【解析】广东省广州市2022届高三数学一模试卷

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广东省广州市2022届高三数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1．（2022·广州模拟）已知集合，，则的子集个数为（）

A．2B．3C．4D．6

2．（2022·广州模拟）若复数，则（）

A．2B．C．4D．5

3．（2022·广州模拟）甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（）

A．在这5天中，甲，乙两人加工零件数的极差相同

B．在这5天中，甲，乙两人加工零件数的中位数相同

C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数

D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差

4．（2022·广州模拟）曲线在点处的切线方程为（）

A．B．C．D．

5．（2023高三上·汕头期末）的展开式中的系数为（）

A．60B．24C．D．

6．（2022·广州模拟）若函数的大致图象如图，则的解析式可能是（）

A．B．

C．D．

7．（2022·广州模拟）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（）

A．B．C．D．

8．（2022·广州模拟）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（2022·广州模拟）已知直线与圆，则（）

A．直线与圆C相离

B．直线与圆C相交

C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个

D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个

10．（2022·广州模拟）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）

A．若，则是偶函数

B．若，则在区间上单调递减

C．若，则的图象关于点对称

D．若，则在区间上单调递增

11．（2022·广州模拟）在长方体中，，，，则下列命题为真命题的是（）

A．若直线与直线CD所成的角为，则

B．若经过点A的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点M，则

C．若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则

D．若经过点A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为，则

12．（2022·广州模拟）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（）

A．B．

C．D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2022·广州模拟）若，，则.

14．（2022·广州模拟）已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是.

15．（2022·广州模拟）已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于.

16．如图，在数轴上，一个质点在外力作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17．在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行323

第二行465

第三行9128

（1）写出，并求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前n项和.

18．（2022·广州模拟）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.

（1）证明：；

（2）若，求.

19．（2022·广州模拟）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.

（1）求证：平面平面ACD；

（2）若，，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.

20．（2022·广州模拟）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.

月份x12345

销售量y（万件）4.95.86.88.310.2

该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：.

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

（1）根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）；

（2）已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？

21．（2022·广州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）已知点，直线与x轴交于点D，直线AM与交于点N，是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

22．（2022·广州模拟）已知函数，为的导数.

（1）证明：当时，；

（2）设，证明：有且仅有2个零点.

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】由题可知

，所有

，所有其子集分别是

，所有共有4个子集

故答案为：C

【分析】首先由交集的定义结合已知条件求出

中的元素，然后由子集的定义计算出结果即可。

2．【答案】B

【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模

【解析】【解答】因为复数

，

所以

，

所以

，

故答案为：B

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。

3．【答案】C

【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差

【解析】【解答】甲在5天中每天加工零件的个数为：18，19，23，27，28；乙在5天中每天加工零件的个数为：17，19，21，23，25

对于A，甲加工零件数的极差为

，乙加工零件数的极差为

，A不符合题意；

对于B，甲加工零件数的中位数为

，乙加工零件数的中位数为

，B不符合题意；

对于C，甲加工零件数的平均数为

，乙加工零件数的中位数为

，C符合题意；

对于D，甲加工零件数的方差为

，乙加工零件数的方差为

，D不符合题意；

故答案为：C

【分析】根据题意由已知的茎叶图中的数据，并代入到极差、方差和中位数公式计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。

4．【答案】A

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】

，所以

，又当

时，

，所以

在点

处的切线方程为：

，即

故答案为：A

【分析】根据题意对函数求导，并把x的数值代入到导函数的解析式，计算出切线的斜率，然后由点斜式即可求出直线的方程。

5．【答案】B

【知识点】二项式定理

【解析】【解答】由的展开式通项为，

所以的展开式项为，

故系数为.

故答案为：B

【分析】首先写出展开式通项，再考虑通项与相乘得到含的项，即可得系数.

6．【答案】D

【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象

【解析】【解答】由图可知函数定义域为{x|x≠0}，由此排除A；

该函数图象关于原点对称，则该函数为奇函数，需满足f(x)＋f(－x)＝0，

对于B项：f(x)＋f(－x)≠0，故排除B；

C和D均满足f(x)＋f(－x)＝0，

对于C：

，当x→＋∞时，

→0，故

，

∵y＝

增长的速率比y＝

增长的速率慢，∴，

即图像在x轴上方无限接近于x轴正半轴，与题意不符，故排除C.

综上，D选项正确.

故答案为：D.

【分析】首先求出函数的定义域，再由奇偶函数的定义以及图象的性质，由此即可判断出选项A、B的正误；然后由函数单调性的性质和图象，对选项C、D判断正误，由此即可得出答案。

7．【答案】C

【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】如图，过点B作BD垂直准线

于点D，则由抛物线定义可知：

，

设直线AB为

，

，

，

，不妨设

，则

，

所以

，解得：

，则

，解得：

，则

，

所以

，解得：

，则直线AB为

，

所以当

时，即

，解得：

，则

，

联立

与

得：

，则

，

所以

，其中

.

故答案为：C

【分析】根据题意由设而不求法设出点的坐标，再由抛物线的定义以及性质计算出点的坐标，结合斜率公式求出直线的方程，并联立直线与抛物线的方程消元后结合韦达定理计算出点的纵坐标，并把结果代入到三角形的面积公式，由此计算出答案。

8．【答案】D

【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质

【解析】【解答】因为

，

为单调递增函数，故

，由于

，故

，或

，

当

时，

，此时

；

，故

；

，

；

当

时，

，此时

，

，故

；

，

；

ABC均错误；

D选项，

，两边取自然对数，

，因为不管

，还是

，均有

，所以

，故只需证

即可，

设

（

且

），则

，令

（

且

），则

，当

时，

，当

时，

，所以

，所以

在

且

上恒成立，故

（

且

）单调递减，因为

，所以

，结论得证，D符合题意

故答案为：D

【分析】由已知条件结合不等式的简单性质以及对数函数和指数函数的单调性，由此对选项逐一判断即可得出答案。

9．【答案】B,D

【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系

【解析】【解答】由圆

，可知其圆心坐标为

，半径为2，

圆心

到直线

的距离

，所以可知B，D符合题意，A，C不符合题意.

故答案为：BD

【分析】首先由已知条件求出圆心坐标以及半径，再由点到直线的距离公式计算出结果，从而判断出直线与圆的位置关系，由位置关系即可得出圆到直线距离的点的个数，由此对选项逐一判断即可得出答案。

10．【答案】A,C

【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】由题设，

，

时，

为偶函数，

在

上有

，

递增，A符合题意，B不符合题意；

时，

，

此时，

，即

关于点

对称，

在

上有

，

不单调，C符合题意，D不符合题意.

故答案为：AC

【分析】由函数平移的性质和奇偶函数的定义即可得出函数为偶函数，再由正弦函数的图象和单调性，对选项逐一判断即可得出答案。

11．【答案】A,C,D

【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法

【解析】【解答】A：如下图，直线

与直线CD所成角，即为直线

与直线AB所成角

，则

，正确；

B：构建如下图示的坐标系，过A的直线

与长方体所有棱所成的角相等，与面

交于

且

，又

，则

，故

，则

，错误.

C：如下图，过A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则直线m为以

为棱长的正方体的体对角线

，故

，正确；

D：如下图，过A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为

，只需面β与以

为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如面

，故

，则

，正确.

故答案为：ACD

【分析】由正方体的几何性质以及线面角的定义，即可判断出选项A正确；由已知条件建立空间直角坐标系由此求出点以及向量的坐标，然后由数量积的夹角公式代入数值计算出结果，由此判断出选项B错误；由正方体的几何性质结合三角形的几何性质，计算出正弦值由此判断出选项C正确；结合正方体的几何性质以及二面角的定义，利用三角形中的几何计算关系计算出结果，由此判断出选项D正确；从而即可得出答案。

12．【答案】B,C

【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式

【解析】【解答】由题可知

，

；

，

；

，

由此可知

，即一个等比数列；

A：

，A不符合题意；

B：

，因为

，所以该数列为递减数列，

又因为当

时，

，所以

恒成立，B符合题意；

C：

，即

，两边约去

得到

，

当

时，

，原式成立；

当

时，

恒成立，所以

成立，

即

成立，C符合题意；

D：令

，再令

，

令

解得

，因为

，所以取

，

由此可知

时

；

时

，

故

为最大值，

，根据单调性

，即

不恒成立，D不符合题意.

故答案为：BC

【分析】根据题意首先由已知条件结合等比数列的定义即可得出数列的通项公式；再把数值代入计算出函数的值，由此判断出选项A错误；由对数的运算性质以及函数单调性的定义即可判断出选项B正确；结合函数的单调性以及不等式的性质，整理化简由此判断出选项C正确；根据题意代入整理化简函数的解析式，再由二次函数的图象和性质，即可求出函数的最值，由此即可比较出大小，从而判断出选项D错误；由此即可得出答案。

13．【答案】

【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式

【解析】【解答】解：因为

，

，所以

，因为

，所以

所以

故答案为：

【分析】根据题意由同角三角函数的基本关系式，代入数值由角的取值范围计算出cosA的取值，然并把结果代入到正切公式计算出结果即可。

14．【答案】[-2，2]

【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角

【解析】【解答】如图示，以C为原点，

为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系.

因为菱形ABCD的边长为2，，则，，，.

因为点P在BC边上（包括端点），所以，其中.

所以，，

所以

.

因为

，所以

.

故答案为：[-2，2]

【分析】由已知条件建立直角坐标系由此计算出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式由一次函数的性质即可求出最值，从而即可得出取值范围。

15．【答案】

【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体

【解析】【解答】由题设，将三棱锥

补全为棱长为

的正方体，如下图示：

若

，则

，即

在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，

又

，

，

所以，面

与球面所成弧是以

为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为

；

面

与与球面所成弧是以

为圆心，4为半径且圆心角为

的圆弧，故弧长为

；

面

与球面所成弧是以

为圆心，4为半径且圆心角为

的圆弧，故弧长为

；

所以最长弧的弧长为

.

故答案为：

.

【分析】由已知条件结合三棱锥的几何性质，由球面圆弧的几何意义，计算出结果即可。

16．【答案】

【知识点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】根据题意，移动6次的所有情况共26=64种；

因为每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，

所以原点O出发，最终停在-2的位置上，则向右移动2次且向左移动4次.

记向右移动一次为R，向左移动一次为L，该题则转化为RRLLLL六个字母排序的问题，

故落在-2上的排法为，

所以"质点位于-2的位置"的概率为.

故答案为：

【分析】本题主要考查排列知识、古典概型的概率公式，本题首先考虑所有可移动情况，然后求出质点移动6次到-2位置的概率，即可求解.

17．【答案】（1）解：根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，，

即数列是首项为，公比为的等比数列，故

（2）解：因为

当为偶数时，

当为奇数时，

综上所述，

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质

【解析】【分析】本题主要考察等比数列的通项公式、分组求和法、并项求和法.

（1）根据题表观察，得出a1=2，a2=4，a3=8，由此得出an=2n.

（2），通过进行分组求和，并项求和得出结果.

18．【答案】（1）证明：由题设，，又，

所以，由正弦定理可得，

所以，又，

所以，即.

（2）解：由（1）及题设，，且，

所以，则，故，

又，可得，

若，则，而，故不合题设；

所以，

所以.

【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】(1)首先由正弦定理整理化简原式，然后由两角和的正弦公式整理即可得证出结论。

(2)由两角和的正弦公式整理化简原式，由此计算出cosC的取值，结合角的取值范围以及同角三角函数的基本关系式即可求出sinA的值，并把数值代入到余弦定理由此计算出sinB的取值，结合角B的取值范围以及同角三角函数的基本关系式即可求出cosB的值，由已知条件结合诱导公式以及两角和的余弦公式代入数值计算出结果即可。

19．【答案】（1）证明：若O是中点，连接，作，由知：，

因为面ABC，则面ABC，又面ABC，

所以，，

综上，两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，

令，，，则，，，

所以，，

若是面的一个法向量，即，令，则，

又是面的一个法向量，则，

所以面面.

（2）解：由面ABC，面ABED，则面ABED面ABC，故到面ABED的距离，即为△中AB上的高，

因为，，则，故，

所以AB上的高.

又面ABC，则AB，而，有AB，，

所以ABCD为直角梯形，令，则，

综上，，故.

由（1）知：，，，，

所以，，

若是面ABED的一个法向量，即，令，则，

而，则，

所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为.

【知识点】平面与平面垂直的判定；向量的数量积判断向量的共线与垂直；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角

【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系，从而求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式即可求出平面的法向量，从而得出面面垂直。

(2)首先由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，然后由三角形中的几何计算关系计算出高的，结合梯形的面积公式以及棱锥的体积公式代入数值计算出a的取值；然后由空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的夹角公式计算出线面角的大小即可。

20．【答案】（1）解：令，则，，

，，所以y关于x的回归方程为；

（2）解：由（1）知：，

，令，

令得：，令得：，令得：，所以在处取得极大值，也是最大值，

所以第9个月的月利润预报值最大.

【知识点】函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；线性回归方程

【解析】【分析】(1)根据题意线性回归的性质把数值代入到公式计算出结果，再由线性回归方程利用待定系数法计算出结果，从而得出方程。

(2)首先整理化简得出函数的解析式，再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值，结合函数极值与最值的关系即可得出答案。

21．【答案】（1）解：设，则且，

所以M的轨迹为曲线C方程为且.

（2）解：设，则直线AM为，

联立曲线C得：，整理得：，

由题设知：，则，故，

又，，

所以，即，

所以存在，使.

【知识点】二倍角的正切公式；斜率的计算公式；曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)首先设出点的坐标，然后由斜率的坐标公式代入整理化简即可得出点M的轨迹方程。

(2)根据题意设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，结合韦达定理即可求出两根之和与两根之积关于n的代数式，由二倍角的正切公式代入即可得出角之间的关系，由此得证出结论。

22．【答案】（1）证明：由，

设，则，

当时，设，，

∵，，

∴和在上单调递增，

∴，，

∴当时，，，

则，

∴函数在上单调递增，

∴，即当时，；

（2）解：由已知得，

①当时，

∵，

∴在上单调递增，

又∵，，

∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，

②当时，

设，则，

∴在上单调递减，

∴，

∴，

∴，

∴在上单调递减，

又∵，，

∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，

综上所述，有且仅有2个零点.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理

【解析】【分析】(1)首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由此即可得出

和

，由此代入即可得出导函数的性质从而得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式。

(2)根据题意对x分情况讨论，结合导函数的性质得出函数的单调性，由函数的单调性以及零点存在性定理即可得证出结论。

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广东省广州市2022届高三数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1．（2022·广州模拟）已知集合，，则的子集个数为（）

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】由题可知

，所有

，所有其子集分别是

，所有共有4个子集

故答案为：C

【分析】首先由交集的定义结合已知条件求出

中的元素，然后由子集的定义计算出结果即可。

2．（2022·广州模拟）若复数，则（）

A．2B．C．4D．5

【答案】B

【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模

【解析】【解答】因为复数

，

所以

，

所以

，

故答案为：B

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。

3．（2022·广州模拟）甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（）

A．在这5天中，甲，乙两人加工零件数的极差相同

B．在这5天中，甲，乙两人加工零件数的中位数相同

C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数

D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差

【答案】C

【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差

【解析】【解答】甲在5天中每天加工零件的个数为：18，19，23，27，28；乙在5天中每天加工零件的个数为：17，19，21，23，25

对于A，甲加工零件数的极差为

，乙加工零件数的极差为

，A不符合题意；

对于B，甲加工零件数的中位数为

，乙加工零件数的中位数为

，B不符合题意；

对于C，甲加工零件数的平均数为

，乙加工零件数的中位数为

，C符合题意；

对于D，甲加工零件数的方差为

，乙加工零件数的方差为

，D不符合题意；

故答案为：C

【分析】根据题意由已知的茎叶图中的数据，并代入到极差、方差和中位数公式计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。

4．（2022·广州模拟）曲线在点处的切线方程为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】

，所以

，又当

时，

，所以

在点

处的切线方程为：

，即

故答案为：A

【分析】根据题意对函数求导，并把x的数值代入到导函数的解析式，计算出切线的斜率，然后由点斜式即可求出直线的方程。

5．（2023高三上·汕头期末）的展开式中的系数为（）

A．60B．24C．D．

【答案】B

【知识点】二项式定理

【解析】【解答】由的展开式通项为，

所以的展开式项为，

故系数为.

故答案为：B

【分析】首先写出展开式通项，再考虑通项与相乘得到含的项，即可得系数.

6．（2022·广州模拟）若函数的大致图象如图，则的解析式可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象

【解析】【解答】由图可知函数定义域为{x|x≠0}，由此排除A；

该函数图象关于原点对称，则该函数为奇函数，需满足f(x)＋f(－x)＝0，

对于B项：f(x)＋f(－x)≠0，故排除B；

C和D均满足f(x)＋f(－x)＝0，

对于C：

，当x→＋∞时，

→0，故

，

∵y＝

增长的速率比y＝

增长的速率慢，∴，

即图像在x轴上方无限接近于x轴正半轴，与题意不符，故排除C.

综上，D选项正确.

故答案为：D.

【分析】首先求出函数的定义域，再由奇偶函数的定义以及图象的性质，由此即可判断出选项A、B的正误；然后由函数单调性的性质和图象，对选项C、D判断正误，由此即可得出答案。

7．（2022·广州模拟）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】如图，过点B作BD垂直准线

于点D，则由抛物线定义可知：

，

设直线AB为

，

，

，

，不妨设

，则

，

所以

，解得：

，则

，解得：

，则

，

所以

，解得：

，则直线AB为

，

所以当

时，即

，解得：

，则

，

联立

与

得：

，则

，

所以

，其中

.

故答案为：C

【分析】根据题意由设而不求法设出点的坐标，再由抛物线的定义以及性质计算出点的坐标，结合斜率公式求出直线的方程，并联立直线与抛物线的方程消元后结合韦达定理计算出点的纵坐标，并把结果代入到三角形的面积公式，由此计算出答案。

8．（2022·广州模拟）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质

【解析】【解答】因为

，

为单调递增函数，故

，由于

，故

，或

，

当

时，

，此时

；

，故

；

，

；

当

时，

，此时

，

，故

；

，

；

ABC均错误；

D选项，

，两边取自然对数，

，因为不管

，还是

，均有

，所以

，故只需证

即可，

设

（

且

），则

，令

（

且

），则

，当

时，

，当

时，

，所以

，所以

在

且

上恒成立，故

（

且

）单调递减，因为

，所以

，结论得证，D符合题意

故答案为：D

【分析】由已知条件结合不等式的简单性质以及对数函数和指数函数的单调性，由此对选项逐一判断即可得出答案。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（2022·广州模拟）已知直线与圆，则（）

A．直线与圆C相离

B．直线与圆C相交

C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个

D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个

【答案】B,D

【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系

【解析】【解答】由圆

，可知其圆心坐标为

，半径为2，

圆心

到直线

的距离

，所以可知B，D符合题意，A，C不符合题意.

故答案为：BD

【分析】首先由已知条件求出圆心坐标以及半径，再由点到直线的距离公式计算出结果，从而判断出直线与圆的位置关系，由位置关系即可得出圆到直线距离的点的个数，由此对选项逐一判断即可得出答案。

10．（2022·广州模拟）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）

A．若，则是偶函数

B．若，则在区间上单调递减

C．若，则的图象关于点对称

D．若，则在区间上单调递增

【答案】A,C

【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】由题设，

，

时，

为偶函数，

在

上有

，

递增，A符合题意，B不符合题意；

时，

，

此时，

，即

关于点

对称，

在

上有

，

不单调，C符合题意，D不符合题意.

故答案为：AC

【分析】由函数平移的性质和奇偶函数的定义即可得出函数为偶函数，再由正弦函数的图象和单调性，对选项逐一判断即可得出答案。

11．（2022·广州模拟）在长方体中，，，，则下列命题为真命题的是（）

A．若直线与直线CD所成的角为，则

B．若经过点A的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点M，则

C．若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则

D．若经过点A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为，则

【答案】A,C,D

【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法

【解析】【解答】A：如下图，直线

与直线CD所成角，即为直线

与直线AB所成角

，则

，正确；

B：构建如下图示的坐标系，过A的直线

与长方体所有棱所成的角相等，与面

交于

且

，又

，则

，故

，则

，错误.

C：如下图，过A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则直线m为以

为棱长的正方体的体对角线

，故

，正确；

D：如下图，过A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为

，只需面β与以

为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如面

，故

，则

，正确.

故答案为：ACD

【分析】由正方体的几何性质以及线面角的定义，即可判断出选项A正确；由已知条件建立空间直角坐标系由此求出点以及向量的坐标，然后由数量积的夹角公式代入数值计算出结果，由此判断出选项B错误；由正方体的几何性质结合三角形的几何性质，计算出正弦值由此判断出选项C正确；结合正方体的几何性质以及二面角的定义，利用三角形中的几何计算关系计算出结果，由此判断出选项D正确；从而即可得出答案。

12．（2022·广州模拟）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（）

A．B．

C．D．

【答案】B,C

【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式

【解析】【解答】由题可知

，

；

，

；

，

由此可知

，即一个等比数列；

A：

，A不符合题意；

B：

，因为

，所以该数列为递减数列，

又因为当

时，

，所以

恒成立，B符合题意；

C：

，即

，两边约去

得到

，

当

时，

，原式成立；

当

时，

恒成立，所以

成立，

即

成立，C符合题意；

D：令

，再令

，

令

解得

，因为

，所以取

，

由此可知

时

；

时

，

故

为最大值，

，根据单调性

，即

不恒成立，D不符合题意.

故答案为：BC

【分析】根据题意首先由已知条件结合等比数列的定义即可得出数列的通项公式；再把数值代入计算出函数的值，由此判断出选项A错误；由对数的运算性质以及函数单调性的定义即可判断出选项B正确；结合函数的单调性以及不等式的性质，整理化简由此判断出选项C正确；根据题意代入整理化简函数的解析式，再由二次函数的图象和性质，即可求出函数的最值，由此即可比较出大小，从而判断出选项D错误；由此即可得出答案。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2022·广州模拟）若，，则.

【答案】

【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式

【解析】【解答】解：因为

，

，所以

，因为

，所以

所以

故答案为：

【分析】根据题意由同角三角函数的基本关系式，代入数值由角的取值范围计算出cosA的取值，然并把结果代入到正切公式计算出结果即可。

14．（2022·广州模拟）已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是.

【答案】[-2，2]

【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角

【解析】【解答】如图示，以C为原点，

为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系.

因为菱形ABCD的边长为2，，则，，，.

因为点P在BC边上（包括端点），所以，其中.

所以，，

所以

.

因为

，所以

.

故答案为：[-2，2]

【分析】由已知条件建立直角坐标系由此计算出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式由一次函数的性质即可求出最值，从而即可得出取值范围。

15．（2022·广州模拟）已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于.

【答案】

【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体

【解析】【解答】由题设，将三棱锥

补全为棱长为

的正方体，如下图示：

若

，则

，即

在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，

又

，

，

所以，面

与球面所成弧是以

为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为

；

面

与与球面所成弧是以

为圆心，4为半径且圆心角为

的圆弧，故弧长为

；

面

与球面所成弧是以

为圆心，4为半径且圆心角为

的圆弧，故弧长为

；

所以最长弧的弧长为

.

故答案为：

.

【分析】由已知条件结合三棱锥的几何性质，由球面圆弧的几何意义，计算出结果即可。

16．如图，在数轴上，一个质点在外力作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为.

【答案】

【知识点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】根据题意，移动6次的所有情况共26=64种；

因为每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，

所以原点O出发，最终停在-2的位置上，则向右移动2次且向左移动4次.

记向右移动一次为R，向左移动一次为L，该题则转化为RRLLLL六个字母排序的问题，

故落在-2上的排法为，

所以"质点位于-2的位置"的概率为.

故答案为：

【分析】本题主要考查排列知识、古典概型的概率公式，本题首先考虑所有可移动情况，然后求出质点移动6次到-2位置的概率，即可求解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17．在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行323

第二行465

第三行9128

（1）写出，并求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前n项和.

【答案】（1）解：根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，，

即数列是首项为，公比为的等比数列，故

（2）解：因为

当为偶数时，

当为奇数时，

综上所述，

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质

【解析】【分析】本题主要考察等比数列的通项公式、分组求和法、并项求和法.

（1）根据题表观察，得出a1=2，a2=4，a3=8，由此得出an=2n.

（2），通过进行分组求和，并项求和得出结果.

18．（2022·广州模拟）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.

（1）证明：；

（2）若，求.

【答案】（1）证明：由题设，，又，

所以，由正弦定理可得，

所以，又，

所以，即.

（2）解：由（1）及题设，，且，

所以，则，故，

又，可得，

若，则，而，故不合题设；

所以，

所以.

【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】(1)首先由正弦定理整理化简原式，然后由两角和的正弦公式整理即可得证出结论。

(2)由两角和的正弦公式整理化简原式，由此计算出cosC的取值，结合角的取值范围以及同角三角函数的基本关系式即可求出sinA的值，并把数值代入到余弦定理由此计算出sinB的取值，结合角B的取值范围以及同角三角函数的基本关系式即可求出cosB的值，由已知条件结合诱导公式以及两角和的余弦公式代入数值计算出结果即可。

19．（2022·广州模拟）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.

（1）求证：平面平面ACD；

（2）若，，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.

【答案】（1）证明：若O是中点，连接，作，由知：，

因为面ABC，则面ABC，又面ABC，

所以，，

综上，两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，

令，，，则，，，

所以，，

若是面的一个法向量，即，令，则，

又是面的一个法向量，则，

所以面面.

（2）解：由面ABC，面ABED，则面ABED面ABC，故到面ABED的距离，即为△中AB上的高，

因为，，则，故，

所以AB上的高.

又面ABC，则AB，而，有AB，，

所以ABCD为直角梯形，令，则，

综上，，故.

由（1）知：，，，，

所以，，

若是面ABED的一个法向量，即，令，则，

而，则，

所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为.

【知识点】平面与平面垂直的判定；向量的数量积判断向量的共线与垂直；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角

【解