河南省新乡市县高级中学2022年高三数学文测试题含解析

河南省新乡市县高级中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为(

)A．24 B．20 C．16 D．12参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．2.设，，，则（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：D3.函数f(x)=ln|x－1|的图像大致是

（

）

参考答案：B略4.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的,且样本容量为200,则中间一组有频数为A．40

B．32

C．0.2

D．0.25参考答案：A略5.若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A． B． C． D．2参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点之间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键．6.已知函数的定义域为R，，对任意都有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由所以所以.

7.已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为(

) A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}参考答案：A考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（?RB），然后利用集合的基本运算进行求解即可．解答： 解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则?UB={x|x≥1}，由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（?UB），∴A∩（?UB）={x|1≤x＜3}，故选：A．点评：本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用数轴求基本运算是解决此类问题的基本方法．8.设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜bC．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b参考答案：A【考点】指数函数综合题．【分析】对于2a+2a=2b+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，∴若2a+2a=2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．故选A．9.已知动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2，点C为直线l上一点，且满足，若M是线段AB的中点，则的值为（）A．3 B．2 C．2 D．﹣3参考答案：A【考点】向量在几何中的应用．【分析】由题意设动直线l为y=（x+2），表示出B，C的坐标，再根据中点坐标公式以及向量共线定理和向量的数量积即可求出【解答】解：动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2，则△OAB为等边三角形，于是可设动直线l为y=（x+2），根据题意可得B（﹣2，0），A（﹣1，），∵M是线段AB的中点，∴M（﹣，）设C（x，y），∵，∴（﹣2﹣x，﹣y）=（﹣1﹣x，﹣y），∴，解得，∴C（﹣，），∴=（﹣，）?（﹣，）=+=3，故选：A．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，关键构造直线，考查了向量的坐标运算和向量的数量积，属于中档题10.函数的部分图象为

（

）．

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数,则不等式的解集为_____________．参考答案：略12.已知直线与圆交于、两点，且，其中为坐标原点，则正实数的值为

.参考答案：13.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为正整数d．若S32+a32=1，则d的值为

．参考答案：1考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得关于a1的一元二次方程，由△≥0和d为正整数可得．解答： 解：∵S32+a32=1，∴，整理可得10+22a1d+13d2﹣1=0，由关于a1的一元二次方程有实根可得△=（22d）2﹣40（13d2﹣1）≥0，化简可得d2≤，由d为正整数可得d=1故答案为：1点评：本考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及一元二次方程根的存在性，属基础题．14.设，向量，，，且，，则

．参考答案：.故答案为：

15.已知是第二象限的角，且，则___________.参考答案：略16.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是

：

．参考答案：59，26．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．【分析】第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺；第三天设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺，则X÷4=（0.5﹣x）÷，由此能求出大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比．【解答】解：第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺．第三天按道理来说大鼠打4尺，小鼠尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通．我们现在设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺则打洞时间相等：X÷4=（0.5﹣x）÷解方程得X=，所以大鼠在第三天打了8/17尺，小鼠打了0.5﹣=尺所以三天总的来说：大鼠打了3+=尺，小鼠打了5﹣尺，∴大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是59：26．故答案为：59，26．【点评】本题考查等差数列与等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．17.已知圆的方程为设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

。参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知如图，△ABC是边长为4的等边三角形，MC⊥平面ABC，D、E分别是线段AC、AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△NDE，平面NDE⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：平面BCM∥平面EDN；（Ⅱ）求三棱锥M﹣EDN的体积V．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LU：平面与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出MC∥平面EDN，从而BC∥ED，进而BC∥平面NDE，由此能证明平面BCM∥平面EDN．（Ⅱ）设BC中点为G，连接AG交DE于F．则AG⊥ED，推导出GF⊥平面NDE，由此能求出三棱锥M﹣NDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵平面EDN⊥平面ABC，MC⊥平面ABC，MC?平面EDN，∴MC∥平面EDN．…（2分）由已知，BC∥ED，∵BC?平面NDE，ED?平面NDE，∴BC∥平面NDE．…（4分）∵BC、MC是平面BCM内两相交直线，∴平面BCM∥平面EDN．…（6分）解：（Ⅱ）设BC中点为G，连接AG交DE于F．则AG⊥ED．…（7分）∵平面EDN⊥平面ABC，平面EDN∩平面ABC=ED，AG?平面ABC，∴GF⊥平面NDE．…（9分）由已知，△NDE的面积S△NDE=．GF=NF=，…（11分）∴三棱锥M﹣NDE的体积V=GF?S△NDE=××=1．…（12分）【点评】本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想，是中档题．19.随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表．年龄（单位：岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数510151055赞成人数51012721（1）若以“年龄”45岁为分界点，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成

不赞成

合计

（2）若从年龄在[25，35）和[55，65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55，65）的概率．（,其中）参考答案：（1）根据条件得2×2列联表：

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成102737不赞成10313合

计203050…………………………3分根据列联表所给的数据代入公式得到：

……5分所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；

…………6分（2）按照分层抽样方法可知：[55，65）抽取：（人）；[25，35）抽取：（人）

…………8分在上述抽取的6人中，年龄在[55，65）有2人，年龄[25，35）有4人．年龄在[55，65）记为（A，B）；年龄在[25，35）记为（a，b，c，d），则从6人中任取3名的所有情况为：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）（a，b，d）（a，c，d）（b，c，d）共20种情况，

……………9分其中至少有一人年龄在[55，65）岁情况有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．

…………10分记至少有一人年龄在[55，65）岁为事件A，则

…………………11分∴至少有一人年龄在[55，65）岁之间的概率为．

…………………12分20.（本题满分12分）数列的前项和为，数列的前项的和为，为等差数列且各项均为正数，，，（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）若，，成等比数列，求．参考答案：（Ⅰ）当时，

∴，即

又

∴是公比为3的等比数列（Ⅱ）由（1）得：

设的公差为（），∵，∴依题意有，，∴

即，得，或（舍去）故21.(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x和y的值；(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．

参考答案：∵甲班学生的平均分是85，∴＝85.∴x＝5.∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y＝3.(2)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E.从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)．22.（本小题满分12分）已知a是实常数，函数，（1）若曲线在x=1处的切线过点，求实数a的值；（2）若有两个极值点x1，x2（x1<x2）①求证：；②求证：。参考答案：（1）由已知：，切点

……1分切线方程：，把代入得：a=1