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第九节连续函数运算与初等函数连续性一、连续函数四则运算二、反函数与复合函数连续性三、初等函数连续性第1页第1页一、连续函数四则运算定理1比如结论三角函数在其定义域内皆连续.第2页第2页二、反函数与复合函数连续性1.反函数连续性连续单调递增函数反函数也连续单调递增.定理2(或递减)(或递减)即(递减)(递减)证实第3页第3页比如反三角函数在其定义域内皆连续.同理结论第4页第4页11第5页第5页定理32.复合函数连续性定理意义：(2)连续函数极限符号能够与函数符号互换.证实f连续f连续第6页第6页例1

解:

尤其地

连续第7页第7页例2

解:

同理可得

例3

解:

第8页第8页定理4即

连续函数复合函数是连续.证实由定理3，可得f连续g连续第9页第9页比如o第10页第10页三、初等函数连续性(1)三角函数在它们定义域内是连续.已有结果：(2)反三角函数在它们定义域内是连续.(均在其定义域内连续)基本初等函数在定义区间内连续.第11页第11页基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续比如(端点为单侧连续)第12页第12页阐明(1)

初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续，比如,(孤立点)在0点邻域内没有定义.因此它无连续点.注意定义区间与定义域区别;第13页第13页(2)初等函数求极限办法代入法.例4

解:

例5

解:

---求极限又一个办法.分子有理化第14页第14页例6

解:

等价无穷小代换阐明

第15页第15页阐明

如例6

不小于0常数常数极限不是常数注意使用条件第16页第16页练习

解:

解:

第17页第17页小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数四则运算结果仍连续连续函数反函数连续连续函数复合函数连续

初等函数在定义区间内连续阐明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.第18页第18页作业：P69-70习题1-91.3.(4)(5)(7)4.(1)(3)(4)(5)(6)6.第19页第19页反例反之是否成立?提醒:“反之”不成立.思考与练习狄利克雷函

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