2023年湖北省重点学校高一（下）期中联考数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知全集，，若，则()

A.B.C.D.

2.已知复数其中是虚数单位是实数，则实数的值是()

A.B.C.D.

3.中内角，，所对的边分别是，，，，，那么是()

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

4.函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则()

A.B.C.D.

5.的斜二测画法的直观图为，，，，则的面积为()

A.B.C.D.

6.中内角，，所对的边分别是，，，若的面积为，则()

A.B.C.D.

7.在中，，，为的中点，将绕旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为()

A.B.C.D.

8.在中，为上的中线，为的重心，，分别为线段，上的动点，且，，三点共线，若，，则的最小值为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有()

A.B.C.D.

10.下列各式中，值是的是()

A.B.

C.D.

11.已知，将绕坐标原点分别旋转，，到，，的位置，则()

A.点的坐标为B.

C.D.

12.欧拉公式其中为虚数单位由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是()

A.B.

C.D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知为虚数单位，则______．

14.已知正四棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱长为则四棱台的高为______．

15.在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则角的角平分线______．

16.已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知复数，且为纯虚数．

求实数；

若，，求复数．

18.本小题分

已知向量，满足，

若，求的值；

若，求在上的投影向量的坐标．

19.本小题分

如图所示，为平面四边形的对角线，设，，为等边三角形，记．

当时，求的面积；

设为四边形的面积，用含有的关系式表示，并求的最大值．

20.本小题分

已知函数，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定；

条件：的最小正周期为；条件：；条件：图象的一条对称轴为．

求的解析式；

存在使得不等式成立，求实数的取值范围．

21.本小题分

如图，在正四棱锥中，，，、、分别为、、中点．

求证：平面；

三棱锥的体积．

22.本小题分

已知中，，，，是边含端点上的动点．

若，点为与的交点，请用，表示；

若点使得，求的取值范围及的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意可得：，

因为，，，所以．

故选：．

根据题意求全集，再结合集合的交集和并集分析求解．

本题考查集合的运算，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：因为是实数，

则，解得．

故选：．

利用复数的除法化简复数，根据复数的概念可得出关于的等式，解之即可．

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：由，整理得，

所以，因为，所以，

又因为，即，

可得，解得，又，

所以三角形是等边三角形．

故选：．

根据余弦定理求得，得到，再由结合正、余弦定理，求得，即可求解．

本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：由题得最小正周期，可得，所以．

的图象向右平移个单位长度后为偶函数的图象，

故，，，．

，．

故选：．

根据最小正周期求出，写出平移后的解析式，根据其为偶函数得到，，根据的范围即可得到答案．

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：由已知可知，，

由，解得．

故选：．

根据直观图和原图的面积关系，即可求解．

本题主要考查斜二测画法，考查运算求解能力，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：在中，由余弦定理得，

又，

所以，即，

所以．

故选：．

利用余弦定理及三角形面积公式，再结合条件即可求出结果．

本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：如下图所示：

圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心．

翻折前，在中，，，为的中点，则，

且，

翻折后，则有，，

又因为，、平面，所以，平面，

由已知，，满足，

则是斜边长为的等腰直角三角形，

将三棱锥置于圆柱上，使得的外接圆为圆，

所以，的外接圆直径为，

所以，三棱锥的外接球直径为，

则，

因此，三棱锥的外接球表面积为．

故选：．

推导出平面，计算出的外接圆的直径，可得出三棱锥的外接球直径为，再利用球表面积公式可求得结果．

本题考查球的表面积相关知识，属于中档题．

8.【答案】

【解析】解：由题意在中，为上的中线，为的重心，

且，，，，

故，

由于，，三点共线，故，

故，

当且仅当时，结合，即时等号成立，

故的最小值为．

故选：．

根据向量的线性运算表示出，利用，，三点共线可得，继而将化为，结合基本不等式即可求得答案．

本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量共线的充要条件，基本不等式的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：对于，由为上底面的面对角线，与下底面过的面对角线平行，

所以与平面相交，故A错误；

对于，由中位线定理可得，平面，平面，可得平面，故B错误；

对于，取中点，连接，，，可得截面为正六边形，即有平面，故C错误；

对于，连接，设与的交点为，连接，由中位线定理可得，

而平面，平面，则平面，故D正确．

故选：．

结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项．

本题主要考查空间中直线和平面的位置关系，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：，A正确；

，不对；

，C正确；

，D正确．

故选：．

利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断．

本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．

11.【答案】

【解析】解：，

，

对于选项A：设点，所对应的任意角为分别为，，

则由三角函数的定义可知，，，

，

，

由三角函数的定义可知的坐标为，故A错误；

对于选项B：由题意可知：，，

即，为正三角形，可得，故B错误；

对于选项C：由题意可得：，，

所以，故C正确；

对于选项D：由题意可得：，，，

所以，

即，故D正确．

故选：．

对于：根据两角和差公式运算求解；对于：根据几何性质分析判断；对于、：根据数量积的定义分析判断．

本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：对于，由欧拉公式可知，，

故选项A正确；

对于：由欧拉公式可知，，

因为，

所以，

所以，故选项B正确；

对于：因为，

，

所以选项C错误；

对于：因为，

，

则

，

所以，则选项D正确．

故选：．

根据题中欧拉公式结合复数，诱导公式，三角恒等变换化简整理可判断．

本题考查欧拉公式，考查运算求解能力，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：由的计算规律，可得，

所以．

故答案为：．

先求得，结合复数的运算法则，即可求解．

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：正四棱台对角面等腰梯形的高即为该正四棱台的高，

因为正四棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱长为，

则该四棱台对角面等腰梯形的上下底边长分别为，腰长为，

因此等腰梯形的高为，

所以四棱台的高为．

故答案为：．

根据给定条件，求出正四棱台的对角面等腰梯形的高即可作答．

本题主要考查了正四棱台的结构特征，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：由正弦定理得，

，，

，都是锐角，

，，

，

在中，由正弦定理得：，

．

故答案为：．

运用正弦定理和两角和差公式求解．

本题主要考查了正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：因为

，

如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，

则是函数的最小值，是函数的最大值，

因为，若使得最小，则函数的最小正周期取最大值，

且函数最小正周期的最大值为，

故的最小值为，则的最小值为．

故答案为：．

利用三角恒等变换化简函数的解析式，分析可知是函数的最小值，是函数的最大值，求出函数最小正周期的最大值，可求得的最小值．

本题考查了三角函数最值的问题，属于中档题．

17.【答案】解：因为为纯虚数，

所以，故；

由有，所以，

令，，则，

所以，解得，

故．

【解析】利用复数的乘法化简复数，根据复数的概念可得出关于的等式与不等式，解之即可；

根据复数的模公式以及共轭复数求解即可．

本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．

18.【答案】解：由题得，

，

．

；

，

，

，

投影向量坐标为，

投影向量坐标为．

【解析】由已知求出，再利用向量模的公式求解；

由已知求出，再利用投影向量的公式求解．

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．

19.【答案】解：，，

在中，由正弦定理得，即，

由余弦定理得，

又，，

，即的面积为；

在中，由余弦定理得，

，

，

，，

当，即时，，

故的最大值为．

【解析】利用正弦定理可得，再利用余弦定理求出，即可得出答案；

利用余弦定理可得，求出，再利用正弦型的图象和性质，即可得出答案．

本题考查解三角形和三角函数的性质，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

20.【答案】解：选，

因为，所以，

所以，

又因为为对称轴，所以，

而，所以，所以；

令，

，

令，

因为在上单增，

所以当时，，

．

【解析】要使解析式唯一，可选，结合周期公式、对称轴处满足的性质求解；

原不等式左边可化为关于的二次式的形式，然后借助于二次函数的单调性求最值，得到的范围．

本题考查三角函数的性质以及解析式的求法，不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．

21.【答案】解：证明：连接，

四边形为正方形，、分别为、中点，

，

又，，，，五点共面，平面，平面，

平面，

在正四棱锥中，连接，交于点，连接，

则平面，又平面，所以，

所以，

，

因为，为中点．

所以

，

故．

【解析】通过证明得到平面；

先求得，通过体积转化得，求得

本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．

22.【答案】解：已知中，，，，是边含端点上的动点，

，

又、、三点共线，

令，

，

而、、三点共线，

，

，

；

可得，

又因为，

设，

则，

由，可得，

即，

所以，

即，

整理得，

因为，在上单调