新教材人教A版3.4函数的应用(一)课件（54张）

3.4函数的应用(一)关键能力探究探究点一一次函数模型【典例1】某校高一(8)班共有学生50人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元.经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示的关系.(1)求y与x的函数关系.(2)若该班每年需要纯净水380桶,且a=120时,请你根据提供的信息分析一下:该班学生集体改饮纯净水与个人买饮料相比,哪一种更省钱?【思维导引】本题呈现的图象是一条直线,实质是考查数形结合思想、信息处理能力、待定系数法,解答本题的关键是读懂题意,理解问题的实质.【解析】(1)由题意可设y与x的函数关系式为y=kx+b,把(4,400),(5,320)代入得解得所以y=-80x+720.(2)当a=120时,若购买饮料,则总费用为120×50=6000(元);若集体改用桶装纯净水,设所用的费用为ω元,由380=-80x+720,得x=4.25.所以ω=380×4.25+780=2395(元)<6000(元).所以该班学生集体改饮桶装纯净水更省钱.【类题通法】一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.(2)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是:设元、列式、求解.提醒:解一次函数模型题的关键是准确读懂题意,从中提炼出一次函数模型以及一些关键点,并用待定系数法确定一次函数解析式.【定向训练】某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有电脑6台,乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元,乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元.(1)设甲地调运x台至B地,该公司运往A和B两地的总运费为y元,求y关于x的函数解析式.(2)若总运费不超过1000元,问能有几种调运方案?【解析】(1)设甲地调运x台到B地,则剩下(6-x)台电脑调运到A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,调运[10－(6－x)]=(x+4)台电脑至A地(0≤x≤6,x∈N),则总运费y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960,所以y=20x+960(x∈N,且0≤x≤6).(2)若使y≤1000,即20x+960≤1000,得x≤2.又0≤x≤6,x∈N,所以0≤x≤2,x∈N.所以x=0,1,2,即能有3种调运方案.【补偿训练】1.一段导线,在0℃时的电阻为2Ω,温度每增加1℃,电阻增加0.008Ω,那么电阻R(Ω)表示为温度t(℃)的函数关系式为 ()【解析】选B.由题意知电阻R与温度t构成一次函数关系,即R=2+0.008t.2.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次,存车费为:电动自行车0.3元/辆,普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车存放x辆次,存车费总收入为y元,则y与x的函数解析式为 ()A.y=0.2x(0≤x≤4000) B.y=0.5x(0≤x≤4000)C.y=-0.1x+1200(0≤x≤4000) D.y=0.1x+1200(0≤x≤4000)【解析】选C.由题意知,普通自行车存放x辆次时,电动自行车存放(4000-x)辆次,则y=(4000-x)×0.3+0.2x=-0.1x+1200,0≤x≤4000.探究点二二次函数模型【典例2】A,B两城相距100km,在两地之间距A城xkm处的D地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得少于10km,已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.(1)把A,B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数,并求定义域.(2)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用最小.【思维导引】(1)分别求出A、B两城月供电费用,进而可求出两地的月供电总费用.(2)建立二次函数模型,利用二次函数求最值的方法求解.【解析】(1)由题意,设A城的月供电费用为y1,则y1=λ×20x2.设B城的月供电费用为y2,则y2=λ×10×(100-x)2,所以A、B两城月供电总费用y=λ×20x2+λ×10×(100-x)2.因为λ=0.25,所以y=x2-500x+25000,定义域为[10,90].(2)由y=-500x+25000=,则当x=时,y最小.故当核电站建在距A城km处时,才能使供电总费用最小.【类题通法】二次函数模型是实际应用题中常见的类型,也是高考考查的重点题型.在解决实际问题中的最大、最小值问题时,可利用配方法、函数的单调性等方法.【知识延拓】解决二次函数模型应用题的四个步骤(1)审题:理解题意,设定变量x,y.(2)建模:建立二次函数关系,并注明定义域.(3)解模:运用二次函数相关知识求解.(4)结论:回归到应用问题中去,给出答案.【定向训练】1.某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是f(t)=-t2+24t-101,则该沙漠地区在该时段的最大温差是 ()【解析】选C.f(t)=-t2+24t-101,对称轴为t=12,所以f(t)在[4,12]递增,在(12,18]递减;所以f(t)max=f(12)=43,f(t)max=f(4)=-21,所以在该时段的最大温差是43-(-21)=64.2.某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档次产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则每天获得利润最大时生产产品的档次是 ()【解析】选C.由题意知,当生产第k档次的产品时,每天可获利润y=[8+2][60-3(k-1)]=-6k2+108k+378,配方可得y=-6+864,所以当k=9时,获得利润最大.3.某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元,每桶水进价为5元,销售单价与日销售量的关系如表:销售单价(元)6789101112日销售量(桶)480440400360320280240请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最大利润是多少?【解题指南】解答本题可先分析表格,从中找到单价每增加1元,日销量就减少40桶,然后设出有关未知量,建立函数模型,进而解决问题.【解析】设每桶水在进价的基础上上涨x元,利润为y元,由题干表格中的数据可以得到,价格每上涨1元,日销售量就减少40桶,所以涨价x元后,日销售的桶数为480-40(x-1)=520-40x>0,所以0<x<13,则利润y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200=-40+1490,其中0<x<13.所以当x=6.5时,利润最大,即当每桶水的价格为11.5元时,最大利润是1490元.探究点三幂函数模型【典例3】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额x(万元)的函数关系式.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,最大收益是多少万元?【思维导引】(1)分别设出两类产品的收益与投资额的函数关系式,结合题中条件求解.(2)建立收益与投资稳健型产品金额的函数关系式求解.【解析】(1)设两类产品的收益与投资额x(万元)的函数关系式分别为f(x)=k1x(x≥0),g(x)=k2(x≥0),结合已知得f(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设投资稳健型产品a万元,则投资风险型产品(20-a)万元,依题意得获得收益y=f(a)+g(20-a)=(0≤a≤20),令t=(0≤t≤2),则a=20-t2,所以y=所以当t=2,即a=16时,y取得最大值,ymax=3.故当投资稳健型产品16万元,投资风险型产品4万元时,可使投资获得最大收益,最大收益是3万元.【类题通法】幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数解析式,利用待定系数法求出参数,明确函数解析式.(2)根据题意,直接列出相应的函数解析式.探究点四分段函数模型【典例4】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收入满足函数:R(x)=其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x).(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?【思维导引】利润=总收入-总成本.由于R(x)是分段函数,所以f(x)也要分段求出,分别求出f(x)在各段中的最大值,通过比较,就能确定f(x)的最大值.【解析】(1)由月产量为x台,得总成本为20000+100x,所以f(x)=(2)当0≤x≤400时,f(x)=-x2+300x-20000=-(x-300)2+25000,所以当x=300时,f(x)max=25000,当x>400时,f(x)=60000-100x,所以f(x)<f(400)=20000.综上可知当每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为25000元.【类题通法】分段函数主要是每一段自变量所遵循的变化规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变量的范围,特别是端点值.【定向训练】某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.【解析】(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,所以x∈(45，100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=30·x%+40(1－x%)=40-;当30<x<100时,g(x)=

所以g(x)=当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增;说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【补偿训练】通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明:用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大,表示接受能力越强),x表示提出和讲授概念的时间(单位:min),可有以下的公式:f(x)=(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间?(2)一道数学难题,需要55的接受能力以及13min的时间,教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题?(3)如果每隔5min测量一次学生的接受能力,再计算平均值M=它能高于45吗?【解析】2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9,故此时f(x)递增,最大值为f(10)=-0.1×(-3)2+59.9=59;显然,当16<x≤30时,f(x)递减,f(x)<-3×16+107=59.因此,开讲后10min,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6min.(2)当0<x≤10时,令f(x)=55,则-0.1×(x-13)2=-4.9,即(x-13)2=49,所以x=20或6,但0<x≤10,故x=6.当16<x≤30时,令f(x)=55,则-3x+107=55,所以x=17.因此学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17-6=11<13(min),教师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.(3)f(5)=53.5,f(10)=59,f(15)=59,f(20)=47,f(25)=-3×25+107=32,f(30)=-3×30+107=17.所以M=≈44.6<45.故平均值不能高于45.函数的应用核心知识方法总结易错提醒核心素养在解决具体函数模型问题时要有建模意识求解函数解析式时要综合应用图形、待定系数法等数学建模：通过具体函数模型的运用，培养数学建模的核心素养利用图形求解析式时注意端点值解决实际问题一定注意定义城，分段函数分类时合理，不重不漏函数模型解析式图象的形式由图象写出解析式一次函数二次函数幂函数课堂素养达标1.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000.而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本,至少日产手套 ()A.2000双 B.4000双 C.6000双 D.8000双【解析】选D.由5x+40000≤10x,得x≥8000.2.某品牌电动车有两个连锁店,其月利润(单位:元)分别为y1=-5x2+900x-16000,y2=300x-2000,其中x为销售量.若某月两店共销售了110辆电动车,则最大利润为 ()A.11000元 B.22000元 C.33000元 D.40000元【解析】选C.设两个店分别销售出x与(110-x)辆电动车,则两店月利润L=-5x2+900x-16000+300(110-x)-2000=-5x2+600x+15000=-5(x-60)2+33000,所以当x=60时,两店的月利润取得最大值,最大值为33000元.【补偿训练】一个等腰三角形的周长为20,底边y是关于腰长x的函数,则它的解析式为 ()A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10)【解析】选D.依题意,得2x+y=20,所以y=20-2x.又y>0,所以20-2x>0,所以x<10.又2x>y,所以2x>20-2x,所以x>5,所以5<x<10.3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为 ()【解析】选C.令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用人数为25.4.(2020·天津高一检测)发展农村电商是“乡村振兴计划”的重要组成,某农村电商结合自己出售的商品,要购买3000个高为2分米,体积为18立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研.此类包装盒按面积计价,每平方分米的价格y(单位:元)与订购数量x(单位:个)之间有如下关系:y=(说明:商家规定每个纸盒计费面积为六个面的面积之和),则该电商购入3000个包装盒至少需要________元.

【解析】