2022-2023学年云南省曲靖市富源八中高二（下）期中数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，，则下列说法正确的是()

A.B.C.D.

2.在复平面内，复数对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.展开式中项的系数为()

A.B.C.D.

4.设向量的模长为，则()

A.B.C.D.

5.若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值()

A.B.C.D.

6.若直线与圆相切，则的值是()

A.或B.或C.或D.或

7.从，，，，，，这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为()

A.B.C.D.

8.已知定义在上的函数满足，，且，，则()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.关于双曲线：与双曲线：，下列说法正确的是()

A.它们的实轴长相等B.它们的渐近线相同C.它们的离心率相等D.它们的焦距相等

10.将函数图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的值可能为()

A.B.C.D.

11.设等差数列的前项和为，公差为，已知，，，则下列结论正确的有()

A.B.

C.可以取负整数D.对任意，有

12.下列选项正确的是()

A.B.C.D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.五名应届高中毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所高校，则不同的报名方法共有______种

14.若“”是“”的必要不充分条件，则实数能取的最大整数为______．

15.过抛物线：焦点的直线交抛物线于，两点，若线段的中点到的准线的距离等于，则______．

16.如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且若该三棱柱的外接球的表面积为，则______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

在中，，，的对边分别是，，，已知．

求；

若，且的面积为，求的周长．

18.本小题分

已知正项等比数列满足，，且．

求数列的通项公式；

求数列的前项和．

19.本小题分

某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，．

求频率分布直方图中的值；

估计该企业的职工对该部门评分的分位数保留一位小数；

从评分在的受访职工中，随机抽取人，求此人评分都在的概率．

20.本小题分

如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且底面．

证明：平面平面；

若二面角为，求与平面所成角的正弦值．

21.本小题分

设椭圆：的离心率为，且短轴长为．

求椭圆的方程；

若在轴上的截距为的直线与椭圆分别交于，两点，为坐标原点，且直线，的斜率之和等于，求直线的方程．

22.本小题分

已知函数．

证明：；

若函数有两个零点，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：集合，，

，

故选：．

由集合，可知．

本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：复数，在复平面内的对应点为，

故选：．

利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质化简复数，找出它在复平面内的对应点坐标．

本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除，

分子和分母同时乘以分母的共轭复数；复数与复平面内对应点之间的关系．

3.【答案】

【解析】解：，，，，，

令得的系数为：，

故选：．

利用二项式定理展开式的通项公式，即可解出．

本题考查了二项式定理展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：由题意可知，

则，

可得．

故选：．

根据向量的模长公式，结合余弦的二倍角公式，可得答案．

本题考查了向量的模长公式，余弦的二倍角公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：由于，则，

若曲线在点处的切线与直线平行，

则，故，

故选：．

若曲线在点处的切线与直线平行，则在处函数值为直线的斜率，由此可解得．

本题考查切线的斜率与导数的关系，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：由，

得圆心坐标为，半径为，

直线与圆相切，

圆心到直线的距离等于圆的半径，

即，解得：或．

故选：．

由圆的方程求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得值．

本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查分步计数原理，排列组合的综合应用，属于基础题．

先从个奇数中取个再从个偶数中取个共种，再把个数排列，其中是奇数的共种，根据分步计数原理得到结果．

【解答】

解：第一步先从个奇数中取个再从个偶数中取个共种，

第二步再把个数排列，其中是奇数的共种，

所求奇数的个数共有种．

故选C．

8.【答案】

【解析】解：因为，所以为奇函数，即，

又因为，所以，即，

所以，所以函数的周期为，

因为，则．

故选：．

利用函数的奇偶性和周期性即可求解．

本题主要考查了奇函数及对称性转化为周期性，还考查了奇函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的离心率，渐近线，焦距，属于基础题．

由双曲线的方程可得实轴长，焦距，渐近线方程，离心率，进而选出结果．

【解答】

解：双曲线的，，，，，，

渐近线的方程为，

实轴长为，离心率；

中的，，，

渐近线方程为：，离心率，

所以它们的焦距相同，渐近线的方程相同，

故选：．

10.【答案】

【解析】解：函数图象向左平移个单位后，得到函数，

由于所得图象关于原点对称，

故，，

整理得：，，

当和时，的值为或．

故选：．

首先利用函数的图象的平移变换求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出的值．

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：，，

，即，

，故选项A错误，、D正确；

又由可得：，解得：，故选项C错误，

故选：．

先由题设，然后根据求得的取值范围，再逐个选项判断正误即可．

本题主要考查等差数列的性质及前项和公式的应用，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：令，，则，

由得，由得，由得，

在上单调递增，在上单调递减，

对于：，

，即，

，故A正确；

对于：，

，即，

，故B错误；

对于：，

，即，

，即，即，故C正确；

对于：，

，即，

，即，故D错误．

故选：．

构造函数，，则，可得在上单调递增，在上单调递减，逐一分析选项，即可得出答案．

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：五名应届生每人有种报考方式，所以不同的报名方法有种．

故答案为：．

五名应届生每人有种报考方式，再由分步乘法计数原理，得解．

本题考查计数原理的应用，熟练掌握分步乘法计数原理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：因为“”是“”的必要不充分条件，

所以是的真子集，

因为等价于，

所以是的真子集，

所以，

所以实数能取的最大整数为．

故答案为：．

先由集合与充分必要的关系得到是的真子集，从而利用数轴法得到，由此得解．

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：因为抛物线：，所以记抛物线的焦点为，抛物线准线方程为，

设，，，，

则的中点，

所以点到的准线的距离为，

所以，

由抛物线定义知：，，

则．

故答案为：．

利用中点坐标公式与点线距离公式求得，再利用抛物线的焦半径公式求解即可．

本题考查抛物线的性质的应用，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：设外接球得半径为，由该三棱柱的外接球的表面积为，得，解得，

取上下底面三角形得中心分别为，，则的中点即为外接圆圆心，

则，平面，，

平面，，

在等边中，可得，

在中，有，．

故答案为：．

根据正三棱柱的性质，确定外接球的球心，利用球的表面积公式以及勾股定理，可得答案．

本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．

17.【答案】解：因为：，

由正弦定理可知：，可得：，

因为，可得：，，

可得：．

，，且的面积为，

可得：，

，

由余弦定理，可得：．

的周长．

【解析】通过正弦定理以及两角和的正弦函数化简表达式，求出的大小，通过同角三角函数基本关系式即可计算得解．

通过三角形面积公式可求的值，利用余弦定理可求的值，即可得解．

本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．

18.【答案】解：设正项等比数列得公比为，

，，解得，

，

，且，

；

由得，则，

．

【解析】由题设求得数列的公比，可得与，结合题意，即可得出答案；

由得，再利用裂项相消法求和，即可得出答案．

本题考查等比数列的性质和裂项相消法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

19.【答案】解：因为，所以．

由频率分布直方图得：

的频率为：，

的频率为：，

估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分的分位数为，分位数介于和之间，

即有，

解得．

即该企业的职工对该部门评分的分位数约为；

受访职工中评分在的有：人，记为，，；

受访职工中评分在的有：人，记为，，

从这名受访职工中随机抽取人，所有可能的结果共有种，

它们是，，，，，，，，，．

又因为所抽取人的评分都在的结果有种，

故所求的概率为．

【解析】利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为，得到；

由频率分布直方图求出的频率为，的频率为，由此能估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分的分位数．

求出评分在的受访职工和评分都在的人数，随机抽取人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．

本题考查了频率分布直方图的认识，分位数的求法，利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．

20.【答案】解：证明：四棱锥中，底面是平行四边形，

，，且底面，平面，

，，

，，平面，

平面，

平面，

平面平面；

如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

设，，

则，，，，

，，

设平面的法向量，

则，取，得，

平面的一个法向量为，

又二面角为，

，

解得，

点坐标，平面的法向量，

，

设与平面所成角为，

则与平面所成角的正弦值为

．

【解析】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．

推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成角的正弦值．

21.【答案】解：：由题可得，由有，，

解得，．

故所求椭圆方程为：．

设：，，，

联立，整理可得：，

，解得或，

，，

所以，解得，

故直线的方程为．

【解析】根据已知条件，结合离心率公式，以及椭圆的性质，即可求解．

设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之和，由题意可得直线的斜率，进而求出直线的方程．

本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，直线与椭圆相切的性质的应用，属于中档题．

22.【答案】证明：令，有，

令可得，令可得，