2021-2022学年湖南省湘西市第三中学高三数学理月考试卷含解析

2021-2022学年湖南省湘西市第三中学高三数学理月考

试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.在AASC中，“cosj+sinj4=cosB+sin8”是“C=90•”的()

A.充分不必要条

件B.必要不充分条件

C.充要条

件D.既不充分也

不必要条件

参考答案：

B

2,函数〃目=加国+团#"WxW®,。)的图象大致是()

CD

参考答案：

D

3.已知〈a,c〉=,(b,c)=，且|a|=l,\b\—2,|c|=3,则|a+6+c|

A.17+6B.17-6C.D.

参考答案：

C

由同+〃+&=求得正确选项为C

4.已知集合P={x|-1<XV3},Q={x|-2<x<l},贝IJPCQ=()

A.(-2,1)B.(-2,3)C.(1,3)D.(-1,1)

参考答案：

D

【考点】交集及其运算.

【专题】集合.

【分析】由P与Q,求出两集合的交集即可.

【解答】解：：P=(-1,3),Q=(-2,1),

.,.pnQ=(-1,1),

故选：D.

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

5.我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f(x)

=anxn+amix"」+…+a1x+ao的值的秦九韶算法，即将f(x)改写成如下形式:f(x)=(...

((anx+an.i)x+an.2)x+...+ai)x+a0,首先计算最内层一次多项式的值,然后由内向外逐

层计算一次多项式的值，这种算法至今仍是比较先进的算法，将秦九韶算法用程序框图表

示如图，则在空白的执行框内应填入()

开始

/黜、,/

结束

A.v=vx+aiB.v=v(x+&)C.v=aix+vD.v=ai(x+v)

参考答案：

A

【考点】程序框图.

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的

值，可得答案.

，v0=an

<

【解答】解：秦九韶算法的过程是IVk=Vbix+akk(k=l,2,…，n)这个过程用循环

结构来实现，

应在题目的空白的执行框内填入v=vx+a”

故选：A.

6.在以BC中，内角46，C的对边分别为见瓦。，若匕+c=%t,3sin/=5sin及，则角

C=()

7T2TT3TT57r

A3B3C4D6

参考答案:

B

略

7T4

xe(--,0)cosx=—

7.已知2,5,则tan2x=

7_2_24_24

(A)24(B)24(C)7(D)7

参考答案：

D

工

8.直线1：y=kx+l与圆0：/+/=1相交于A,B两点，则“k=l”是“△OAB的面积为示

的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

参考答案：

A

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质.

专题：直线与圆；简易逻辑.

分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结

论.

解答:解：若直线1：y=kx+l与圆0：x?+y2=l相交于A,B两点，

事m4更\«庭\

若k=l,则|AB|=f)2v,d=Vl+l2,则AOAB的面积为2X“Z2=2成立，即充

分性成立.

1X,1X2,f^X1——tL工

若aOAB的面积为2则S=2Vl+k2Vl+k2=2x2xl+k2=l+k2=2,

即k2+l=2k|,即k?-2|k+1=0,

则(|k|-1)J。,

即|k|=l,

解得k=±l,则k=l不成立，即必要性不成立.

1

故“k=l”是“AOAB的面积为工”的充分不必要条件.

故选：A.

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦

之间的关系是解决本题的关键.

(11)

9.函数f(x)=xa的图象过点『工，则f[f(9)]=()

A.B.3C.1D.

33

参考答案:

A

考函数的值.

点：

专计算题.

题：

分

f(1)」

由题意可得，N2,代入可先求a,进而可求f(x),然后代入即可直接求

析：解

解f山J

解：由题意可得，42

答：

(工)"=工

/.42

/.2,f(x)=*vrx

/.f[f(9)]=f(3)=V3

故选A

点本题主要考查了幕函数的函数值及函数解析式的求解，属于基础试题

评：

—sn0<-

10.设兆R,则“1212”是“2”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

参考答案：

A

Cn兀cc兀、・八11L兀兀

B——<—0<0<一SHI8<-—B——<—

121262,但。=0,sin0<2,不满足陞12,所以是充

分而不必要条件，选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.在平面直角坐标系中，定义〃（尸，。）=以「叼|+/-乃I为两点尸（孙乃）,。（々仍）

之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离''等于1的点的集合是一个正方形;

②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆;

③到"（T，°），耿L°）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边

形;

④到砥7,0）,以1,0）两点的“折线距离,，差的绝对值为1的点的集合是两条平行

线.

其中正确的命题是.（写出所有正确命题的序号）

参考答案：

①③④

略

12.如图，割线PBC经过圆心0,OB=PB=1,OB绕点0逆时针旋转120°到0D,连PD交

圆。于点E,则PE=.

参考答案：

略

13.给出下列命题:

a+m>a

①若a,b,m都是正数，且而E,则aVb；

②若f'(x)是f(x)的导函数，若?xCR,F(x)20,则f(1)<f(2)一定成立;

③命题“?xWR,x—2x+lV0”的否定是真命题;

④“|x|Wl,且|y|Wl”是“|x+y|W2”的充分不必要条件.

其中正确命题的序号是()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

参考答案：

D

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】对应思想；定义法；简易逻辑.

【分析】①根据不等式的性质进行判断.

②根据函数单调性和导数的关系进行判断.

③根据含有量词的命题的否定进行判断.

④根据充分条件和必要条件进行判断.

【解答】解：①若a,b,m都是正数，且而E,则等价为ab+bm>ab+am,

即bm>am,则b>a,即a<b；成立，故①正确，

②若f'(x)是f(x)的导函数，若?xCR,f'(x)NO,则f(1)<f(2)不一定成

立，

比如f(x)=3,f'(x)=0,满足?x6R,f'(x)20,但f(1)=f(2),故②错误；

③命题“？xWR,x、-2x+l<0"的否定是?xGR,x--2x+l20,：(xT)心。恒成立,

故③正确；

④若“IxWl,且|y|Wl"，则-lWxWl,-IWyWl,则-2Wx+yW2,即|x+yW2成

立，

反之，若x=3,y=-3,满足|x+y|W2,但|x|Wl,且y|Wl不成立，即"x|Wl,且

|y|Wl”是“|x+y|W2”的充分不必要条件，故④正确，

故选：D

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大.

14.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一

棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,已知某"堑堵”与某"阳马”组合而成的几何体的三视图

中如图所示，已知该几何体的体积为6,则图中六:.

参考答案：

1<X-^<3,

<

15.设x,了满足条件1-14x+y&L则点（冗了）构成的平面区域面积等于.

参考答案：

2

略

16.函数产曰"人工一^+4。,。且。#1）的图象必过点A,则过点A且与直线2x+y—3

=0平行的直线方程是«

参考答案：

2x+y-60

【分析】

由题意可得函数y-k/J'我。且,1）的图象必过点A（2.2）,结合点斜式得到所求直

线的方程.

【详解】由题意可得：A22）,

又与直线2%+>—3=0平行，

I

直线斜率为2,

1

,v-2=-（X-2）

所求直线方程为：.2

故答案为：2x+v-60

17,已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,川x—y=4},那么集合MAN

参考答案:

{0，-1))

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面#是平行四边形，ZSt3?=135',侧面R4BJ■底面

ABCD,AB=AC=PA=2,叮分别为本却山的中点，点〃在线段如上.

(I)求证：EVJ■平面B4C；

(II)若M为用的中点，求证：取后"平面R4B；

PM

(III)如果直线ME与平面EBC所成的角和直线AH与平面所成的角相等，求布

的值.

参考答案：

(I)证明：在平行四边形狙6中，因为45=/C,2BCD=135-,

所以H?_L4C.

由武"分别为股3的中点，得理必B,

所以

b_LJC

1分

因为侧面皿_L底面4B8,且NMP=«F,

所以PAI.底面

ABCD

............2分

又因为呼u底面皿D,

所以

PA±EF

............3分

又因为E4n/C=),或仁平面R*C,/Cu平面R4C,

所以平面

P4C............

......4分

(II)证明：因为M为加的中点，尸分别为切的中点，

所以“侬1,

又因为防'①平面卫，4B,Hu平面卫阳，

所以环万千面火出.............5分

同理，得即"平面33.

又因为"0呼=尸，"u平面M瓯，肝u平面MSF,

所以平面AffiM/平面卫4B.......................7分

又因为MEu平面期即，

所以Affi”平面曲.............9分

(III)解：因为以_L底面器S,即L4C,所以苗典/两两垂直，故以

AB,JC»AP

分别为x轴、丁轴和z轴，如图建立空间直角坐标系,

则40Q0I5(2.0,0>qo.zo).MQ.2),仪-212M4L0),

所以^=(2,0,-2),方=(ZZ-2),

而=(—ZZO),......................10分

设而则前=(-认认-犯

所以“(一24"2—ZL),而=Q+ZM-认2A-2),

易得平面/Q的法向量

■1=(0,0,1).......................11分

设平面心的法向量为“=(&y/),

J-2r+2y=0,

由“丽=0,■丽=0,得1维一勿=。，

令》=1,得

»=au).

.....12分

因为直线应与平面所成的角和此直线与平面皿。所成的角相等，

西1|项.

所以|CDS<诚m>Hais<■,&>!,gyl^l1*1|Affi||»|,......................13分

1”-2口学

所以

解得或

（舍）.14分

19.某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、羽元（冽为常

数，且2V冽£3）,设每个水杯的出厂价为x元（35&XS41）,根据市场调查，水杯

的日销售量与小（e为自然对数的底数）成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，

日销售量为10个.

（I）求该工厂的日利润了（元）与每个水杯的出厂价x（元）的函数关系式；

（II）当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值.

参考答案：

W（1）设日销售量为£,则与，.......................................1分

故y=——(x-30-w)(35^x^41)................................................................5分

1o

/r\J40♦*—(X—4031+加-X八

(n)y=io^wx—i--——=ioewx................................................名分

V=10c"x——---=0.贝I]x=31一加..............................9分v

当24加4二>'<0,所以j在35KxM41上为减函数，〃

所以x=35时，利润取最大值y=10/（5-加）.........................12分r

略

20.已知S.为数列｛为｝的前w项和满足H+/=2S«+2,%>0,neN*.

（1）求数列｛%｝的通项公式

（2）设，=%-2;求数列｛儿｝的前〃项和7,.

参考答案：

⑴4="+1⑵1="X2川

【分析】

（1）"N2时，利用4=4＞一44得出数列的递推关系，得出数列是等差数列，从而

可求得通项公式；

（2）用错位相减法求各工.

【详解】解：（1）当W2时，有=2^+2,21+/4=绍1+2

两式相减得（，+47）（4_%T_1）=0

>°..4一％4T=°即％=』十1

；.{4}为等差数列.

⑵..也==(n*D-2"

7；=2X2+3X22+—+(n+l)x2,t

27；=2x2a+3x25+...+Hx2a+(n+])x2,H1

两式相减得W=4+(2、2\…钟)-3郎2川

=4+(21Hl-4)-Q+DxZ"41

=-

Z=ax21Ml

【点睛】本题考查由♦和q的关系式求通项公式，考查错位相减法求数列的和.在已知

4和S-的关系时，通过由4=4-41得出数列的递推关系，再确定数列的性质.注意

ai=s.

21.在△3C中，内角A8，C的对边分别为a也c,已知B=C,28=，a

（I）求cos工的值;

穴

cos(2-4d—)

(II)4的值.

参考答案:

本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角

的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13分。

B=C,2b=❷，可得c=b=立a

(I)解：由2

32322

一a十一a-a

b2+c2-a244_1A

cos-4=

2bc、小书一马

2x—ax—a

所以22

cos-4=G(0,/f)sinJ4=Jl-COS?2=

(II)解：因为3，所以3

cos2A=-2cos2A-1=二.故sin2A=2sinJ4COSJ4=

99

所以

〃〃外I穴.c..汗f7)a40点8+7点

cos2A-\—=cos2J4COS-----sin2/sin—=—x--------------x-------------.

I4)44I9)29218

22.(本小题满分12分)“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的

满意程度时，给出的区间1°，1°］内的一个数，该数越接近10表示越满意.为了解某大城

市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所

小：

幸福感指数[0,2)[2,4)[4.6)电8)区1。)

男市民人数1020220125125

女市民人数1010180175125

根据表格，解答下面的问题:

频率

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.0110・015