专题51均值不等式及其应用归类（讲练）高考数学二轮复习（全国通用）

专题5-1均值不等式及其应用归类目录TOC\o"1-1"\h\u讲高考 1题型全归纳 4【题型一】公式应用及限制条件 4【题型二】构造“公式型” 6【题型三】“1”的代换 7【题型四】“积”与“和”混合型 8【题型五】构造分母代换型 10【题型七】分离常数消去型 11【题型八】消去型 13【题型九】多次均值 15【题型十】多元均值 16【题型十一】权方和不等式 18【题型十二】万能“k”法 20【题型十三】整体换元 21【题型十四】均值应用：恒成立 22专项训练 24讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．4．（陕西·高考真题）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，，，当且仅当即时等号成立，，或舍去，即所以正实数a的最小值为4.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.5．（·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】不等式为(*)，当时，(*)式即为，，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上．故选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.题型全归纳综述1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；2．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式链：eq\r(,eq\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)；【题型一】公式应用及限制条件【讲题型】例题1.下列不等式中，一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项.【详解】对于A，取，则，故A错.对于B，取，则，故B错..对于C，取，则，故C错.对于D，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故选：D.例题2.）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果.【详解】因为，所以，，又根据基本不等式可得，，所以.故选：C.【讲技巧】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【练题型】1.下列不等式的证明过程正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若则D．若，且，则【答案】D【分析】利用基本不等式成立的条件判断出证明过程正确的选项.【详解】对于A选项，当时，，所以A选项错误.对于B选项，如时，，所以B选项错误.对于C选项，由于，则，，所以C选项错误.对于D选项，根据基本不等式成立的条件可知D选项正确.故选：D2.给出下列条件：①；②；③，；④，.其中能使成立的条件有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据基本不等式可知，当成立时，则，可知、同号，据此可得出结论.【详解】由基本不等式可知，要使得成立，则，所以，、同号，所以①③④均可以.故选：C.3.若a＞0，b＞0，且a≠b，则（

）A．＜＜ B．＜＜C．＜＜ D．＜＜【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判断选项.【详解】∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故选：B【题型二】构造“公式型”【讲题型】例题1.若x>1，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，化简可得，利用基本不等式即可得解.【详解】由，可得，，当且仅当，即取等号，的最小值为，故选：A.例题2.）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]【答案】C【分析】由题意可得对任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合.【详解】由题意可得对任意恒成立，由，可得，当且仅当即时，取得等号，则，解得.故选：C.【练题型】1.设，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解【详解】，，，当且仅当，即时取等号故选：A2.已知且，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据题意，只需求的最小值，再根据基本不等式求解即可.【详解】∵且，∴.当且仅当即时取等号，此时取得最小值小3.故选:A.【题型三】“1”的代换【讲题型】例题1.已知，，，则的最小值是（

）A．2 B．8 C．4 D．6【答案】C【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解.【详解】解析：由得，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是4．故选：C．例题2.已知正实数、满足，则的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式求得的最小值判断.【详解】解：因为正实数、满足，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故选：D【练题型】1.若，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以，的最小值为.故选：B2.已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．} C． D．【答案】D【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.【详解】∵，且，∴，当且仅当时取等号，∴，由恒成立可得，解得：，故选：D.【题型四】“积”与“和”混合型【讲题型】例题1.已知，，且满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】由题意得，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.【详解】因为，所以，所以，当且仅当时，即，时取等号．所以的最小值为.故选：C例题2.若正实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得，由基本不等式可得，即，解不等式即可求解.【详解】由可得，因为，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，解得：，所以，当且仅当即时等号成立，的最小值为.故选：D.【讲技巧】1.形如求型，2.形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：【练题型】1.若，且，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简整理式子可得，再利用基本不等式即可求解.【详解】由，且，则，即，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，整理得，即，因为，所以，所以，解得.故选：D2.已知a，b是正实数，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简条件等式，再结合基本不等式求最值中“1”的妙用的技巧转化需要求解的代数式，最后运用基本不等式得出结果即可.【详解】等式的两边同除以可得：当且仅当，即时，取等号，此时选项D正确，选项ABC错误.故选：D.【题型五】构造分母代换型【讲题型】例题1.若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】由题意可得，将展开利用基本不等式求得最小值，再解不等式即可求解.【详解】若不等式有解，则，当且仅当即时，最小值为，所以，即，所以，解得：或，故选：A.例题2.若正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】凑配出积为定值，然后用基本不等式得最小值．【详解】解：由题意，正数，满足，，当且仅当，时取等号，故选：B.【练题型】1.若，，且，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据，可将化为，结合结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：若，，且，则，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：B．2.已知实数x，y满足，且，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用变形为，将变形后利用均值不等式求解.【详解】因为,所以，，当且仅当，即时，等号成立.故选：D【题型七】分离常数消去型【讲题型】例题1.已知，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】，根据结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：，因为，又，所以，则，当且仅当，即时，取等号，即的最小值是7.故选：C例题2.已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将所求的代数式整理为，再利用的代换即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时，的取得最小值为，故选：D.【练题型】1.已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为为正实数且，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立；所以，当且仅当时等号成立；故选：D2.已知，则的最小值为（

）A．3 B．2C．4 D．1【答案】A【分析】因为，所以，将分离常数既可以用基本不等式求最值.【详解】因为，所以，由均值不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为3，故选：A【题型八】消去型【讲题型】例题1.已知点在椭圆上运动，则最小值是__________．【答案】详解：点P（x，y）在椭圆x2+2y2=3上运动，∴x2+2y2=3即x2=3-2y2则即最小值为，故答案为例题2.已知，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【详解】由题意，可知，且，则，则，当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.【练题型】1.已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，因为，，所以，得，所以，记，所以，所以，且，所以，当且仅当即等号成立，此时，

.故选：A.2.已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可.【详解】因为ab+a+2b=7，所以，，所以，当且仅当时等号成立，故选：A3.已知正数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】经转化可得，，条件均满足，即可得解.【详解】根据题意可得，由，所以，由，可得，即，，【题型九】多次均值【讲题型】例题1.已知，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．6【答案】B【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因，则，当且仅当且，即时取“=”，所以当时，取最小值.故选：B例题2.已知，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用特殊值排除错误选项，由此得出正确答案.另可用基本不等式证明A选项正确.【详解】当时，，，所以CD选项错误.当时，，，所以B选项错误.，即当且仅当或时等号成立.则，，解得.故选：A【练题型】1.设，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】两次利用基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，所以，所以（当且仅当时取等号），所以，所以，（当且仅当，即时取等号）.故答案为：D2.若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．【题型十】多元均值【讲题型】例题1.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简，然后由基本不等式得最值，及，这样可化为的二次函数，易得最大值．【详解】当且仅当时成立，因此所以时等号成立．故选：C．例题2.已知P是面积为1的△ABC内的一点（不含边界），若△PAB，△PAC，△PBC的面积分别为x，y，z，则的最小值是（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题意得出，原式可化为，利用基本不等式求出最小值．【详解】解：因为三角形的面积为，且，，，所以，当且仅当，即时取等号，即最小值为3．故选：D．【练题型】1.若a，b，c均为正实数，则三个数，，（

）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2【答案】D【分析】对于选项ABC可以举反例判断，对于选项D,可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定，，至少有一个不小于2，从而可以得结论．【详解】解：A.都不大于2，结论不一定成立，如时，三个数，，都大于2，所以选项A错误；B.都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如则，所以选项B错误；C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如时，三个数，，都大于2，所以选项C错误.由题意，∵a，b，c均为正实数，∴．当且仅当时，取“=”号，若，，，则结论不成立，∴，，至少有一个不小于2，所以选项D正确；故选：D．2.设为中的三边长，且，则的取值范围是（）A．B．C． D．【答案】B【详解】由题意，记，又由，则，又为△ABC的三边长，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨设，且为的三边长，所以．令，则，当时，可得，从而，当且仅当时取等号．故选：B．【题型十一】权方和不等式【讲题型】例题1.若正数满足，则的最大值为（）A．2/5 B．4/9 C．1/2 D．4/7解：∵正数满足，∴，解得，∴，当且仅当时，等号成立，∴的最大值为．故选：B．权方和：例题2.已知为正数，且，则的最大值为．【答案】试题分析：因为，所以，所以，即，令，则，而，所以，即，故应填．权方和：【讲技巧】权方和不等式：设证明：【练题型】1.已知实数m,n∈(0,+∞)且m+n【答案】94【详解】令3m+n=x，m+3n=当且仅当x=2y,x+y43m+n+权方和：2.已知，则的最小值为（）A． B． C． D．【详解】由题意知，可得：，则，当且仅当时，等号成立，则的最小值为。故选：A．权方和：.当且仅当时，即时取等号【题型十二】万能“k”法【讲题型】例题1..已知正数满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】，令，，，，时等号成立，可得最大值为9，故答案为9.例题2.已知，，，则的最小值为A． B． C． D．4【答案】C【详解】由题意，知，可得，则，当且仅当时，即时取得等号，所以，即的最小值为，故选C．【练题型】1.已知，若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C详解：设，则，，即整理得：当且仅当当且仅当时取.解得或（舍去）即当时，取得最小值8.故选C.2.已知x+y=1x+4A．53B．9C．4+26D【答案】B【解析】x+y=1x+4y+8⇒x+y-8=1x+4y，两边同时乘以“x+y”得：【题型十三】整体换元【讲题型】例题1.若a,b∈R，且a【详解】5+14由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a=x+3所以a2+b2＝（x+3y4）2+（x-y4）2=x2+5y2例题2.若实数、、，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以=，当且仅当时，等号成立.故选D.【练题型】1.已知，且，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】∵a，b∈R+，∴ab，可得，当且仅当a=b=或a=b=2取等∵，∴（a+b）5≥（a+b），化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，解得1≤a+b≤4，则a+b的取值范围是[1，4]．故选：A．2.已知正实数，，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可先对作变形处理，得，结合基本不等式进行放缩，可得，再进一步化简求值即可.【详解】由，得，化简得，解得，即的取值范围为，故选：B.【题型十四】均值应用：恒成立【讲题型】例题1.已知，，且，若恒成立，则实数的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得，结合基本不等式可求的最小值，然后由恒成立可知，解不等式可求的范围，从而得解．解：，，且，，当且仅当且时取等号，此时，若恒成立．，，解不等式可得，，故实数的最小值为，故选：．例题2.正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数______.（填一个满足条件的值即可）【答案】，填一个即可解：，，且，．当且仅当，即，时，．若不等式对任意实数恒成立，则，即对任意实数恒成立，，．实数的取值范围是故答案为：，（答案不唯一）．【练题型】1.数列中，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】由，化简为，得出是等差数列，求出，然后，对于不等式，对进行分类可得的取值范围.【详解】解:由数列满足,，两边取倒数可得：，数列是等差数列,公差为1,首项为2，由恒成立,得,当为偶数时，,则，当为奇数时，,则∴实数的取值范围为，故答案为：2.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.【详解】设，则所以当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A一、单选题1．已知，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．10【答案】C【分析】利用均值定理即可求得的最小值.【详解】时，,（当且仅当时等号成立）则的最小值为7.故选：C2．若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.【详解】由已知，利用基本不等式得出，因为，则，，所以，，∴.故选：C.3．已知x，y为正实数，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】结合基本不等式求得正确答案.【详解】依题意，，，当且仅当时等号成立.故选：B4．若，，且，则的最小值为（

）A．9 B．6 C．3 D．12【答案】A【分析】根据基本不等式可得，解出，即可得出答案.【详解】因为，，所以有，当且仅当时，等号成立.又，所以有，整理可得，解得或（舍去）.所以，所以.所以当时，有最小值9.故选：A.5．已知，且，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.【详解】因为，所以，令，则且，代入中得：当即时取“=”,所以最小值为1.故选：B6．设，且，则（

）A．有最小值为 B．有最小值为C．有最大值为 D．有最大值为【答案】A【分析】对变形得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，故，即取等号.故选：A.7．若，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.【详解】因为，，，则，当且仅当时，即时，等号成立；所以，即的最大值为，故选：C.8．已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】令，则原不等式等价于，应用柯西不等式得，再两次应用基本不等式求的最小值，注意最小值的取值条件.【详解】令，即，则，当且仅当时等号成立，又，当且仅当且，即时等号成立，综上，，即，当且仅当时等号成立.故选：D【点睛】关键点点睛：令，应用柯西不等式求得，再利用基本不等式求的最值即可.二、多选题9．在下列函数中，最小值是的函数有（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，，所以A选项不符合.B选项，，当且仅当时等号成立，所以B选项不符合.C选项，对于函数，当时，，当且仅当时等号成立.当时，，当且仅当时等号成立，综上所述，的最小值是，符合题意.D选项，，，当且仅当时等号成立，所以D选项符合.故选：CD10．若a，b均为正数，且满足，则（

）A．的最大值为2 B．的最小值为4C．的最小值是6 D．的最小值为【答案】AD【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确.B选项，，但由解得，不满足，所以等号不成立，所以B选项错误.C选项，，当且仅当时等号成立，所以C选项错误.D选项，，所以当，时，取得最小值，D选项正确.故选：AD11．设正数满足，则有（

）A．B．C．D．【答案】A