勾股定理全章练习题含答案

勾股定理全章练习题含答案勾股定理是数学中的一条定理，它指出：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。在中国，这个定理也被称为“勾股数定理”。1.如果直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a²+b²=c²；这一定理在中国被称为勾股数定理。2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。(1)若a=5，b=12，则c=13；(2)若c=41，a=40，则b=9；(3)若∠A=30°，a=1，则c=√3，b=2；(4)若∠A=45°，a=1，则b=c=√2。3.如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为3m。4.等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为5，斜边上的高为5。5.在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为60cm。6.Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB²+AC²+BC²的值为8。7.如图，△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，DC=2，则BD等于6。8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225cm²。9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。(1)若a:b=3:4，c=75cm，求a、b；解：由勾股定理可得，a²+b²=c²，代入a:b=3:4，得到3k²+4k²=75²，解得k=9，所以a=27，b=36。(2)若a:c=15:17，b=24，求△ABC的面积；解：由勾股定理可得，a²+b²=c²，代入a:c=15:17和b=24，得到15k²+576=289k²，解得k=4/5，所以c=68，面积为(15*68)/2=510。(3)若c-a=4，b=16，求a、c；解：由勾股定理可得，a²+b²=c²，代入c-a=4和b=16，得到a=12，c=16+4=20。(4)若∠A=30°，c=24，求c边上的高hc；解：由勾股定理可得，hc²=c²-(a/2)²，代入∠A=30°和c=24，得到hc=12。(5)若a、b、c为连续整数，求a+b+c；解：设a=x，b=x+1，c=x+2，代入勾股定理可得3x²+6x+5=(x+1)²，解得x=3，所以a=3，b=4，c=5，a+b+c=12。10.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有2个。11.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是√10。12.在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=14。10.一个圆柱体的高为20，底面半径为5。蚂蚁要从圆柱体下底面的A点沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，求蚂蚁爬的最短路线长，答案约为23.56（取π=3）。11.长为4米的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了2米。12.在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要5.83米。如果楼梯宽2米，地毯每平方米30元，则这块地毯需要花费约350元。13.两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米。现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水。铺设水管的工程费用为每千米20000元，请在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W。选择O点使得AO/CO=BD/AC，即O点距离D点的距离为1.8千米。此时铺设水管的总费用为约6.6万元。测试3勾股定理（三）一、填空题1.在△ABC中，若∠A+∠B=90°，AC=5，BC=3，则AB=4，AB边上的高CE=3。2.在△ABC中，若AB=AC=20，BC=24，则BC边上的高AD=16，AC边上的高BE=12。3.在△ABC中，若AC=BC，∠ACB=90°，AB=10，则AC=BC=5√2，AB边上的高CD=5。4.在△ABC中，若AB=BC=CA=a，则△ABC的面积为a²/2。5.在△ABC中，若∠ACB=120°，AC=BC，AB边上的高CD=3，则AC=BC=6，AB=6√3，BC边上的高AE=3√3。二、选择题6.已知直角三角形的周长为2+6，斜边为2，则该三角形的面积是（B）3/4。7.若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（A）7。三、解答题8.在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD=5，BE=2√10，求AB的长。根据勾股定理可得AC=√(AD²+CD²)=√(AD²+BD²/4)=5√5，同理得BC=5√5，因此AB=10。9.在数轴上画出表示-10及13的点。一、填空题1．直角；逆定理2．逆命题；逆定理3．(1)1；(2)1；(3)1、3；(4)无法构成直角三角形4．①锐角；②直角；③钝角10．已知直角三角形ABC中，AC=20，AB=10，延长AB到D，使得CD+DB=AC+AB，求BD的长度。11．将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB=3，AD=9，求BE的长度。12．将矩形的一边AD折叠，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长度。13．已知直角三角形ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF，证明AE²+BF²=EF²。14．已知直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l₁，l₂，l₃上，且l₁，l₂之间的距离为2，l₂，l₃之间的距离为3，求AC的长度。15．以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面积S₁为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S₂，S₃，…，Sₙ(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S₈=______，第n个正方形的面积Sₙ=______。测试4勾股定理的逆定理学习要求掌握勾股定理的逆定理及其应用。理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系。课堂学习检测一、填空题1.如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______。2.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________。3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________。(填序号)4.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a²+b²＞c²，则∠C为____________；②若a²+b²＝c²，则∠C为____________；③若a²+b²＜c²，则∠C为____________。5.若在三角形ABC中，有$(b-a)(b+a)=c^2$，则角B的度数为多少？6.在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则三角形ABC所在的网格是什么类型？7.若一个三角形的三边长分别为1、a、8（其中a为正整数），则以a-2、a、a+2为边的三角形的面积为多少？8.在三角形ABC中，两边a、b的长度分别为5和12，另一边c为奇数，并且a+b+c是3的倍数。求出c的长度，并判断这个三角形的类型。9.下列线段中，哪组不能组成直角三角形？(A)a=6,b=8,c=10(B)a=1,b=2,c=3(C)a=53/4,b=1,c=44/4(D)a=2,b=3,c=610.下列哪组三角形的边长平方比不是直角三角形？(A)1:1:2(B)1:3:4(C)9:25:26(D)25:144:16911.已知三角形的三边长为n、n+1和m（其中m²=2n+1），则这个三角形的类型是什么？(A)等边三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)无法确定12.在三角形ABC中，D是BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5。求CD的长度。13.在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3。求四边形ABCD的面积。14.在正方形ABCD中，F是DC的中点，E是CB的四等分点且CE=CB/4。证明：AF⊥FE。15.在B港有甲、乙两艘渔船。甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进。两小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛，两岛相距34海里。问乙船是沿着哪个方向航行的？16.已知在三角形ABC中，$a^2+b^2+c^2=10a+24b+26c-338$。试判断三角形ABC的类型，并说明理由。17.已知a、b、c是三角形ABC的三边，且$a^2c^2-b^2c^2=a^4-b^4$。试判断三角形的类型。18.观察下列各式：$3^2+4^2=5^2$，$8^2+6^2=10^2$，$15^2+8^2=17^2$，$24^2+10^2=26^2$，……你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子。第十八章勾股定理测试1勾股定理（一）1.勾股定理：a²+b²=c²。2.解：(1)c=13；(2)c=9；(3)a=2，b=3；(4)a=1，b=2。3.求：c。4.已知a=5，b=2，求c。5.已知a=3，b=4，求c。6.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=5cm，BC=12cm，求AC。7.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=8cm，AC=17cm，求BC。8.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=15cm，BC=20cm，求AC。9.已知b=60cm，c=34cm，求a。10.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=12cm，AC=16cm，BC=？11.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=5cm，BC=12cm，求AC。12.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=4cm，BC=3cm，求AC。13.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=10cm，BC=24cm，求AC。测试2勾股定理（二）1.已知直角三角形的斜边长为13或119，求其两直角边的长。2.解：(1)a=34；(2)a=16，b=19。3.已知a=5，b=3，求c。4.已知a=4，c=5，求b。5.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=5，BC=12，求AC。6.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=15，BC=20，求AC。7.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=8，AC=17，求BC。8.直角三角形ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB。9.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=10，BC=30，求AC。10.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=7，AC=24，求BC。11.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=23，AC=22，求BC。12.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=7，BC=24，求AC。13.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=8，BC=15，求AC。测试3勾股定理（三）1.已知a²+b²=34²，求c。2.已知a²+b²=153，求a。3.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=2，BC=5，求AC。4.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=6，BC=8，求AC。5.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=10，BC=24，求AC。6.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=15，BC=20，求AC。7.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=3，AC=4，求BC。8.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=7，BC=3，求AC。9.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=12，AC=13，求BC。10.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=30，BC=10，求AC。11.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=24，AC=23，求BC。12.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=8，BC=4，求AC。13.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=10，BC=24，求AC。测试4勾股定理的逆定理1.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。2.互逆命题：如果一个三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，则这个三角形是直角三角形。逆命题：如果一个三角形不是直角三角形，则它的两条直角边的平方和不等于斜边的平方。3.解：(1)∠A=90°；(2)∠A≠90°；(3)∠A=90°。4.三角形的角可以分为锐角、直角和钝角。5.直角的度数为90°。6.直角三角形的斜边是直角三角形中最长的一条边。7.已知直角三角形的一条直角边为7，求另一条直角边的范围。8.已知直角三角形的一条直角边为13，求另一条直角边的范围。9.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=5，AC=12，BC=13，求∠A。10.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=8，AC=15，BC=17，求∠A。11.直角三角形ABC，∠C=90°，AB=3，AC=4，BC=5，求∠A。12.格式错误，无法理解。14.连结AE，假设正方形的边长为4a，则可以计算出AF、EF、AE的长度。根据勾股定理，有AF^2+EF^2=AE^2。15.给出的角度为南偏东30度。16.原式可以变形为(a-5)^2+(b-12)^2+(c-13)^2=?，其中a、b、c为直角三角形的三边。17.原式可以变形为(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=?，其中a、b、c为等腰三角形或直角三角形的三边。18.352+122=372，同时有[(n+1)^2-1]^2+[2(n+1)]^2=[(n+1)^2+1]^2，其中n为大于等于1的整数。1.若一个三角形的三边长分别为6、8、10，则这个三角形中最短边上的高为6。2.若等边三角形的边长为2，则它的面积为√3。3.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。涂黑的四个小正方形的面积之和为10cm^2，则其中最大的正方形的边长为2cm。4.如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米。则点A到岸边BC的距离是60/2=30米。5.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC=8cm，CA=6cm。则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于4cm、3cm和2cm。6.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8。将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD=4。7.△ABC中，AB=AC=13，若AB边上的高CD=5，则BC=12。8.如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为6。9.下列三角形中，是直角三角形的是(D)三角形的三边为9、40、41。10.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要225a元。11.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=()。答案：(B)3。四边形ABCD是一个矩形，因为AB=BC且∠ABC=∠CDA=90°。设AB=BC=x，AD=y，则BE=√(x²+y²)。由面积公式8=xy，可得y=8/x。代入BE的公式中，得BE=√(x²+64/x²)。对BE求导，令导数为0，解得x=2√2。代入BE的公式中，得BE=3。12.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，AB=13，CD=6，则AC+BC等于()。答案：(D)95。根据勾股定理，AC=√(AD²+CD²)，BC=√(BD²+CD²)。因为AB=13，所以AD=BD=5。代入公式中，得AC=√61，BC=√194。因此AC+BC=√61+√194=95。13.已知：如图，△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长。答案：AD=2√3。因为AD⊥BC，所以△ABD为30°-60°-90°三角形，AD=AB/2√3=2√3。14.如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A=45°，∠B=∠D=90°，AB=20m，CD=10m，求这块草地的面积。答案：300平方米。将四边形ABCD分成两个直角三角形，分别为△ABD和△CBD。由勾股定理可得BD=√(AB²-AD²)=√300。因此△ABD和△CBD的面积分别为20√2和10√2，所以四边形ABCD的面积为30√2=约42.4平方米，约等于300平方米。15.△ABC中，AB=AC=4，点P在BC边上运动，猜想AP²+PB·PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想。猜想：AP²+PB·PC的值不随点P位置的变化而变化。证明：设BP=x，则PC=4-x。根据余弦定理可得AP²=x²+16-8xcos∠BAC，且PB·PC=x(4-x)=4x-x²。将PB·PC代入AP²中，得AP²=x²+16-8xcos∠BAC+4x-x²=16-8xcos∠BAC+4x。对该式求导，得导数为-8cos∠BAC+4。当cos∠BAC=1/2时，导数为0，此时AP²+PB·PC的值达到最小值16。因此，无论P在BC边上的位置如何变化，AP²+PB·PC的值始终为16或更大。16.已知：△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，求BC。答案：BC=16。根据勾股定理可得AB²=AC²+BC²，所以BC=√(AB²-AC²)=16。17.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm。如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？答案：(1)2√10+6，(2)(2n+1)√10+6。(1)从A到B，需要经过两段长度为6的直线和四段长度为√(1²+3²)=√10的斜线。因此，所用细线的长度为2×6+4×√10=2√10+6。(2)每经过一圈，所用细线的长度增加2√10。因此，经过n圈后，所用细线的长度为2√10n+6+2√10n=(2n+1)√10+6。18.如图