2021-2022学年广东省深圳市南山外国语学校高级中学高二（下）期中数学试卷

2021-2022学年广东省深圳市南山外国语学校高级中学高二（下）

期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）在一组样本数据yi）,（必”），…，5，（〃22,x\,工2，…m不全相

等）的散点图中，若所有样本点（如”）（/=1,2,n）都在直线y=-*+2上，

则这组样本数据的样本相关系数为（）

A.-1B.0c.」D.1

3

2.（5分）已知函数f（x）=2S则1加f(1+'⑴-=()

Ax-0-2Ax

A.1B.-1C.In2D.-In2

3.(5分)某班有60名学生，一次考试后数学成绩（110,102),若P(100今W110)

=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（

A.10B.9C.8D.7

23/!

4.(5分)已知orl+2f2+2/--3+...+2(->n=729,贝ijr1+「2+「3+…+「n=)

A.63B.64C.31D.32

5.（5分）“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国,

然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，传到了欧洲，到了近现代逐渐风

靡世界.其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”.若所

出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头、剪刀、布”游

戏比赛，则比赛进行三次且小华获胜的概率是（）

A.A.B.J-C.AD.2

2727927

6.（5分）为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆

少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，

这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去

一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（）

A.18种B.36种C.68种D.84种

7.（5分）从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取

到的是奇数”，8为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(8|A)=()

A.gB.卫C.型D.3

840454

8.(5分)设定义在R上的函数/(x)的导函数为/(x),已知，(x)</(x),且/(I)

=2e,则满足不等式/(a)<2e"的实数"的取值范围为()

A.(0,+8)B.(-8,o)C.(1,+8)D.(…，1)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

(多选)9.(5分)某人工智能公司近5年的利润情况如表所示：已知变量y与x之间具有

线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为y=i.2x+a，则下列说法正确的

是()

第X年12345

利润y/亿元23457

A.该人工智能公司这5年的利润的平均值小于4

B-a=0.6

C.变量y与x之间的线性相关系数r<0

D.预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元

(多选)10.(5分)甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从

甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以Ai，4表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事

件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论

正确的是()

A.A”A2两两互斥

B.P(即2)=2

3

C.事件B与事件4相互独立

D.P(B)=且

14

(多选)11.(5分)已知(2-x)8=ao+a\x+a2X2+•••+agxs,贝！I()

A.ao=28B.ai+42+…+”8=1

C.|a11+|«2|+|03|+,,,+|«8|=38D.41+242+343+…+8“8=-8

（多选）12.（5分）关于函数f（x）=2+lnx，下列说法正确的是（）

x

A.x（）=2是/（x）的极小值点

B.函数y=/（x）-x有且只有1个零点

C.存在正整数%,使得/（x）>依恒成立

D.对任意两个正实数xi,X2）且xi#X2，若f（xi）=/（JQ）,则XI+X2>4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知随机变量E〜B（6,p）,且E（E）=2,则。（3计2）=.

14.（5分）（4+与）”展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项

是.

15.（5分）函数f（x）=|2x-1|-2阮c的最小值为.

16.（5分）已知x,y,zCN*,且x+y+z=8,记随机变量X为x,y,z中的最小值，则。（X）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）把1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数.

（1）可以组成多少个五位偶数？

（2）可以组成多少个2,3不相邻的五位数？

（3）可以组成多少个数字1,2,3按由大到小顺序排列的五位数？

18.（12分）己知甲箱的产品中有2件正品和3件次品，乙箱的产品中有3件正品和2件次

品.

（1）若从甲箱中取出2件产品，求在2件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品

的概率；

（2）若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出1件产品，求取到一件正品的概率.

19.（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减

少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备

的使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示：

使用年限X（单位：年）1234567

失效费y（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90

（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明;

（精确到0.01）

(2)求出y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费.

n__

E(x「x)(yry)

参考公式：相关系数/•二丁*-------------------

Inn

\忙(X「X)2£(y「y)2

Vi=li=l

AAA

线性回归方程y=bx+a中斜率和截距最小二乘估计.

n__

.£(x「x)(y「y)..

计算公式：b=上'二，a=y-b^

£(x「x)2

i=l

7_7________

2

参考数据：£(x._-)(yi-y)=14.00,£(yi-y)=7.08,-198.24214.10.

i=l1i=l

20.(12分)已知函数/(x)-alm.

(1)若函数/(x)在点(3,/(3))处切线的斜率为4,求实数。的值；

(2)求函数/(X)的单调区间；

2

(3)若函数g(x)=(1-m(x)-2x在[I4]上是减函数，求实数f7的取值

范围.

21.(12分)每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书

和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高

一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本

数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,

18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

频率

[组距

0.15------------1-

S

S05

04

O.03

S0.02

01

024681012141618日平均闻读时间(小时)

(I)求“的值；

(II)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，

从日平均阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的

方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14,16]内的学

生人数为X,求X的分布列；

(HI)以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“尸2。

(%)”表示这20名学生中恰有人名学生日平均阅读时间在(10,121(单位：小时)内的

概率，其中上=0,1,2,…，20.当尸20仪)最大时，写出人的值.(只需写出结论)

22.(12分)己知函数/(无)=sinx-ln(1+x),f(x)为/(无)的导数.证明：

(1)f(x)在区间(-1,—)存在唯一极大值点；

2

(2)f(x)有且仅有2个零点.

2021-2022学年广东省深圳市南山外国语学校高级中学高二（下）

期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）在一组样本数据（xi,yi）,（必”），…，（为?，如）（〃22,x\,X2,…即不全相

等）的散点图中，若所有样本点（为，％）（i=l,2,n）都在直线y=-2w+2上，

3

则这组样本数据的样本相关系数为（）

A.-1B.0C.D.1

3

【分析】根据回归直线方程可得相关系数.

【解答】解：根据回归直线方程是y=-工+2,

3

可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，

且所有样本点（即，V）（/=1,2,n）都在直线上，则有|r|=l,

相关系数r=-1.

故选：A.

【点评】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的

含义是解题的关键.

X

2.（5分）已知函数/Ge）=2,则limf（l+Ax）-f（1,）=（）

△x-0-2Ax

A.1B.-1C.In2D.-Ini

【分析】先求出/（x）,再利用导数的定义求解.

【解答】解：；=2\：.f（x）=2xln2,

由导数的定义可知，lim'⑴=/（1）=--（2/〃2）=-In2,

△瞿-2Ax22

故选：D.

【点评】本题主要考查了导数的运算和定义，属于基础题.

3.（5分）某班有60名学生，一次考试后数学成绩（110,d）,若尸（100WEW110）

=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）

A.10B.9C.8D.7

【分析】根据考试的成绩t服从正态分布N(110,IO?).得到考试的成绩?关于《=110

对称,根据P(100WEW110)=0.35,得到P(E》120)=0.15,根据频率乘以样本容量

得到这个分数段上的人数.

【解答】解：•••考试的成绩E服从正态分布N(110,102).

考试的成绩J关于《=110对称，

'：P(100WWW110)=0.35,

：.P9》120)=P(^100)=A(1-0.35X2)=0.15,

2

二该班数学成绩在120分以上的人数为0.15X60=9.

故选:B.

【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是

考试的成绩孑关于《=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解.

4.(5分)已知l+22「2+23「3+i+2”「n=729,贝!]「1+「2+「3+…+「n=()

〜“n'-n'-n

A.63B.64C.31D.32

【分析】根据二项式定理将已知的等式化为两个数的〃次事的展开式，求出〃，然后根据

二项式系数的性质解答即可.

【解答】解：因为C：+2C：+22C：+23C：+3+2"C：=729=(1+2)",所以〃=6,

所以,1+02+,3+…+cn=26_]=63：

故选：A.

【点评】本题考查了二项式定理的运用；关键是正确将已知利用二项式表示.

5.(5分)“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，

然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，传到了欧洲，到了近现代逐渐风

靡世界.其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”.若所

出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头、剪刀、布”游

戏比赛，则比赛进行三次且小华获胜的概率是()

A..A.B.J—C.AD.2

2727927

【分析】每局比赛中小华胜小明、小华与小明和局和小华输给小明的概率都为工，比赛

3

进行三次且小华获胜的情况是小华前2局中1胜1负，第3局小华胜，由此能求出比赛

进行三次且小华获胜的概率.

【解答】解：根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，

可得每局比赛中小华胜小明、小华与小明和局和小华输给小明的概率都为工，

3

比赛进行三次且小华获胜的情况是小华前2局中1胜1负，第3局小华胜，

比赛进行三次且小华获胜的概率是P=c3工--•

^233327

故选：A.

【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公

式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

6.(5分)为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆

少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，

这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去

一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有()

A.18种B.36种C.68种D.84种

【分析】按两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行

分类讨论即可.

【解答】解：根据题意，分派方案可分为两种情况：

若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有C32A33=18种方法；

若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有C31A33=18种方法；

故一共有36种分派方法.

故选：B.

【点评】本题考查排列组合，考查学生的分析推理能力，属于中档题.

7.(5分)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取

到的是奇数”，8为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(筑4)=()

A.3B.HC.卫D.3

840454

【分析】先计算〃(48)、n(A),再利用P(8H)=吗*_,即可求得结论.

n(A)

【解答】解：由题意，n(AB)=C1C1+C1C1~13,n(A)=C%l=40

332258

：.P(B|A)=迅怔”_=卫.

n(A)40

故选：B.

【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题.

8.(5分)设定义在R上的函数的导函数为f(x),已知f(x)</(x),且/(I)

=2e,则满足不等式/(a)<2e"的实数〃的取值范围为()

A.(0,+8)B.(-8,o)C.(1,+8)D.(-8,1)

【分析】设gG)=工包，求导，分析g(x)的单调性，由/(a)<2,得g(a)<g

eX

(1),由单调性即可解得“的取值范围.

【解答】解：设g(X)=皿_,

eX

所以，(X)=f，(x)e'-eXf(x)=针(x)-f(x),

e2xex

因为/(x)<f(x),所以/(x)-f(x)<0,/>0,

所以g'(x)<0对任意x€R恒成立，

所以g(x)在R上单调递减，

因为/(I)=2e,所以g(1)=工''1人=2,

e

所以不等式/(a)<2片等价于工@<2,即g(a)<g(1),

ea

所以a>l,

即满足不等式f(a)<2,的实数a的取值范围为(1,+«>).

故选：C.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式的解法，解题中注意转化思想的

应用，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

(多选)9.(5分)某人工智能公司近5年的利润情况如表所示：已知变量y与x之间具有

*4

线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为y=i,2x+a，则下列说法正确的

是()

第X年12345

利润W亿元23457

A.该人工智能公司这5年的利润的平均值小于4

B.a=0.6

C.变量y与x之间的线性相关系数r<0

D.预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元

【分析】根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可依

次求解.

【解答】解：7=4-X(1+2+3+4+5)=?y^i-X(2+3+4+5+7)=4.?故A错误，

55

*4

•••回归直线方程为y=L2x+a，

"4.2=1,2X3+a)解得a=0.6'故§正确'

回归方程为y=L2x+0.6,则x与丫成正相关，即相关系数「>。，故C错误，

当x=6时，y=i.2X6+0.6=7,?故。正确•

故选：BD.

【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题.

(多选)10.(5分)甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从

甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以Ai,4表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事

件；再从乙箱中随机取出一球，以8表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论

正确的是()

A.Ai,A2两两互斥

B.P(B|A2)=2

3

C.事件8与事件42相互独立

D.P(B)=3

14

【分析】利用互斥事件的定义判断选项A，利用条件概率的求解公式求出P(BH2)，即

可判断选项B,利用相互独立事件的定义判断选项C,求出事件B的概率即可判断选项D.

【解答】解：因为不可能同时从甲箱中取出白球和黑球，故Ai，4不可能同时发生，故

A\,42互斥，故选项A正确；

P(BH2)=4+1工故选项B错误；

2+4+17

事件上是否发生会影响事件B发生的概率，故事件B与事件A2不相互独立，故选项C

错误；

p(B)=—x--U1-X—=-^-»故选项。正确.

272714

故选：AD.

【点评】本题主要考查了互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，考查了逻辑推理

能力与运算求解能力，属于中档题.

(多选)11.(5分)已知(2-X)8=40+01+侬金+・・・+〃沫8,贝lj()

A.0()=28B.。1+。2+…+〃8=1

C.|。1|+|。2|+|。3|+…+1481=38D.4[+2。2+3。3+…+8〃8=-8

【分析】利用赋值法可判断A5C,对x求导后利用赋值可判断。.

【解答】解：取x=0,可得〃0=28,故A正确；

即X=l,可得。1+〃2+…+48=1-28,故3不正确；

取X=-L可得0|+|。2|+|的|+…+|闻=38-28,故C不正确；

对已知等式两边对x求导数可得-8(2-x)1=a\+2a2x+,*'+8tzgA'7,

取尤=1,可得。1+2〃2+3〃3+…+8。8=-8,故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查赋值法求代数式的值，属中档题.

(多选)12.(5分)关于函数f(x)=2+lnx，下列说法正确的是()

x

A.xo=2是f(x)的极小值点

B.函数y=/(x)-x有且只有1个零点

C.存在正整数火，使得f(x)>丘恒成立

D.对任意两个正实数X”xi,且xiWx2，若F(xi)=f(X2),则为+孙>4

【分析】A根据导数判断函数单调性，从而确定极值点；8根据导数判断函数单调性，从

而确定零点个数；CD

x-2

【解答】解：对于A,因为(x)=--•口=■

X2Xx2

当0<x<2时，f(x)<0,当x>2时，f(尤)>0；

当0cx<2时，f(x)递减，当x>2时，f(x)递增，所以A对;

对于B,y=f(x)

函数y在(0,+8)上单调递增，又因为当尸1时，y=l>0,

当x=e2时，y=§+2-e2<0，

e

所以函数y=/G)-X有且只有1个零点，所以8对；

2

对于C,令g(x)=f(x)-kx,g1(x)=一匕d—k二2+x_kx_<0,

V2YAV2

△=1-8AV0(k为正整数),

g(x)在(0,+8)上单调递减，又当Rf+8时，g(x)f-8,所以C错;

对于。，令尸(Q=/(/)-/(4-力,

—1-22-t-8(t-2)27c

F(r)=f(r)+f(4-r)

所以FCt)在(0,4)上单调递减，当te(0,2)时,，F(/)>F(2)=0,

即/⑺-/<4-r)>0,f(r)>/(4-z)；

任意两个正实数XI，%2，且X|WX2，若/(X|)—f(X2)>不妨设X1〈X2，

因为当0<x<2时，f(x)递减，当x>2时，f(x)递增，

f(xi)=f(X2)>所以0<Xl<2<X2，

f(%2)—f(xi)>f(4-%]),则X2>4-XI，于是XI+X2>4,所以。对.

故选：ABD.

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数极值问题，考查了导数的综合应用,

属中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)已知随机变量t〜B(6,p),且E(1)=2,则。(3计2)-12.

【分析】由条件随机变量W〜B(6,p),可得E(p=2=叩，求出p,然后求解方差.

【解答】解：随机变量反〜8(6,p),且Eq)=2,可得6P=2,所以p=』，D(0

3

=〃pq=69xgx1==4£，

333

所以D(3叶2)=9D=12.

故答案为：12.

【点评】本题主要考查二项分布的期望与方差的求法，属于基础题.

14.(5分)(五+今)”展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是

180

【分析】由(4+今)"展开式中只有第六项的二项式系数最大，可得n=10.再利用

X

通项公式即可得出.

【解答】解：•••(4+与)”展开式中只有第六项的二项式系数最大，

X

•••(仁马严的通项公式为：小尸味(夜严r0)〜©/费,

XX

令5-^=0，解得r=2.

...展开式的常数项=2?c2c=180.

Jo

故答案为：180.

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

15.(5分)函数f(x)=l2x-1卜20x的最小值为1.

【分析】法一、求出函数定义域，对x分段去绝对值，当0<x4_|时，分析函数的单调

性；当x>工时，利用导数分析单调性并求最小值，即可得到了(外的最小值.

2

法二、令g(x)=|2r-1|,h(x)=21内,分别作出两函数的图象，数形结合得答案.

【解答】解：法一、函数/(x)=&-1|-2阮v的定义域为(0,+8).

当■时，f(x)=|2x-1|-21nx=-2x+l-2lnx,

此时函数f(x)在(0,工］上为减函数，

2

当》〉』时，/'(x)—\2x-11-2lnx=2x-1-2lnx,

2

则/(x)=222(X-D,

XX

当xe(2，1)时，/(%)<o,f(%)单调递减，

2

当(1,+8)时，，(x)>0,f(x)单调递增，

,：f(x)在(0,+8)上是连续函数，

...当xC(0,1)时，f(x)单调递减，当xC(1,+8)时，f(x)单调递增.

.•.当x=l时f(x)取得最小值为f(l)=2X1-1-2历1=1.

故答案为：1.

法二、令g(x)=\2x-1|,h(x)=2lnx,

分别作出两函数的图象如图：

y

由图可知，f（X）为'（1）=1,

则数f（x）=\2x-1|-2lnx的最小值为1.

故答案为：1.

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，利用导数求最值的应用，考查运算求解能

力，是中档题.

16.（5分）已知x,y,zGN*,且x+y+z=8,记随机变量X为x,y,z中的最小值，则。（X）

=10

-49—,

【分析】首先先找出所有可能解，即可等价转化为将8个一样的球分给三个人，每人至

少有一个球，即苗=21种情况，再分析最小数可能为1或者2,找出相应概率即可.

【解答】解：首先原问题总情况可理解为将8个完全相同的小球排成一排，利用两个隔

板区分成三组，故有y=21种情况，

当最小的数为1时，有两种情况，

①有一个1,此时即将剩余7个小球分成两组，但是不能再分成一个和6个，故不可在第

一个和第二个，及最后一个和倒数第二个中插入隔板，有种，

此时有C}cL12种情况，

43

②有两个1，有苗=3种情况，

故最小值为1时的概率p］」等号，

当最小数为2时，有两种情况，

①有一个为2,剩余6个小球分为3和3,故以=3种，

②有两个为2时，有?=3种,

故最小值为2时的概率「2等•号，

故E(X)=ix§+2xg=4,

777

故D(X)=(14)2x、+(2-1)2吟寺.

irir4y

故答案为」g.

49

【点评】本题主要考查随机变量分布列的方差，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)把1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数.

(1)可以组成多少个五位偶数？

(2)可以组成多少个2,3不相邻的五位数？

(3)可以组成多少个数字1,2,3按由大到小顺序排列的五位数？

【分析】(1)先在2,4两个数字中选1个排在个位位置，然后将另外4个数字全排即可;

(2)将1,4,5全排，然后将2,3插空即可；

(3)利用定序问题倍缩法求解即可.

【解答】解：(1)把1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数，则可以组成

=48个五位偶数：

(2)把1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数，可以组成A§A：=36个2,3

不相邻的五位数；

A5

(3)把1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数，可以组成_言=20个数字1，

2,3按由大到小顺序排列的五位数.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了排列、组合中的定序问题

及不相邻问题，属基础题.

18.(12分)已知甲箱的产品中有2件正品和3件次品，乙箱的产品中有3件正品和2件次

品.

(1)若从甲箱中取出2件产品，求在2件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品

的概率；

（2）若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出1件产品，求取到一件正品的概率.

【分析】（1）若从甲箱中取出2件产品，分别求出在2件产品中有一件是正品的取法；

在2件产品中有一件是正品，另一件是次品的取法，利用古典概率计算公式即可得出结

论..

（2）利用全概率计算公式即可得出：从两箱中随机选择一箱，然后从中取出1件产品，

取到一件正品的概率.

【解答】解：（1）若从甲箱中取出2件产品，在2件产品中有一件是正品的取法共有=c；

X旦=8,

在2件产品中有一件是正品，另一件是次品的取法=2X3=6,

从甲箱中取出2件产品，在2件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品的概率P

=旦=§

京W'

（2）从两箱中随机选择一箱,然后从中取出1件产品，取到一件正品的概率P=Xxl+X

252

x3-1

52

【点评】本题考查了全概率设计算公式、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能

力，属于基础题.

19.（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减

少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备

的使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示：

使用年限X（单位：年）1234567

失效费y（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90

（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合），与x的关系，请用相关系数加以说明;

（精确到0.01）

（2）求出y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费.

n__

£（x「x）（y「y）

参考公式：相关系数r=/-------------------

Inn

1忙（X「X）2£（y「y）2

Vi=li=l

*AA

线性回归方程y=bx+a中斜率和截距最小二乘估计.

.£（x「x）Oj-y）..

=

计算公式：b=''二，ayb^'

£（x「x）2

i=l

7_7________

参考数据：£（x.（y,-y）=14.00,£（y/-y）2=7.08,V198.24^14.10.

i=l1i=l

【分析】（1）求出样本中心，然后利用公式求出相关系数〃由此进行判断即可；

（2）利用公式先求出b和a，然后求出线性回归方程，再将x=10的值代入方程求解即

可.

【解答】解：（1）由题意可知，［=1+2+3+,+5+6+7=4,

-2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90,”

y=--------------------彳--------------------=4.30;

7_

22222222

£（Xi-x）=（1-4）+（2-4）+（3-4）+（4-4）+（5-4）+（6-4）+（7-4）=28

i=l

所以14.0014.00

428X7.08V198.2414.10'

因为y与x的相关系数近似为0.99,

所以），与x的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系;

7__

£(Xi-x)(y--y)

ATx工

(2)因为b=7=呆=0.5,

£(Xj-X)2

i=l

所以a=y_bx=4.3-0.5X4=2.3,

所以〉关于x的线性回归方程为y=0.5x+2.3,

将x=10代入线性回归方程，可得丫=0.5义10+2.3=7.3,

所以估算该种机械设备使用10年的失效费7.3万元.

【点评】本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识

点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.

20.（12分）已知函数/（x）-alnx.

（1）若函数/（x）在点（3,/（3））处切线的斜率为4,求实数a的值;

(2)求函数/(x)的单调区间；

2

(3)若函数g(x)=(1-阮r-声(x)-2x在口，4］上是减函数，求实数。的取值

范围.

【分析】(1)求出原函数的导函数，利用/(3)=4求得a值；

(2)求出函数定义域，对a分类分析，可得当aWO时，f(x)>0,/(x)的单调递

增区间为(0,+8),当。>0时，求出导函数的零点，由导函数的符号可得原函数的单

调性;

(3)由函数g(x)在［1,4］上是减函数，可得/(x)W0在［1,4］上恒成立，分离参

数。后，利用换元机配方法求解.

【解答】解：(1)由/(x)—X1-alive,得，(x)—2x-―,

x

而/(3)—4,B|J2X3--=4>解得a=6；

3

(2)函数/(x)的定义域为(0,+8).

①当“W0时，f(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+8)；

②当”>0时，f

当在(0,立i)

2

由此可知，函数/(x)的单调递减区间是(0,与)，单调递增区间是6(亨,

+8)；

(3)g(x)=lnx-于是/(%)——-ax-2=-aX

2xx

・・■函数g(x)在［1,4］上是减函数，gf(x)<0在［1,4］上恒成立,

即2+2右］》0在0,4］上恒成立.

x

又函数g(x)的定义域为(0,+8),...有a?+2r-120在［1,4］上恒成立.

于是有a>^《，设片则有心P-2尸(/-I)2-1

当1=工时，(f-1)2-1有最大值-二，于是要使gG)W0在［1,4］上恒成立，

416

只需即实数a的取值范围是［4，-K3O).

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法，训练了利用

分离参数法求解恒成立问题，是中档题.

21.(12分)每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书

和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高

一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本

数据分成[0,2],(2,4],(4,