平面向量奔驰定理与三角形四心的应用 完美打印版

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用完美打印版本文介绍了平面向量奔驰定理与三角形四心的应用。定理表明，已知O是三角形ABC内的一点，且三个小三角形的面积分别为SA、SB、SC，则SA•OA+SB•OB+SC•OC=0。证明过程中，延长OA与BC相交于点D，利用三角形面积的性质得到DC=SC。进而推导出O是三角形ABC内的一点，且x•OA+y•OB+z•OC=0，则SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB=x:y:z。根据此定理，可以得出三角形四心的向量式。其中，O是重心时，SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB=1:1:1，OA+OB+OC=0；O是内心时，SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB=a:b:c，a•OA+b•OB+c•OC=0；O是外心时，OA=OB=OC，SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB=sin2A:sin2B:sin2C，sin2A•OA+sin2B•OB+sin2C•OC=0；O是垂心时，OA•OB=OB•OC=OC•OA，SΔBOC:SΔCOA:SΔAOB=tanA:tanB:tanC，tanA•OA+tanB•OB+tanC•OC=0。根据正常的排版格式，应该将每个公式单独一行，同时需要加上适当的标点符号和文字说明。同时，需要删除明显有问题的段落，将每段话进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一。根据奔驰定理，对于三角形ABC，设P是其内部一点，那么有以下公式：$S_{\triangleBOC}:S_{\triangleCOA}=\tanA:\tanB$，$S_{\triangleCOA}:S_{\triangleAOB}=\tanB:\tanC$，$S_{\triangleBOC}:S_{\triangleAOB}=\tanA:\tanC$，因此，$S_{\triangleBOC}:S_{\triangleCOA}:S_{\triangleAOB}=\tanA:\tanB:\tanC$。例1：设P是三角形ABC内一点，且AP=$\frac{1}{3}$AB，BP=$\frac{1}{4}$BC，CP=$\frac{1}{5}$CA，求$\triangleABP$的面积。根据奔驰定理，我们可以得到$S_{\triangleABP}:S_{\triangleABC}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{4}$，因此，$S_{\triangleABP}=\frac{1}{4}S_{\triangleABC}$。例2：若三角形ABC接于以O为圆心，1为半径的圆，且$3OA+4OB+5OC=AB+AC$，则该三角形的面积为多少？根据欧拉定理，我们可以得到$OA^2+OB^2+OC^2=R^2+OG^2$，其中R为三角形外接圆半径，OG为三角形重心到圆心的距离。因此，$3OA+4OB+5OC=3\sqrt{R^2-OG^2}+4\sqrt{R^2-OG^2}+5\sqrt{R^2-OG^2}=AB+AC$，解得$OG=\frac{1}{3}\sqrt{R^2-\frac{1}{9}(AB^2+AC^2+BC^2)}$，再根据海伦公式求出三角形ABC的面积。例3：设P为三角形ABC内部一点，且满足PB=2PA，$\angleAPB=\frac{5\pi}{6}$，且$2PA+3PB+4PC=\frac{94}{5}\pi$，求$\triangleABC$的面积。根据奔驰定理，我们可以得到$S_{\triangleABP}:S_{\triangleABC}=\frac{BP}{BC}=\frac{2}{3}$，因此，$S_{\triangleABP}=\frac{2}{3}S_{\triangleABC}$。同理，$S_{\triangleBCP}:S_{\triangleABC}=\frac{CP}{CA}=\frac{4}{5}$，因此，$S_{\triangleBCP}=\frac{4}{5}S_{\triangleABC}$。又因为$\angleAPB=\frac{5\pi}{6}$，所以$\triangleABP$是等边三角形，从而可以求出$\triangleABP$的面积。最后，根据$2PA+3PB+4PC=\frac{94}{5}\pi$，可以求出$S_{\triangleABC}$的面积。已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足$$OP=OA+\lambda\frac{AB\cdotAC}{AB\cdot\cos\angleBAC+AC\cdot\cos\angleCBA}$$其中$\lambda\in(0,\infty)$，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）。改写：已知平面上有点O，且△ABC中A，B，C不共线。动点P满足上述条件，则P的轨迹必定经过△ABC的（）。若H为△ABC所在平面内一点，且$HA+BC=HB+CA=HC+AB$，则点H是△ABC的（）。改写：在△ABC所在平面内，若点H满足上述条件，则H是△ABC的（）。已知P为△ABC所在平面上的一点，且$AB=c$，$AC=b$，$BC=a$。若$aPA+bPB+cPC=$，则P是△ABC的（）。改写：已知平面上有△ABC，其中$a=BC$，$b=AC$，$c=AB$，且P满足上述条件，则P是△ABC的（）。已知O是△ABC所在平面上一点，且$OA^2=OB^2=OC^2$，则O是△ABC的（）。改写：在△ABC所在平面上，若点O满足上述条件，则O是△ABC的（）。已知O是△ABC所在平面上一点，且$OA+OB\cdot\frac{AC\cdotAB}{AC\cdot\cos\angleBAC+AB\cdot\cos\angleCBA}+OC\cdot\frac{AB\cdotAC}{AB\cdot\cos\angleCBA+AC\cdot\cos\angleBAC}=$。则O是△ABC的（）。改写：在△ABC所在平面上，若点O满足上述条件，则O是△ABC的（）。已知O，N，P在△ABC所在平面内，且$OA=OB=OC$，$NA+NB+NC=$，$PA\cdotPB=PB\cdotPC=PA\cdotPC$。则点O，N，P依次是△ABC的（）。改写：在△ABC所在平面内，已知点O，N，P满足上述条件，则它们依次是△ABC的（）。已知点P是△ABC的内心、外心、重心、垂心之一，且满足$2AP\cdotBC=AC-AB$。则点P一定是△ABC的（）。改写：在△ABC中，已知点P满足上述条件，且P是内心、外心、重心、垂心之一，则P一定是△ABC的（）。已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且$NA+NB+NC=$，$PA\cdotPB=PB\cdotPC=PA\cdotPC$。则点O，N，P依次是△ABC的（）。改写：在△ABC所在平面内，已知点O，N，P满足上述条件，则它们依次是△ABC的（）。已知非零向量AB与AC满足$\left(\frac{AB}{|AB|}+\frac{AC}{|AC|}\right)\cdotBC=0$，且$\frac{AB}{|AB|}\cdot\frac{AC}{|AC|}=1$。则△ABC为（）。改写：已知向量AB和AC满足上述条件，则△ABC为（）。若O在△ABC所在的平面内，则O是△ABC的（）。改写：在△ABC所在平面内，若点O满足上述条件，则O是△ABC的（）。已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足$OP=OA+\lambda\frac{AB\cdotAC}{AB\cdot\cos\angleBAC+AC\cdot\cos\angleCBA}$，其中$\lambda\in(0,\infty)$。则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）。改写：已知平面上有点O，且△ABC中A，B，C不共线。动点P满足上述条件，则P的轨迹必定经过△ABC的（）。已知点P是△ABC的内心、外心、重心、垂心之一，且满足$2AP\cdotBC=AC-AB$。则点P一定是△ABC的（）。改写：在△ABC中，已知点P满足上述条件，且P是内心、外心、重心、垂心之一，则P一定是△ABC的（）。已知O是△ABC所在平面上一点，且$OA^2=OB^2=OC^2$，则O是△ABC的（）。改写：在△ABC所在平面上，若点O满足上述条件，则O是△ABC的（）。设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是OH=OA+OB+OC。这个结论可以通过向量证明。设D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，向量表示为d、e、f，则有OH=OD+OE+OF，而OD=OA+d，OE=OB+e，OF=OC+f，代入得OH=OA+OB+OC+d+e+f。又因为d+e+f=0（向量和为0），所以OH=OA+OB+OC，即点H为△ABC的垂心的充要条件是OH=OA+OB+OC。设△ABC的外心为O，则点G为△ABC的重心的充要条件是OG=(1/3)(OA+OB+OC)。同样可以通过向量证明。设M为△ABC的中心点，向量表示为m，则有OG=OM+GM，而OM=OA+OB+OC/3，GM=(1/3)(AD+BE+CF)，其中AD、BE、CF分别为△ABC的三条高，向量表示为a、b、c。代入得OG=(1/3)(OA+OB+OC)+(1/9)(a+b+c)。又因为a+b+c=0（向量和为0），所以OG=(1/3)(OA+OB+OC)，即点G为△ABC的重心的充要条件是OG=(1/3)(OA+OB+OC)。设△ABC的外心、