【解析】上海市青浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

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上海市青浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．点到直线的距离为．

2．已知一组数据8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，则该组数据的第80百分位数为．

3．在空间直角坐标系中，点关于yOz平面的对称点的坐标是.

4．的二项展开式中项的系数为．

5．已知正方形的边长为4，若，则的值为.

6．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则．

7．在长方体中，，点为棱的中点，则二面角的大小为．（结果用反三角函数值表示）

8．设等比数列的公比为2，前项和为，若，则．

9．有3男3女共6位高三同学在高考考场外合影留念．若从这6人中随机选取2人拍双人照，则选中的2人恰为1男1女的概率是．

10．某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有种（用数字作答）．

11．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体称作“阿基米德体”．若一个正四面体的棱长为12，则对应的“阿基米德体”的表面积为．

12．对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为．

二、单选题

13．（2023高三上·海淀期末）设、是两个不同的平面，直线，则“对内的任意直线，都有”是“”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生名、名、名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，若从高三年级抽取名学生，则为

A．B．C．D．

15．点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

16．已知非常数列满足，若，则（）

A．存在，，对任意，，都有为等比数列

B．存在，，对任意，，都有为等差数列

C．存在，，对任意，，都有为等差数列

D．存在，，对任意，，都有为等比数列

三、解答题

17．（2023高二上·乾安月考）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

18．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2．

（1）若圆雉的侧面积为，求圆锥的体积；

（2）设是底面半径，且是线段的中点，如图．求直线与平面所成的角的大小．

19．已知，如图是一张边长为的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．

（1）试把无盖纸盒的容积表示成裁去边长的函数；

（2）当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计）

20．已知抛物线的焦点为，准线为．

（1）若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程；

（2）设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；

（3）经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

21．已知函数，，令．

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）当为正数且时，，求的最小值；

（3）若对一切都成立，求的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】

【知识点】平面内点到直线的距离公式

【解析】【解答】由直线距离公式得点到直线的距离为.

故答案为：

【分析】利用点到直线距离公式直接计算.

2．【答案】10.8

【知识点】收集数据的方法

【解析】【解答】由题知该一组数据有12个，，第80百分位数为第10位是10.8.

故答案为：10.8

【分析】根据百分位数求法，直接计算.

3．【答案】（-1，-2，3）

【知识点】空间直角坐标系

【解析】【解答】点关于yOz平面的对称点的坐标.

故答案为：

【分析】由关于yOz平面的对称点在x轴上的坐标互为相反数得到答案.

4．【答案】210

【知识点】二项式系数的性质

【解析】【解答】展开式通项公式为，令解得，

的二项展开式中项的系数为.

故答案为：210

【分析】根据展开式通项公式求二项展开式中项的系数.

5．【答案】6

【知识点】向量加减混合运算；平面向量的数量积运算

【解析】【解答】由题意得，，

故答案为：6

【分析】将以为基底表示，进而求.

6．【答案】2

【知识点】用斜率判定两直线平行；双曲线的简单性质

【解析】【解答】双曲线的渐近线为，其中一条与直线平行，.

故答案为：2

【分析】先求出双曲线渐近线，结合直线平行性质求解.

7．【答案】

【知识点】用空间向量研究二面角

【解析】【解答】以D为原点，，，为轴建立空间直角坐标系如下，

易知平面法向量为，，

，设平面法向量为，

则令则，

，

二面角为锐二面角，二面角为.

故答案为：

【分析】以D为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的大小.

8．【答案】

【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和

【解析】【解答】设等比数列首项为，公比，，

由得，解得，

.

故答案为：

【分析】利用等比数列求和公式代入求出.

9．【答案】

【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式

【解析】【解答】设选中的2人恰为1男1女为事件A，随机选取两人有种选法，选取两人为1男1女有种选法，选中的2人恰为1男1女的概率是.

故答案为：

【分析】根据古典概率公式求解.

10．【答案】20

【知识点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】先将5位学生分成2人和3人得两组有种分法，再将2名导师分到两组有种分法，共有种不同的方案.

故答案为：

【分析】先将5位学生分成2人和3人得两组，再全排列.

11．【答案】

【知识点】组合几何体的面积、体积问题

【解析】【解答】由题意得“阿基米德体”的表面积是由4个全等正六边形和4个全等正三角形组成，

正四面体的棱长为12，则对应的“阿基米德体”表面的正三角形边长为，面积为，正六边形边长为，面积为，“阿基米德体”的表面积为.

故答案为：

【分析】由题意得“阿基米德体”的表面积是由4个全等正六边形和4个全等正三角形组成，进而分析求解.

12．【答案】8

【知识点】数列的递推公式；数列与不等式的综合；分析法和综合法

【解析】【解答】，设，则

要使，则数列的项有增也有减，

假设中有个，增量最大为，则必有项是减少的，，解得或，

取，按连续最大增量计算，取最大，则，有最大值，

的最大值为.

故答案为：

【分析】由得相邻两项最大相差2，利用数列的增减性判断.

13．【答案】A

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定

【解析】【解答】因为、是两个不同的平面，直线，

若对内的任意直线，都有，根据线面垂直的定义可知，

，，

所以，“对内的任意直线，都有”“”；

若，因为，对内的任意直线，与的位置关系不确定，

所以，“对内的任意直线，都有”“”.

因此，“对内的任意直线，都有”是“”的充分而不必要条件.

故答案为：A.

【分析】根据空间线面垂直和面面垂直的关系，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.

14．【答案】C

【知识点】分层抽样方法

【解析】【解答】由分层抽样原理得，求得.

故答案为：C

【分析】根据分层抽样原理进行求解.

15．【答案】B

【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的简单性质

【解析】【解答】由题得，设，则，，

，，

又，，即在有解，

解得或，，，，

椭圆的离心率的取值范围是.

故答案为：B

【分析】利用向量坐标运算将转化为在有解，进而求离心率范围.

16．【答案】B

【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的递推公式

【解析】【解答】由题意得，令，则，

，，即，

为非常数列，

令，则数列是以为首项，为公比的等比数列，

，

当，即，时，，

即，数列是等差数列，

存在，，对任意，，都有为等差数列.

故答案为：B

【分析】分析得，令得，则为等比数列，求得，当时有为等差数列.

17．【答案】（1）设等差数列的首项为，公差为，

根据题意有，

解答，所以，

所以等差数列的通项公式为；

（2）由条件，得，即，

因为，所以，并且有，所以有，

由得，整理得，

因为，所以有，即，

解得，

所以的取值范围是：

【知识点】一元二次不等式的解法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而解方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列{an}的通项公式。

（2）由条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，得出，因为，再利用等差数列的通项公式，所以，并且有，所以有，由，再利用等差数列前n项和公式，整理得，因为，所以有，再解一元二次不等式求出的取值范围。

18．【答案】（1）解：由题意可知圆锥的底面半径为2，所以底面圆的周长为：，

所以侧面展开图扇形的弧长为，设半径为，由于圆雉的侧面积为，

所以，所以扇形的半径为，所以圆锥的母线长为，

所以在直角三角形中，，

所以圆锥的体积为：.

（2）解：由于为圆锥的高，所以，

且，所以分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

，，，，所以，

设平面的法向量为，

所以，

所以直线与平面所成的角的正弦值为，

所以直线与平面所成的角的大小为：.

【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；用空间向量研究直线与平面所成的角

【解析】【分析】(1)先根据圆雉的侧面积求出母线长，再分析求解圆锥的体积；；

(2)分别以的方向为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系利用空间向量求直线与平面所成的角的大小.

19．【答案】（1）解：由题意，长方体的高为，底面是正方形，正方形的边长为，

则，所以，

则

（2）解：由（1）得，

则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，容积最大，最大值为.

【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；组合几何体的面积、体积问题

【解析】【分析】(1)利用长方体体积公式求解；

(2)求导，利用导数求出函数单调性，进而求容积最大值.

20．【答案】（1）解：抛物线的焦点为，准线为，

双曲线的方程为双曲线，即，则，

由题意可知：，则，

故双曲线的方程；

（2）解：由（1）可知：，

过点P作直线的垂线，垂足为M，则，

∵，且，

∴，

故直线EP的倾斜角，斜率，

∴直线EP的方程为，即；

（3）解：设直线，

联立方程，消去y可得：，

则可得：，

∵直线，当时，，

∴，

同理可得：，

∵

，

，

则线段MN为直径的圆C的圆心，半径，

故圆C的方程为，

整理得，

令，则，解得或，

故以线段MN为直径的圆C过定点.

【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)先求出焦点，结合求双曲线；

(2)画图分析得，所以直线EP的倾斜角，利用点斜式写出直线的方程；

(3)设直线，进而求出点、坐标，结合韦达定理求圆的圆心和半径，根据圆的方程分析判断是否过定点.

21．【答案】（1）解：当时，，

∴，，，

∴在处的切线方程为.

（2）解：函数的定义域为，

当时，.

令，解得或.

①当，即时，，故在上单调递增.

所以在上的最小值为，符合题意；

②当，即时，

当时，；当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值为，不符合题意；

当，即，同理在上单调递增，

所以在上的最小值为，不符合题意；

综上，实数a的取值范围是.

故的最小值为1.

（3）解：设，则，

因为，

所以对任意，，，且恒成立，

等价于在上单调递增.而，

当时，，此时在单调递增；

当时，只需在恒成立，

因为，只要，则需要，

对于函数，过定点，对称轴

只需，即，

综上可得：.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（1）当时，，分别求出，，利用点斜式写出函数在处的切线方程；

（2）利用导数判断函数的单调性，分析取得最小值的条件，进而求出的最小值；

(3)分析将问题转化为在上单调递增，进而分析求解的取值范围.

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上海市青浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．点到直线的距离为．

【答案】

【知识点】平面内点到直线的距离公式

【解析】【解答】由直线距离公式得点到直线的距离为.

故答案为：

【分析】利用点到直线距离公式直接计算.

2．已知一组数据8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，则该组数据的第80百分位数为．

【答案】10.8

【知识点】收集数据的方法

【解析】【解答】由题知该一组数据有12个，，第80百分位数为第10位是10.8.

故答案为：10.8

【分析】根据百分位数求法，直接计算.

3．在空间直角坐标系中，点关于yOz平面的对称点的坐标是.

【答案】（-1，-2，3）

【知识点】空间直角坐标系

【解析】【解答】点关于yOz平面的对称点的坐标.

故答案为：

【分析】由关于yOz平面的对称点在x轴上的坐标互为相反数得到答案.

4．的二项展开式中项的系数为．

【答案】210

【知识点】二项式系数的性质

【解析】【解答】展开式通项公式为，令解得，

的二项展开式中项的系数为.

故答案为：210

【分析】根据展开式通项公式求二项展开式中项的系数.

5．已知正方形的边长为4，若，则的值为.

【答案】6

【知识点】向量加减混合运算；平面向量的数量积运算

【解析】【解答】由题意得，，

故答案为：6

【分析】将以为基底表示，进而求.

6．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则．

【答案】2

【知识点】用斜率判定两直线平行；双曲线的简单性质

【解析】【解答】双曲线的渐近线为，其中一条与直线平行，.

故答案为：2

【分析】先求出双曲线渐近线，结合直线平行性质求解.

7．在长方体中，，点为棱的中点，则二面角的大小为．（结果用反三角函数值表示）

【答案】

【知识点】用空间向量研究二面角

【解析】【解答】以D为原点，，，为轴建立空间直角坐标系如下，

易知平面法向量为，，

，设平面法向量为，

则令则，

，

二面角为锐二面角，二面角为.

故答案为：

【分析】以D为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的大小.

8．设等比数列的公比为2，前项和为，若，则．

【答案】

【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和

【解析】【解答】设等比数列首项为，公比，，

由得，解得，

.

故答案为：

【分析】利用等比数列求和公式代入求出.

9．有3男3女共6位高三同学在高考考场外合影留念．若从这6人中随机选取2人拍双人照，则选中的2人恰为1男1女的概率是．

【答案】

【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式

【解析】【解答】设选中的2人恰为1男1女为事件A，随机选取两人有种选法，选取两人为1男1女有种选法，选中的2人恰为1男1女的概率是.

故答案为：

【分析】根据古典概率公式求解.

10．某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有种（用数字作答）．

【答案】20

【知识点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】先将5位学生分成2人和3人得两组有种分法，再将2名导师分到两组有种分法，共有种不同的方案.

故答案为：

【分析】先将5位学生分成2人和3人得两组，再全排列.

11．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体称作“阿基米德体”．若一个正四面体的棱长为12，则对应的“阿基米德体”的表面积为．

【答案】

【知识点】组合几何体的面积、体积问题

【解析】【解答】由题意得“阿基米德体”的表面积是由4个全等正六边形和4个全等正三角形组成，

正四面体的棱长为12，则对应的“阿基米德体”表面的正三角形边长为，面积为，正六边形边长为，面积为，“阿基米德体”的表面积为.

故答案为：

【分析】由题意得“阿基米德体”的表面积是由4个全等正六边形和4个全等正三角形组成，进而分析求解.

12．对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为．

【答案】8

【知识点】数列的递推公式；数列与不等式的综合；分析法和综合法

【解析】【解答】，设，则

要使，则数列的项有增也有减，

假设中有个，增量最大为，则必有项是减少的，，解得或，

取，按连续最大增量计算，取最大，则，有最大值，

的最大值为.

故答案为：

【分析】由得相邻两项最大相差2，利用数列的增减性判断.

二、单选题

13．（2023高三上·海淀期末）设、是两个不同的平面，直线，则“对内的任意直线，都有”是“”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定

【解析】【解答】因为、是两个不同的平面，直线，

若对内的任意直线，都有，根据线面垂直的定义可知，

，，

所以，“对内的任意直线，都有”“”；

若，因为，对内的任意直线，与的位置关系不确定，

所以，“对内的任意直线，都有”“”.

因此，“对内的任意直线，都有”是“”的充分而不必要条件.

故答案为：A.

【分析】根据空间线面垂直和面面垂直的关系，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.

14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生名、名、名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，若从高三年级抽取名学生，则为

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】分层抽样方法

【解析】【解答】由分层抽样原理得，求得.

故答案为：C

【分析】根据分层抽样原理进行求解.

15．点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的简单性质

【解析】【解答】由题得，设，则，，

，，

又，，即在有解，

解得或，，，，

椭圆的离心率的取值范围是.

故答案为：B

【分析】利用向量坐标运算将转化为在有解，进而求离心率范围.

16．已知非常数列满足，若，则（）

A．存在，，对任意，，都有为等比数列

B．存在，，对任意，，都有为等差数列

C．存在，，对任意，，都有为等差数列

D．存在，，对任意，，都有为等比数列

【答案】B

【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的递推公式

【解析】【解答】由题意得，令，则，

，，即，

为非常数列，

令，则数列是以为首项，为公比的等比数列，

，

当，即，时，，

即，数列是等差数列，

存在，，对任意，，都有为等差数列.

故答案为：B

【分析】分析得，令得，则为等比数列，求得，当时有为等差数列.

三、解答题

17．（2023高二上·乾安月考）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

【答案】（1）设等差数列的首项为，公差为，

根据题意有，

解答，所以，

所以等差数列的通项公式为；

（2）由条件，得，即，

因为，所以，并且有，所以有，

由得，整理得，

因为，所以有，即，

解得，

所以的取值范围是：

【知识点】一元二次不等式的解法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而解方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列{an}的通项公式。

（2）由条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，得出，因为，再利用等差数列的通项公式，所以，并且有，所以有，由，再利用等差数列前n项和公式，整理得，因为，所以有，再解一元二次不等式求出的取值范围。

18．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2．

（1）若圆雉的侧面积为，求圆锥的体积；

（2）设是底面半径，且是线段的中点，如图．求直线与平面所成的角的大小．

【答案】（1）解：由题意可知圆锥的底面半径为2，所以底面圆的周长为：，

所以侧面展开图扇形的弧长为，设半径为，由于圆雉的侧面积为，

所以，所以扇形的半径为，所以圆锥的母线长为，

所以在直角三角形中，，

所以圆锥的体积为：.

（2）解：由于为圆锥的高，所以，

且，所以分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

，，，，所以，

设平面的法向量为，

所以，

所以直线与平面所成的角的正弦值为，

所以直线与平面所成的角的大小为：.

【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；用空间向量研究直线与平面所成的角

【解析】【分析】(1)先根据圆雉的侧面积求出母线长，再分析求解圆锥的体积；；

(2)分别以的方向为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系利用空间向量求直线与平面所成的角的大小.

19．已知，如图是一张边长为的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．

（1）试把无盖纸盒的容积表示成裁去边长的函数；

（2）当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计）

【答案】（1）解：由题意，长方体的高为，底面是正方形，正方形的边长为，

则，所以，

则

（2）解：由（1）得，

则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，容积最大，最大值为.

【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；组合几何体的面积、体积问题

【解析】【分析】(1)利用长方体体积公式求解；

(2)求导，利用导数求出函数单调性，进而求容积最大值.

20．已知抛物线的焦点