.由椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))eq\s\up12(2)＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C.4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4eq\r(5)的椭圆方程是()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1 B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)＝1C．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,45)＝1 D．eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,85)＝1解析：选B.由9x2＋4y2＝36可得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5.又2b＝4eq\r(5)，所以b＝2eq\r(5)，a2＝25，所以所求椭圆方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)＝1.5．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq\r(15)，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知2a＝8，2c＝2eq\r(15)，所以a＝4，c＝eq\r(15)，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋x2＝1.答案：eq\f(y2,16)＋x2＝16．(2022·江苏省侯集高级中学高二期末)已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．解析：设另一焦点为F，由点F在BC边上，所以△ABC的周长l＝|AB|＋|BC|＋|CA|＝|AB|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝2eq\r(3)＋2eq\r(3)＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)7．已知方程eq\f(x2,m＋9)＋eq\f(y2,25－m)＝1.(1)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；(2)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围．解：(1)依题意，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25－m＞0，,m＋9＞0，,m＋9＜25－m，))解得－9＜m＜8.故实数m的取值范围为(－9，8).(2)依题意，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋9＞0，,25－m＞0，,m＋9≠25－m，))解得－9＜m＜25且m≠8，故实数m的取值范围是(－9，8)∪(8，25).[B能力提升]8．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是()A．9 B．16C．25 D．27解析：选C.由椭圆的方程得a＝5，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,2)))eq\s\up12(2)＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时等号成立．9．(多选)(2022·山东省实验中学高二期中)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的是()A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为eq\r(n)D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解析：选AD.若m＞n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，其中eq\f(1,m)＜eq\f(1,n)，所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确，B错误；若m＝n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝eq\f(1,n)，此时曲线C表示圆心在原点，半径为eq\f(\r(n),n)的圆，故C错误；若m＝0，n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝eq\f(1,n)，即y＝±eq\f(\r(n),n)，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选AD.10．椭圆x2＋ky2＝1的焦距为eq\r(2)，则k的值为________．解析：因为2c＝eq\r(2)，所以c2＝eq\f(1,2).因为椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,k))＝1，所以当焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝eq\f(1,k)，那么c2＝1－eq\f(1,k)＝eq\f(1,2)，所以k＝2；当焦点在y轴上时，a2＝eq\f(1,k)，b2＝1，那么c2＝eq\f(1,k)－1＝eq\f(1,2)，所以k＝eq\f(2,3).综上可得k＝2或eq\f(2,3).答案：2或eq\f(2,3)11．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为________．解析：易知|AF2|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(3,2)，|F1F2|＝2.由椭圆的定义，得|AF1|＝2a－eq\f(3,2)①.在Rt△AF2F1中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋22＝eq\f(25,4)②.由①②得a＝2，所以b2＝a2－12＝3.故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝112．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；(2)过点(－3，2)且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点．解：(1)由题意知，2a＝26，即a＝13.又c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1或eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.(2)依题意，知椭圆的焦点坐标为(±eq\r(5)，0).设所求方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－5)＝1(a2＞5)，将点(－3，2)代入，得a2＝15，则所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.第2课时椭圆及其标准方程(二)考点一椭圆中的焦点三角形问题已知P为椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．【解】由已知得c＝3，所以|F1F2|＝6.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4eq\r(3)，即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②由①②得|PF1|·|PF2|＝4，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝eq\r(3).(变条件)若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积．解：由椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1知|PF1|＋|PF2|＝4eq\r(3)，|F1F2|＝6.因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝36.所以|PF1|·|PF2|＝6.所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝3.焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cosθ(θ＝∠F1MF2).(3)焦点三角形的面积S△F1MF2＝eq\f(1,2)|MF1||MF2|sinθ(θ＝∠F1MF2).设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则∠F1PF2＝________．解析：因为|PF1|∶|PF2|＝4∶3，所以可设|PF1|＝4k，|PF2|＝3k.由题意可知3k＋4k＝2a＝14，所以k＝2，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.因为|F1F2|＝10，|PF1|2＋|PF2|2＝102＝|F1F2|2，所以∠F1PF2＝90°.答案：90°考点二与椭圆有关的轨迹问题(1)已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是()A．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)(2)已知P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．【解析】(1)由|AB|＋|AC|＝12>|BC|＝8，得点A的轨迹是以点B，C为焦点的椭圆．设椭圆方程为eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a>b>0)，则c＝4，a＝6，所以b2＝a2－c2＝20，所以椭圆方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1.又因为A，B，C三点要构成三角形，所以点A的轨迹方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0).故选B.(2)设P(xP，yP)，Q(x，y)，由中点坐标公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(xP,2)，,y＝\f(yP,2)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xP＝2x，,yP＝2y.))又点P在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上，所以eq\f(（2x）2,4)＋eq\f(（2y）2,8)＝1，即x2＋eq\f(y2,2)＝1.【答案】(1)B(2)x2＋eq\f(y2,2)＝1求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法直接求解．(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程．一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．解：两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3，0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由题意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，所以|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6.由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.1．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当|MF1|＋|MF2|＞|F1F2|时，M的轨迹才是椭圆．2．已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．解析：由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝－eq\f(1,2).故∠F1PF2＝120°.答案：2120°3．已知点A(－eq\r(2)，0)，B(eq\r(2)，0)，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是－eq\f(1,2)，求动点P的轨迹C的方程．解：设P(x，y)(x≠±eq\r(2))，由kAP·kBP＝eq\f(y,x＋\r(2))·eq\f(y,x－\r(2))＝－eq\f(1,2)，整理得eq\f(x2,2)＋y2＝1(x≠±eq\r(2)).故动点P的轨迹C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1(x≠±eq\r(2)).[A基础达标]1．设F1，F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2.则△PF1F2是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等腰直角三角形解析：选B.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝5，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝4，故△PF1F2为直角三角形，故选B.2．已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式eq\r(（x－1）2＋y2)＋eq\r(（x＋1）2＋y2)＝4，则椭圆C的标准方程为()A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1解析：选B.由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为(1，0)，(－1，0)，2a＝4，故a＝2，c＝1，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故选B.3．(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点且|F1F2|＝2eq\r(3)，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆C的标准方程为()A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1C．eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,45)＝1 D．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,48)＝1解析：选AB.由已知得2c＝|F1F2|＝2eq\r(3)，所以c＝eq\r(3).因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4eq\r(3)，所以a＝2eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.4．△ABC的两个顶点坐标分别为A(－4，0)，B(4，0)，它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)解析：选D.因为|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，所以|AC|＋|BC|＝10＞|AB|，所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆(去掉A，B，C共线的情况)，即2a＝10，c＝4，所以b2＝9，所以顶点C的轨迹方程是eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)，故选D.5．设P是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为________．解析：由椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，可得2a＝8，c2＝7，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝2a＝8，,mn＝12，,4c2＝28＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，))化简可得cos∠F1PF2＝eq\f(1,2)，所以∠F1PF2＝60°.答案：60°6．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2．若△PF1F2的面积为9，则b＝________．解析：由题意得，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝9，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝4c2＋2|PF1||PF2|＝4a2，所以36＝4(a2－c2)＝4b2，所以b＝3.答案：37．已知椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．解：(1)依题意，知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－eq\f(3,4)a2＝1，即eq\f(1,4)a2＝1.所以a2＝4，b2＝3，故椭圆的标准方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1.(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝eq\f(5,2)，|PF2|＝eq\f(3,2).又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)－22,2×\f(5,2)×\f(3,2))＝eq\f(3,5).故∠F1PF2的余弦值为eq\f(3,5).[B能力提升]8．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为()A．2 B．4C．8 D．16解析：选B.由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，即a＝2.由题意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1|，当N，M，F2三点共线且N，F2位于M两侧时取得最大值，而|F2M|＋|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值为4.9．(多选)(2022·福州高二月考)下列说法不正确的是()A．椭圆eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,169)＝1的焦点坐标为(－5，0)，(5，0)B．椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,m2＋1)＝1的焦点坐标为(0，－1)，(0，1)C．椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1与eq\f(x2,m－5)＋eq\f(y2,m＋4)＝1(m＞0)的焦点坐标相同D．已知△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，|AB|＋|AC|＝2|BC|，则顶点A的轨迹方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1解析：选ACD.对于A选项，因为椭圆方程为eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,169)＝1，169＞144，所以焦点在y轴上，故错误；对于B选项，因为椭圆方程为eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,m2＋1)＝1，则m2＋1＞m2，所以焦点在y轴上，又c2＝m2＋1－m2＝1，所以焦点坐标为(0，－1)和(0，1)，故正确；对于C选项，椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1的焦点在x轴上，又椭圆方程eq\f(x2,m－5)＋eq\f(y2,m＋4)＝1(m＞0)中m＋4＞m－5，所以椭圆eq\f(x2,m－5)＋eq\f(y2,m＋4)＝1(m＞0)的焦点在y轴上，故错误；对于D选项，由|AB|＋|AC|＝2|BC|＝12＞|BC|＝6，且A，B，C三点不共线，所以顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，需要去掉(±6，0)这两个点，所以顶点A的轨迹方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1(x≠±6)，故错误．故选ACD.10．已知椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上．若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为____________．解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，所以eq\f(1,2)×8b＝12，所以b＝3.又因为c＝4，所以a2＝b2＋c2＝25.所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝111．若线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，|AB|＝6，点M是线段AB上一点，且|AM|＝2，则动点M的轨迹方程是________．解析：设M(x，y)，A(xA，0)，B(0，yB).如图，由|AB|＝6，|AM|＝2，得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，则(x－xA，y)＝eq\f(1,3)(－xA，yB)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－xA＝－\f(1,3)xA，,y＝\f(1,3)yB，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＝\f(3,2)x，,yB＝3y.))又xeq\o\al(2,A)＋yeq\o\al(2,B)＝36，则所求动点M的轨迹方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝112．设F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．(1)若椭圆C上的点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))到F1，F2两点的距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设K是(1)中所求椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．解：(1)因为点A到F1，F2两点的距离之和为4，所以2a＝4，所以a＝2.因为点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(\f(9,4),b2)＝1，即eq\f(1,4)＋eq\f(9,4b2)＝1，解得b2＝3.所以c2＝a2－b2＝1.故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0).(2)设动点K(x1，y1)，线段F1K的中点坐标为Q(x，y).由(1)知F1(－1，0)，所以x＝eq\f(－1＋x1,2)，y＝eq\f(y1,2)，即x1＝2x＋1，y1＝2y.因为点K在椭圆C上，所以eq\f(（2x＋1）2,4)＋eq\f(（2y）2,3)＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4y2,3)＝1.所以线段F1K的中点的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4y2,3)＝1.[C拓展探究]13.如图，已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A为椭圆与y轴正半轴的交点，B在x轴上，△ABF2是直角三角形，且|BF1|＝|F1F2|，O为坐标原点，若点O到直线AB的距离为eq\f(3,2)，则椭圆C的方程为()A．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,4)＋y2＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析：选B.因为△ABF2是直角三角形，且|BF1|＝|F1F2|，所以△AF1F2是等边三角形，设|F1F2|＝2c，则a＝2c，①所以直线AB的方程为eq\f(x,－3c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx－3cy＋3bc＝0，所以点O到直线AB的距离为eq\f(3bc,\r(b2＋9c2))＝eq\f(3,2)，②又因为a2＝b2＋c2，③所以联立①②③，解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.14.如图，已知点P(3，4)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1·PF2＝0.(1)求椭圆的方程；(2)求△PF1F2的面积．解：(1)因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，所以△PF1F2是直角三角形，所以|OP|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c.又|OP|＝eq\r(32＋42)＝5，所以c＝5.所以椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－25)＝1.又点P(3，4)在椭圆上，所以eq\f(9,a2)＋eq\f(16,a2－25)＝1，解得a2＝45或a2＝5.又a>c，所以a2＝5舍去．故所求椭圆的方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1.(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6eq\r(5)，①又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，②由①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×40＝20.3．1.2椭圆的简单几何性质学习指导核心素养1.掌握椭圆的简单几何性质．2.通过对椭圆的方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想．1.数学抽象：依据椭圆的方程研究椭圆的几何性质．2.数学运算：依据几何条件求椭圆的标准方程．3.逻辑推理、数学运算：直线与椭圆位置关系的判定．第1课时椭圆的简单几何性质知识点椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)由于e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))，因此当eq\f(b,a)越接近0时，e越接近1，椭圆越扁；当eq\f(b,a)越接近1时，e越接近0，椭圆越接近于圆．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．【解】把已知椭圆方程化成标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，所以a＝4，b＝3，c＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4)，两个焦点坐标分别是(－eq\r(7)，0)，(eq\r(7)，0)，四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3).研究椭圆几何性质的一化、二判、三求一化：将所给方程正确化成椭圆的标准形式．二判：根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上．三求：准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关问题．1．已知椭圆C1：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1，C2：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1，则()A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同D．C1与C2焦距相等解析：选D.由两个椭圆的标准方程可知C1的顶点坐标为(±2eq\r(3)，0)，(0，±2)，长轴长为4eq\r(3)，短轴长为4，焦距为4eq\r(2)；C2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±2eq\r(2))，长轴长为8，短轴长为4eq\r(2)，焦距为4eq\r(2).所以C1与C2焦距相等．2．若焦点在y轴上的椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m的值为________．解析：由题知a＝eq\r(2)，c＝eq\r(2－m)，所以eq\f(\r(2－m),\r(2))＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)考点一由椭圆的几何性质求标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；(2)过点(3，0)，离心率e＝eq\f(\r(6),3).【解】(1)依题意可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0).如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由题意，得a＝3，因为e＝eq\f(\r(6),3)，所以c＝eq\r(6)，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，由题意，得b＝3，因为e＝eq\f(\r(6),3)，所以eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(6),3)，把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.利用椭圆的几何性质求其方程的步骤(1)确定焦点所在的坐标轴；(2)利用已知条件列出关于a，b，c的方程组；(3)解方程组求得a，b的值；(4)写出标准方程．1．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,4)＋y2＝1C．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1 D．x2＋eq\f(y2,4)＝1解析：选A.依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，故所求椭圆的标准方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.2．已知椭圆的对称中心为坐标原点O，一个焦点为直线l：x－2y－4＝0与x轴的交点，离心率为eq\f(\r(3),2)，则椭圆的标准方程为________．解析：直线l：x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，即c＝4.又椭圆的离心率为eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，故a＝eq\f(8\r(3),3)，所以b2＝a2－c2＝eq\f(64,3)－16＝eq\f(16,3)，故椭圆的标准方程为eq\f(x2,\f(64,3))＋eq\f(y2,\f(16,3))＝1.答案：eq\f(x2,\f(64,3))＋eq\f(y2,\f(16,3))＝1考点二求椭圆的离心率设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A．eq\f(\r(3),6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)【解析】方法一：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±eq\f(b2,a)，所以|PF2|＝eq\f(b2,a).又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，故2c＝eq\r(3)·eq\f(b2,a)，变形可得eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得eq\r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去).方法二：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq\r(3)m，故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(\r(3)m,2m＋m)＝eq\f(\r(3),3).【答案】D求椭圆离心率及范围的方法1．(2022·泰州中学高二期中)已知椭圆C：x2＋eq\f(y2,n)＝1(n＞0且n≠1)的离心率为eq\f(\r(3),2)，则n的值为()A．eq\f(1,4)或4 B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)或2 D．eq\f(1,2)解析：选A.当椭圆C的焦点在x轴上时，0＜n＜1，则a2＝1，b2＝n，c2＝a2－b2＝1－n，此时，椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－n)＝eq\f(\r(3),2)，解得n＝eq\f(1,4)；当椭圆C的焦点在y轴上时，n＞1，则a2＝n，b2＝1，c2＝a2－b2＝n－1，此时，椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(n－1,n))＝eq\f(\r(3),2)，解得n＝4.综上，n＝eq\f(1,4)或4.2．已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：依题意可得2c≥2b，即c≥b.所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，所以e≥eq\f(\r(2),2).又因为0<e<1，所以椭圆离心率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))1．椭圆9x2＋25y2＝225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为()A．|x|≤3，|y|≤5 B．|x|≤eq\f(1,3)，|y|≤eq\f(1,5)C．|x|≤5，|y|≤3 D．|x|≤eq\f(1,5)，|y|≤eq\f(1,3)解析：选C.椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，故|x|≤5，|y|≤3.2．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))，离心率为eq\f(\r(2),2)，则椭圆E的焦距为()A．1 B．2C．eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：选B.因为椭圆E的离心率为eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).因为椭圆过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))，所以eq\f(1,2a2)＋eq\f(3,4b2)＝1.又a2＝b2＋c2，解得c＝1，所以焦距2c＝2.故选B.3．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的形状，则________更扁．(填序号)解析：x2＋9y2＝36化为标准方程得eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,4)＝1，故离心率e1＝eq\f(4\r(2),6)＝eq\f(2\r(2),3)；椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的离心率e2＝eq\f(2,3).因为e1＞e2，故①更扁．答案：①4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6.求：(1)这个椭圆的离心率；(2)这个椭圆的标准方程．解：由题意知2a＋2b＝18，2c＝6.又a2＝b2＋c2，所以a＝5，b＝4，c＝3.(1)离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5).(2)因为椭圆的焦点位置不确定，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1.[A基础达标]1．对于椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，下面说法正确的是()A．长轴长为2 B．短轴长为3C．离心率为eq\f(1,2) D．焦距为1解析：选C.椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，其中a＝eq\r(4)＝2，b＝eq\r(3)，则c＝eq\r(a2－b2)＝1，则其长轴长2a＝4，短轴长2b＝2eq\r(3)，焦距2c＝2，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故选C.2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为()A．(±10，0) B．(±eq\r(69)，0)C．(0，±13) D．(0，±eq\r(69))解析：选D.由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦点坐标为(0，±eq\r(69)).故选D.3．已知椭圆x2＋my2＝1(m＞0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝()A．eq\r(2) B．2C．eq\f(1,4) D．4解析：选C.因为椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，所以eq\r(\f(1,m))＝2，解得m＝eq\f(1,4)，故选C.4．(多选)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为8，离心率为eq\f(3,4)，则此椭圆的标准方程是()A．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1 B．eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1 D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1解析：选AB.因为a＝4，e＝eq\f(3,4)，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1.5．(2022·南山中学高二期中)椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(λ＞0，且λ≠1)具有相同的()A．长轴长 B．焦点C．离心率 D．顶点解析：选C.椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1的离心率为eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(c,a)；椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(λ＞0，且λ≠1)的标准方程为eq\f(y2,a2λ)＋eq\f(x2,b2λ)＝1，其离心率为eq\f(\r(a2λ－b2λ),a\r(λ))＝eq\f(c,a)，所以椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(λ＞0，且λ≠1)具有相同的离心率．6．(2022·淮安高二期中)P是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P到原点O的距离为焦距的一半，且|PF1|－|PF2|＝a，则椭圆的离心率为()A．eq\f(\r(6),4) B．eq\f(\r(10),4)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(2),2)解析：选B.因为P是椭圆上的一点，F1，F2分别为左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|＝2a.又|PF1|－|PF2|＝a，则|PF1|＝eq\f(3,2)a，|PF2|＝eq\f(1,2)a.又因为点P到原点O的距离为焦距的一半，则|PO|＝|OF1|＝|OF2|，故三角形PF1F2为直角三角形，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＝(2c)2，解得eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,8)，所以e＝eq\f(\r(10),4).故选B.7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－eq\r(3)，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．解析：因为一个焦点为(－eq\r(3)，0)，所以焦点在x轴上且c＝eq\r(3).因为长轴长是短轴长的2倍，所以2a＝2·2b，即a＝2b，所以(2b)2－b2＝3，所以b2＝1，a2＝4，故标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.答案：eq\f(x2,4)＋y2＝18．设椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜5)的长轴长与焦距的和是短轴长的2倍，则b的值为________，椭圆的离心率为________.解析：设焦距为2c，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25－b2＝c2，,10＋2c＝4b，))解得b2＝16，即b＝4，所以c＝3，则椭圆的离心率为eq\f(c,a)＝eq\f(3,5).答案：4eq\f(3,5)9．直线x＋2y－2＝0经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e＝________．解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，所以在直线x＋2y－2＝0中，令y＝0得x＝2，从而得c＝2；令x＝0得y＝1，因此b＝1.所以a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(5).所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)10．在①离心率e＝eq\f(1,2)，②椭圆C过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，③△PF1F2面积的最大值为eq\r(3)，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，解答下列问题．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知椭圆C的短轴长为2eq\r(3)，________，求椭圆C的方程．解：选①，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2b＝2\r(3)，,\f(c,a)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))所以所求椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.选②，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2b＝2\r(3)，,\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))所以所求椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.选③，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,2b＝2\r(3)，,\f(1,2)×2c×b＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))所以所求椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.[B能力提升]11．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－eq\r(3)，0)，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为3eq\r(2)，则椭圆C的方程为()A．eq\f(x2,3)＋y2＝1 B．eq\f(x2,4)＋y2＝1C．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1解析：选C.因为椭圆C的左焦点为F(－eq\r(3)，0)，所以c＝eq\r(3).椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为3eq\r(2)，即eq\f(1,2)×2a×b＝ab＝3eq\r(2)①.又a2＝b2＋c2，即a2＝b2＋3②，由①②可得a＝eq\r(6)，b＝eq\r(3)，故椭圆C的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1.故选C.12.如图，某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(1,3)解析：选C.设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，由“切面”所在平面与底面成60°角，可得eq\f(2b,2a)＝cos60°，即a＝2b，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\f(\r(3),