2021-2022学年初中数学讲义-全等三角形方法课之截长补短法

2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之截长

补短法（解析版）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，AABC中，N8=2NA,NAC5的平分线CZ）交4B于点〃，已知AC=16,

BC=9,则BD的长为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】

如图，在C4上截取CN=CB,连接DN,证明ACBD且KND,利用全等三角形的性质证明

BD=ND,求解CN=9,AN=7,再证明ON=AN,从而可得答案.

【详解】

解：如图，在C4上截取CN=CB,连接。N,

CD平分ZACB,

NBCD=NNCD,

.CD=CD,

：qCBD^CND（SAS）,

BD=ND,ZB=NCND,CB=CN,

8C=9,AC=16,

:.CN=9,AN=AC-CN=1,

NCND=ZNDA+AA,

ZB=ZNDA+ZA,

•.­NB=2NA,

ZA=ANDA,

:.ND=NA,

:.BD=AN=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关

键.

2.如图，已知四边形ABCD中，AD/7BC,若NDAB的平分线AE交CD于E,连接

BE,且BE恰好平分NABC,则AB的长与AD+BC的大小关系是（）

A.AB>AD+BCB.AB<AD+BCC.AB=AD+BCD.无法确定

【答案】C

【分析】

在AB上截取AF=AD,连接EF,易得NAEB=90°和△ADE丝4AFE,再证明

△BCE丝ZXBFE,利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.

【详解】

解：如图所示，在AB上截取AF=AD,连接EF,

：AD〃BC,

.".ZABC+ZDAB=180°,

又：BE平分NABC,AE平分NDAB

ZABE+NEAB=g(NABC+NDAB)=90°,

ZAEB=90°BPZ2+Z4=90°,

在4ADE和4AFE中，

AD=AF

<ZDAE=ZFAE

AE=AE

.".△ADE^AAFE(SAS),

所以N1=N2,

又N2+N4=90°,Nl+/3=90°,

所以N3=/4,

在4BCE^ABFE中，

ZCBE=ZFBE

<BE=BE

Z3=Z4

.,.△BCE^ABFE(ASA),

所以BC=BF,

所以AB=AF+BF=AD+BC；

故选：C.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.

3.如图，在A4BC中，ZBAC=68°,ZC=36°,AO平分々AC,M、N分别是A。、

A8上的动点，当BM+MN最小时，ZBMV的度数为()

【答案】B

【分析】

在AC上截取AE=AN,先证明AAME丝Z\AMN(SAS),推出ME=MN.当B、M、E

共线，BELAC时，BM+ME最小，可求出/NME的度数，从而求出/BMN的度数.

【详解】

如图，在AC上截取AE=AN,

VZBAC的平分线交BC于点D,

二NEAM=NNAM,

在4AMN中,

AE=AN

-ZEAM=ZNAM,

AM=AM

.,.△AME^AAMN(SAS),

，ME=MN.

.♦.BM+MN=BM+ME,

当B、M、E共线，BEJ_AC时，BM+ME最小，

；.MN_LAB

ZBAC=68°

ZNME=360o-ZBAC-ZMEA-ZMNA=360o-68o-90o-90o=112°,

.*.ZBMN=180°-112o=68°.

故选：B.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短问题，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN进

行转化，利用垂线段最短解决问题.

4.如图，在中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AO平分NC4B交BC于。

点，E,尸分别是AD,4c上的动点，则CE+所的最小值为()

【答案】D

【分析】

利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB

的垂线段长度.

【详解】

在AB上取一点G,使AG=AF

•.,在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4

；.AB=5,

VZCAD=ZBAD,AE=AE,

AAAEF^AAEG(SAS)

；.FE=GE,

要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值,

故当C、E、G三点共线时，符合要求,

此时,作CHLAB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值,

此时，AC・BC=AB・CH,

ACAB12

BC5

12

即：CE+EF的最小值为w，

故选：D.

【点睛】

本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键.

5.如图，在AA8C中，AD平分ZR4C,ZB=2ZADB,AB=5,CD=6,则AC的长

为（）

【答案】C

【分析】

在AC上截取AE=AB,连接DE,证明△ABD丝AAED,得到/B=NAED,AB=AE,

再证明CD=CE,进而代入数值解答即可.

【详解】

在AC上截取AE=AB,连接DE,

B

D

E

VAD平分NBAC,

AZBAD=ZDAC,

在^ABD和仆AED中，

AE=AB

<ZBAD=ZDAC,

AD=AD

AAABD^AAED(SAS),

，ZB=ZAED,ZADB=ZADE,AB=AE,

又NB=2NADB

AZAED=2ZADB,ZBDE=2ZADB,

ZAED=ZC+ZEDC=2ZADB,ZBDE=ZC+ZDEC=2ZADB,

AZDEC=ZEDC,

ACD=CE,

AB=5,8=6,

AAC=AE+CE=AB+CD=5+6=11.

故选：C.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线•截长补短法构造

全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌

握.

二、填空题

6.(1)如图(1),在四边形43C。中，AB=AD,ZB+ZD=180\E,尸分别是8C,C。

上的动点，且=求证：EF=BE+DF.

(2)如图⑵,在(1)的条件下，当点E,F分别运动到BC,CD的延长线上时，EF,BE,DF

之间的数量关系是.

n

77

“~E'c"cE

图⑴图(2)

【答案】(1)详见解析；(2)EF=BE-DF

【分析】

(1)延长尸。到点G,使DG=BE,连接AG,先证明AABE乌AWG(SAS),得到

AE=AG,NBAE=ZDAG,然后证明A4£F丝AAGb,得到斯=FG,根据

FG=DG+DF=BE+DF,可得EF=BE+DF；

(2)在8C上截取8G=£>尸，连接AG,先证明△ABG四△ADF(SAS),得到AG=AF,

NBAG二NDAF,再证明△EAG0ZMEAF(SAS),得至ijEG=EF,根据BG二DF,即可得

EF二BE-BG=BE-DF.

【详解】

(1)如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.

•/ZB+ZADF=NADG+ZADF=180°，

:"B=ZADG,

又・.・43=AT>,BE=DG,

：.MBE^AAZ)G(SAS),

/.AE=AG,/BAE=ZDAG,

VZEAF=-ZBAD,.\ZGAF=ZDAG-^-^DAF=ZDAF=ZBAD-^EAF=ZEAF.

2

-AE=AG,ZEAF=NGAF,AF=AF,

：.MEF^MGF,

:.EF=FG.

・.FG=DG+DF=BE+DF,

:.EF=BE+DF；

(2)EF=BE—DF.

如图，在3C上截取4G=OE,连接AG,

G

・・・N8+ZADC=ZADC+ZADF=180°，

.・.ZB=ZADF,

AB=AD

在^ABG和^ADF中,N8=ZADF,

BG=DF

.,.△ABG^AADF(SAS),

AAG=AF,ZBAG=ZDAF,

ZBAD=2ZEAF,

•••NBAG+NGAE+NEAD=NEAD+NDAF+NEAD+NDAF,

AZGAE=ZEAF,

AG=AF

在小EAG和^EAF中/EAG=ZEAF,

AE=AE

AAEAG^AEAF(SAS),

AEG=EF,

VBG=DF,

，EF=BE-BG=BE-DF.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键.

7.如图，△ABC中，AB=AC,D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE,

且ND+NE=180。，若BD=6,则CE的长为

【答案】6

【分析】

在AD上截取AF二AE,连接BF,易得△ABF之Z^ACE,根据全等三角形的性质可得

ZBFA=ZE,CE=BF,则有ND=NDFB,然后根据等腰三角形的性质可求解.

【详解】

在AD上截取AF=AE,连接BF,如图所示：

vAB=AC,ZFAB=ZEAC,

AABF^AACE,

/.BF=EC,ZBFA=ZE,

vZD+ZE=180°,ZBFA+ZDFB=180°,

NDFB=ND,

•.BF=BD,

•••BD=6,

CE=6.

故答案为6.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角

形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键.

8.如图，在AABC中，ZACB=ZABC=40°,BD是NABC的角平分线，延长BD至

点E,使得DE=DA,贝!|NECA=.

【答案】40°

【分析】

在BC上截取BF=AB,连接DF,由题意易得NA=100。，ZABD=ZDBC=20°,易得

△ABD^AFBD,进而可得DF=AD=DE,由此可证△DECWz^DFC,然后根据全等三

角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解.

【详解】

解：在BC上截取BF=AB,连接DF,

E

D

B

----------；------c

VZACB=ZABC=40°,BD是NABC的角平分线，

/.ZA=100°,ZABD=ZDBC=20°,

/.ZADB=60°,ZBDC=120°,

vBD=BD,

・.△ABD^AFBD,

•・•DE=DA,

.・.DF=AD=DE,ZBDF=ZFDC=ZEDC=60°,ZA=ZDFB=100°,

•••DC=DC,

/.△DEC^ADFC,

ZDCB=ZDCE=ZDFC-ZFDC=100°-60°=40°；

故答案为40°.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形

全等的判定条件及外角性质是解题的关键.

9.如图，四边形ABC。中，ZBAD=120°,ZB=ZD=90°,在8C、CD上分别找一

点M、N,使AAMN周长最小时，则NAMN+NAMW的度数是.

【答案】120°

【分析】

延长AB,使得AB=BE,延长AD,使得AD=DF,连接EF,与BC,DC相较于M,N,

要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据/8人口=120。和4人乂?4的内

角和是180。即可列出方程求解.

【详解】

解：延长AB,使得AB=BE,延长AD,使得AD=DF,连接EF,与BC,DC相较于M,

N

如图所示，此时△AMN的周长最小

VZABM=90°

・・・ZEBM=90°

在^AMB和^EMB中

AB=BE

<Z.ABM=NEBM

MB=MB

AAAMB^AEMB

AZBEM=ZBAM

AZAMN=2ZBAM

同理可得：△AND^AFDN

・・・NNAD=NNFD

AZANM=2ZNAD

设NBAM=x,ZMAN=z,ZNAD=y

VZBAD=120°

.y+z=120°

"[2x+2y+z=180°

解得：％+y=60°

即ZAMN+ZANM=2x60°=120°.

故答案为：120。.

【点睛】

本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、

三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键.

10.如图，？42?C,80平分NA5C,BC=10,AB=6,贝！|AQ=.

D

【答案】4

【分析】

在BC上截取8E=A8,利用“边角边”证明△△欧D,根据全等三角形对应边相

等可得OE=A。，由全等三角形对应角相等可得NBEO=N4,然后求出/C=NC£>E,

根据等角对等边可得CE=£）E,等量代换得到EC=4O,贝lj5C=5E+EC=AB+AO即可

求出AO长.

【详解】

解：（1）在8C上截取8E=8A,如图，

,.・8。平分NA8C,

,NABD=NEBD,

在和中，

BE=BA

</ABD=/EBD,

BD=BD

:.AABD妥AEBD(SAS),

：.DE=AD,NBED=NA,

又「NA=2NC,

：.ZBED=ZC+ZEDC=2ZCf

：.ZEDC=ZCf

:・ED=EC,

：.EC=ADr

：.BC=BE+EC=AB+ADf

VBC=10,48=6,

AAD=10-6=4；

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键.

11.如图，AABC与AAOC有一条公共边AC,且AB=AD,ZACB=ZACD=x,贝！I

NBAD=.（用含有x的代数式表示）

【答案】180°-2x

【分析】

在CD上截取CE=CB,证明△ABC^AAEC得AE=AB,/B=/AEC,可进一步证明

ZD+/B=180。,再根据四边形内角和定理可得结论.

【详解】

解：在CD上截取CE=CB,如图所示，

在4ABCAEC中，

CE=CB

<ZACE=ZACB

AC=AC

.1△ABC丝△AEC(SAS)

，AE=AB,ZB=ZAEC,

VAB=AD,

；.AD=AE,

/D=/AED,

VZAED+ZAEC=180°,

.\ZD+ZB=180°,

ZDAB+ZABC+ZBCD+ZCDA=360°

，ZDAB+ZBCD=3600-ZABC-ZCDA-3600-180°-180°,

ZBCD=ZACB+ZACD=x+x=2x

/DAB=180°-ZBCD=180°-2x

故答案为：180"2x

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识,

作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点.

12.如图，AABC是等边三角形，ZBAD+ZBCD=i80°,BD=8,CD=2,则AD=

【答案】6

【分析】

在线段BD上取一点E,使得BE=CD,连接AE,由A,3,C,O四点共圆得Z43£=NACD,

再证明ABE三AACD,△ADE是等边三角形，得AD=DE=AE,再由线段的和差关系

可得结论.

【详解】

解：在线段BD上取一点E,使得BE=CD,连接AE,

ZBAD+ZBCD=180°

：.AB,C,C四点共圆,

：.ZABD=ZACD

：.ZABE=ZACD

ABC是等边三角形，

AAB=AC=BC,ZDAE=6O°,

：./\ABE^MCD,NBAE+NC4f'=60°,

・/BAE=NOW,ZBAF=ACAD,

.,.ZC4D+ZC4£=60°,即ND4£=60。，

△ADE是等边三角形，

•**AD=DE=AE，

•:BD=8,8=2,

:.DE=BD—BE=BD—CD=6,

AD=DE=6.

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明NABE=NA8

是解答此题的关键.

13.如图，已知AABC中，ZA=60o,D为AB上一点，且AC=24)+3D,ZB=4ZA8,

则NDCB的度数是.

【分析】

通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质，得到角相等，边相等，根据三

角形全等，得到角相等，利用外角的性质列方程求解；

【详解】

解：如图，延长AB至点E使8£=">,连接CE.

；•AE^AD+DB+BE^2AD+BD.

AC=2AD+BD,

：.AE^AC.

ZA=60°,

...AAEC是等边三角形，

ZE=ZACE=60°.

ZABC=4ZACD,

...设ZA8=x,则ZABC=4x.在AAOC与AEBC中,

AD=BE,

(ZA=ZE,A△ADC且AEBC(SAS),

AC=EC,

：.ZACD=/ECB=x.

*/ZABC=NE+NBCE,

4x=60°+x,

/.x=20°,

JZBCD=60°-20°-20°=20°.

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，准确分析是解题

的关键.

14.如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF_LAB于F,ZB=Z1+Z2,

4

AB=CD,BF=j,则AD的长为.

【答案】g

【分析】

在FA上取一点T,使得FT=BF,连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接DK.想

办法证明AT=DK,DK=BD,推出BD=AT,推出BT=AD即可解决问题.

【详解】

在FA上取一点T,使得FT=BFf连接ET,在CB上取一点K,使得CK=ET,连接DK.

•:EB=ET,

:./B=/ETB,

YNETB=Nl+NAET,ZB=Z14-Z2,

・•・NAET=N2,

♦：AE=CD,ET=CK,

：./\AET^△QCK(SAS),

:.DK=AT9ZATE=ZDKC9

：.NETB=/DKB,

:・/B=/DKB,

:.DB=DK,

BD=AT,

.\AD=BTf

8

♦：BT=2BF=一,

3

".AD=—,

3

故答案为：—.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于

学会添加常用辅助线，构造出全等三角形.

15.如图，在等腰△A8C中,A5=AC,NBAC=120。,点。是线段3c上一点，NWC=90。，

点尸是A4延长线上一点，点。是线段4。上一点，OP=OC,下面的结论：

®^AP0=^AC0；@^AP0+^DCO=30°；@AC=AO+AP；®P0=PC,其中正确的有

【答案】①②③④

【分析】

连接80,由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和

定理，角的和差求出N4P0=NAC0,ZAPO+ZDCO=30°9由三角形的内角和定理，角

的和差求出/尸。。=60。,再由等边三角的判定证明△0PC是等边三角形，得出PC=P0,

NPCCH60。，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段

的和差和等量代换求出A0+4P=AC即可得出结果.

【详解】

解：连接80,如图1所示：

图1

9：AB=AC,ADVBC,

：.B0=C0,

：,/0BC=/0CB,

又丁0P=0C,

；.OP=OB,

：./OBP=/OPB,

又•・•在等腰4ABC中NH4C=120°,

・・.ZABC=ZACB=30°,

・•・ZOBC+ZOBP=ZOCB+ZACO,

；・NOBP=NACO,

AZAPO=ZACO,故①正确；

又丁ZABC=ZPBO+ZCBO=30°,

・・・N4PO+NQCO=30。，故②正确；

VZPBC+ZBPC+ZBCP=]SO°fZPBC=30°,

：.ZBPC+ZBCP=\50°9

XVNBPC=NAPO+NCPO,

ZBCP=ZBCO+ZPCOf

/APO+NOCgO。，

：.ZOPC+ZOCP=\20°f

又ZPOC+ZOPC+ZOCP=180°,

NPOC=60°,

y."：OP=OC,

...△OPC是等边三角形，

：.PC=PO,ZPCO=60°,故④正确；

在线段AC上截取AE=AP,连接PE,如图2所示:

'：ZBAC+ZCAP=\SQ°,NBAC=120°,

ZCAP=60°,

/\APE是等边三角形，

：.AP=EP,

又•.•△OPC是等边三角形，

：.OP=CP,

又VZAPE=ZAPO+ZOPE=60°,

ZCPO=ZCPE+ZOPE=60°,

ZAPO^ZEPC,

在△4P。和4EPC中，

AP=EP

AAPO=ZEPC,

OP=CP

.♦.△4P。畛△EPC(SAS),

：.AO=EC,

又；AC=AE+EC,AE=AP,

：.AO+AP=AC,故③正确；

故答案为：①②③④.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定

与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点;

作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键.

三、解答题

16.如图，四边形A3CD中，ZB+ZD=180°,ZBCD=150°,CB=CD,M.N分别

为A3、AD上的动点，且NMCN=75。.求证：MN=BM+DN.

【答案】见解析

【分析】

延长A8至点E,4更得BE=DN,连接CE,根据同角的补角相等得NC8E=NCDN,

根据SAS证明ACBE=ACDN,则/BCE=NOCN,进而证明ZECM=ZMCN=75°,根据SAS

证明△ECMM&VCM,得至ljMV=ME,H*MN=BM+BE=BM+DN.

【详解】

证明：延长A3至点E,使得BE=DN,连接CE,

•・•四边形ABC。中，Zfi+ZD=180°,ZABC+ZCBE=180%

:"CBE=4JDN,

在△CBf和MJDN中,

CB=CD

<ZCBE=ZCDN,

BE=DN

:.ACBE=ACDN(SAS)f

:.ZBCE=ZDCN,CN=CE,

vZBCD=150°,NMCN=75。，

AMCE=ZMCB+^BCE=ZMCB+Z.DCN=75°,

:.ZMCN=ZMCE,

在AECM和&VCM中，

MC=MC

<4MCN=NMCE,

CN=CE

\ECM=ANCM(SAS),

：.MN=ME=BM+BE=BM+DN.

A

IN

乙1"C

E”

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键.

17.本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四

边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题.

(1)如图1,在四边形A8C£>中，AB^AD,ZB+ZD=180°,连接AC.

①小明发现，此时AC平分ZBCD.他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E,

使得BE=CD,连接AE,证明△A8E丝△A£>C,从而利用全等和等腰三角形的性质可

以证明4C平分NBCD.请你参考小明的想法，写出完整的证明过程.

②如图2,当/84£)=90。时，请你判断线段AC,BC,8之间的数量关系，并证明.

(2)如图3,等腰△C0E、等腰△43。的顶点分别为A、C,点B在线段CE上，且

ZABC+ZADC=180。，请你判断ND4E与NZ)8E的数量关系，并证明.

【答案】(1)①见解析；②CD+BC=6AC，证明见解析；(2)ZDAE=2ZDBE,证

明见解析

【分析】

(1)①参考小明的想法,延长CB到点E，使得BE=CD,连接AE,证明也△4X',

从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明4c平分；

②沿用①中辅助线，延长C8到点E,使得BE=CD,连接AE,证得直角三角形C4E,

再利用勾股定理可求得AC,BC,C。之间的数量关系；

(2)类比(1)中证明的思路，延长C。至尸，使得。尸=C8,连A尸，证明△AfiC也△4)尸、

^ACD^^ACE,再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找

到ZDAE与NDBE的数量关系.

【详解】

(1)如图，延长CB到点E,使得BE=CD,连接AE.

ZADC+ZABC^180°,ZAB£+ZABC=180。，

:.ZADC=ZABE

在AAOC与ZM8E中，

AD=AB

ZADC=NABE

CD=EB

/\ADC^/\ABE(SAS)

ZACD=ZAEB,AC^AE

：.ZACB=ZAEB

.-.ZACD=ZACB.

；.4C平分N8CQ

(2)CD+BC=y/2AC

证明：如图，延长CB到点E,使得BE=C£),连接AE.

/.ZDAC=ZBAE,AC=AE

・・・/BAD=ZDAC+ZCAB=90°

/.ZC4£=ABAE+ACAB=ZDAC+ZCAB=/BAD=90°

在直角三角形CAE中，ZC4E=90°

:.CE=^AC2+AE2=y[2AC

:.CD+BC=y/2AC

⑶ZDAE=2/DBE

证明：如图，延长CO至尸，使得。尸=C8,连AF,

FF

由(1)知，/\ABC^/\ADF(SAS)

：.AF=ACfZACB=ZF

:.ZACD=ZF

/.ZACD=ZACE

在八48与4AC石中，

CD=CE

\<ZACD=ZACE

AC=AC

AACD^^ACE(SAS)

:.AD=AE

:.AD=AE=AB

:.ZADB=ZABD,ZAEB=ZABE

：.ZBAD=18O0-2ZADB,ZBAE=180°-2ZABE,

・・•ZDAE=360°-ABAD-ZBAE

ZDAE=360°-(180°-2ZA£>B)-(180°-2ZABE)

=2ZADB+2ZABE

=2ZDBE

【点睛】

本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判

定.综合性较强.

18.如图1,在等边三角形ABC中，AD_L8C于于瓦43与CE相交于点。.

(1)求证：OA=2DO；

(2)如图2,若点G是线段AO上一点，CG平分NBCE,NBGF=60。,GF交CE所在宜

线于点F.求证：GB=GF.

(3)如图3,若点G是线段OA上一点(不与点。重合)，连接BG,在BG下方作

NBG尸=60。,边GF交CE所在直线于点F.猜想：OGQF、。4三条线段之间的数量关

系，并证明.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)OF=OG+OA,理由见解析

【分析】

(1)由等边三角形的可求得NOAC=NOAB=/OCA=NOCB=30。，理由含30。角的直角

三角形的性质可得OC=2OD,进而可证明结论；

(2)理由ASA证明ACG8WZ\CG尸即可证明结论；

(3)连接。8,在。尸上截取。例=OG,连接GM,可证得△OMG是等边三角形，进而

可利用ASA证明△GMF名△GOB,得至UMF=OB=OA,由。F=0M+M尸可说明猜想的正

确性.

【详解】

解：(1)证明：；ZVIBC为等边三角形，

：.AB=BC=AC,N8AC=NACB=60°,

,：ADLBC,CELAB,

平分/B4C,CE平分/ACS,

NO4C=NOAB=NOCA=NOCB=30。,

：・OA=OC,

在放△0C£>中，ZODC=90°,N。。=30。，

：.OC=2OD,

・•・OA=2OD；

(2)证明：*：AB=AC=BC,ADLBC,

:・BD=CD,

：.BG=CGf

:・/GCB=/GBC,

VCG平分NBCE,

・•・NFCG=NBCG=；NBC尸=15。，

.•.ZBGC=150°,

•?ZBGF=60°,

・・・ZFGC=360°-ZBGC-ZBGF=150°,

・・・NBGC=NFGC,

在^CGB和4CGF中，

ZGCB=ZGCF

<CG=CG,

ZBGC=4FGC

:•△CGB"/\CGF(ASA),

:・GB=GF；

(3)解：。/=OG+OA.理由如下：

连接03,在。尸上截取OM=OG,连接GM,

图3

VCA=CB,CELAB,

：.AE=BEf

：.OA=OBf

：.ZOAB=ZOBA=30°,

：.ZAOB=nO°9NAOM=N8OM=60。，

•：OM=OG,

•••△OMG是等边三角形，

・•・GM=GO=OM,ZMGO=ZOMG=60°,

丁ZBGF=60°,

・・./BGF=/MGO,

：.NMGF=/OGB,

VZGMF=120°,

:./GMF=NGOB,

在小GM尸和△GOB中，

NMGF=NOGB

GM=GO,

/GMF=NGOB

:・/\GMFQAGOB(ASA),

:・MF=OB,

：.MF=OA,

OF=OM+MF,

：.OF=OG+OA.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30。角的直角

三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全

等是解题的关键.

19.在平行四边形A5CQ中，43LCZ)于E,。/，4)于尸，”为A。上一动点，连

接07,CH交AE于G,且AE=8=4.

图1图3

(1)如图1,若/3=60。，求CF、4尸的长；

(2)如图2,当m=电>时，求证：CG=E£>+AG；

(3)如图3,若4=60。，点〃是直线AD上任一点,将线段CH绕C点逆时针旋转60。，

得到线段C/T,请直接写出A/T的最小值____.

【答案】(1)CF=26,AF=--2；(2)见解析；(3)4-26.

3

【分析】

(1)由平行四边形性质可得N8=N3=60。，利用30。直角三角形性质开得

DF=^DC=2,根据勾股定理CF=2石，设。E=a,则AP=2a,根据勾股定理

42+a2=(2a)2,解得〃=理即可；

(2)方法1补短：如图3,延长GA到"使4版=。£,连接A®、MC,由平行四边形

48CO性质，可得AB〃CD,AB=CD,可证△/IDE丝△5M4(SAS),可得BM=AD,

ND=NBMA,由CF垂直平分OH,CH=CD,可证8M=8C,再证GM=GC即可；

方法2截长:如图4,过点8作BN，于点N,连接BG,先证△CFH9ACFD(SAS),

再证△BNC也(44S),最后证RtZXAfiG丝RtzXNBG(HL),可得AG=GN即可，

(3)在D4上截取DP=DC,连接CP、PH',先证ACD尸是等边三角形，可得

NDCP=/""'=60°,CD=CP,可证△CEW四△CP"'(SAS),可证WLAE,设

PH，交AE与Q,点”在射线PQ上运动，当点”运动到点。是A/T最短由ZDAE=30°,

先求QP=；AP=^-2,由勾股定理AQ=4-26即可.

【详解】

(1)由平行四边形性质可得N3=ND=60。，

在RtACFD中，Z£>=60°,ZFCD=30°,8=4,

DF=-DC=2,

2

根据勾股定理CF=y/CDr-DF2=V42-22=2A/3，

在RtAAEO中，ZD=60°,ADAE=3Q°,AE=4,

设OE=a,则AZ)=2o,

根据勾股定理A^+OE?=A£>2，BP42+a2=(2a)2,

解得。=拽，

3

•An8石人汇8百n

••AD=---,AF=ADAn—DnFr=--------2;

33

(2)方法1补短：如图3,延长G4到"使=连接MB、MC,

•・•四边形ABCD为平行四边形，

:・AB〃CD,AB=CD,

■:AE1CD

：.AELABf

：.ZAED=ZBAM=90°,

在△4。£和4BMA中，

AE=AB

,ZAED=NBAM,

DE=MA

：./\ADE^/\BMA(SAS),

:.BM=AD,ND"BMA,

■:CF工DH,DF=HF,

・・・。/垂直平分。〃，

:・CH=CD,

・・・ZD=ZDHC,

•：ZD=NBMA,ZDHC=ZBCHf

:./BMA=/BCH,

,:AD=BC,

：.BM=BC,

：.ZBMC=ZBCMf

：./GMC=/GCM,

：.GM=GC,

：.GC=GM=AG+AM=AG-^DE.

图3

方法2截长：如图4,过点B作BN_LC/7于点N,连接3G,

VCF1AD,

:.ZCFH=ZCFD,

在△。尸”和4CFO中，

FH=FD

<NCFH=NCFD

CF=CF

：.ACFW^ACFD(SAS),

・•・/CHF=/D,

■:ADIIBC,

・・・/CHF=/HCB,

在^BNCfllAAED中，

ZNCB=ZD

</BNC=ZAED

BC=AD

:.△BNgAAED(44S),

:.CN=DE,BN=AE,

,:AE=CD=AB,

：.BN=AB,

VABIICD,A£_LC£>于E,

・・・ABAG=9QP=/BNG,

在RtAABG和RtANBG中

)BG=BG

\AB=NB

；・R3ABG邺3NBG(HL),

：.AG=GN,

CG=GN+NC=AG+DE.

图4

(3)在D4上截取Z)P=OC,连接CP、PH',

"?ZB=ZD=60°,

...ACDP是等边三角形，

...ZDCP=AHCH'=60°,CD=CP,

：.ZDCH=ZPCH',

在公。£)”和4CPH'^,

CD=CH'

-NDCH=NPCH'

CH=CH'

:.ACDH冬ACPH'(SAS),

NCP〃'=Z£>=60°,

:.NCPH'=4PCD,

：.PH'HCD,

,/AEVCD,

PH'±AE,

设PfT交AE与。，点H在射线P。上运动，当点，‘运动到点Q是最短

•；ZDAE=30°

由(1)得：AD=心,CD=DP=4,AP=—-4,

33

/.QP=-AP=--2,

23

AQ=jApi_Qp2=4一2g,

W的最小值为4-2石.

故答案为：4-2后.

本题考查平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，

线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短，掌握平行四边形性质，30

度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三

角形判定与性质，垂线段最短是解题关键.

20.如图1,在R3A8C中，ZACB=90°,AC=BC,将点C绕点8顺时针旋转105。

得到点O,连接皿，过点。作OE_L5c交C3延长线于点E,点尸为线段OE上的一

点，且NOB/=45。，作N8FO的角平分线尸G交48于点G.

(1)求N3尸。的度数；

(2)求3尸，DF,GF三条线段之间的等量关系式；

(3)如图2,设”是直线OE上的一个动点，连接HG,HC,若AB=五,求线段

HG+4C的最小值(结果保留根号).

【答案】(1)120°；(2)BF+DF=GF,理由见解析；(3)[+案

【分析】

(1)由平角的性质可求NFBE=30。，再由直角三角形的性质和平角的性质可求解；

(2)由“ASA”可证△8MGg△8尸£>,可得GM=DF,即可求解；

(3)作点G关于。E的对称点G',连接HG',CG',FG',作交CB的延长

线于I,由轴对称的性质可得GF=GF,HG=HG',ZDFG=ZDFG'=60°,则HG+HC

=HC+HG'>CG',由等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求8G'的长，由勾

股定理可求解.

【详解】

解：(1)VZCBD=105°,NFBD=45°,

：.ZFBE=30°,

V£)E±BC,

AZDEB=90°,

：.ZBFE=60°f

：.ZBFD=nO°；

(2)BF+DF=GF,

理由如下：如图1,在线段FG上截取连接

图1

VZBFD=120°,FG平分/DFB,

：.ZGFD=ZGFB=6Q°f

是等边三角形，

:.BF=BM,N8MF=60。，

.・・ZGMB=ZBFD=120°,

VZACB=90°,AC=BC9

：.ZCBA=45°f

VZCB£>=105°,

・•・NABD=600=NMBF,

：・/GBM=NDBF,

・••在aBMG与△8F£>中，

NGMB=NBFD

<BF=BM

/GBM=/DBF

:♦△BMGQ4BFD(ASA),

:.GM=DF,GB=DB,

VMF+GA1=GF,

：・BF+DF=GF；

(3)如图3,设BD与GF交于点O,作点G关于OE的对称点G',连接"G',CG',

FG,作交CB的延长线于/,

:点G与点G'关于OE对称，

:.GF=GF,HG=HG',NDFG=/DFG=60。,

：.HG+HC=HC+HG'>CG',

即HG+HC的最小值为CG',

ZBFD+/OFG'=180°,

.•.点B,点尸，点G'三点共线，

'：GB=DB,ZGBD=60°,

.♦.△GOB是等边三角形，

：.GD=DB=GB,

：.DB=DG',

VZDBE=15°,NDEB=90。,

：.ZBDE=15°,

：.ZGDF=75°,

NGDF=NGDF=75。,

:.NBDG'=90。,

又,：DB=DG',

：.BG'=72BD=V2BC=AB=夜，

：NEB尸=30°,G71CB,

：.IG'=^BG'=—,=—,

222

:.CI=BC+BI=l+显,

2

-'-CG'=A/C/2+G72=J(l+^)2+|=,3+/，

：.HG+HC的最小值为，3+小.

【点睛】

本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性

质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关

键.

21.数学课上，李老师提出问题：如图1,在正方形A8C。中，点E是边3c的中点,

NAEf=90。，且E尸交正方形外角的平分线Cf于点凡求证：AE=EF.

经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路.取A8的中点”，连接HE,则为

等腰直角三角形，这时只需证AAHE与△£（7广全等即可.

在此基础上，同学们进行了进一步的探究：

（1）小颖提出：如图2,如果把“点E是边8c的中点”改为“点E是边8c上（不含点

B,O的任意一点”，其他条件不变，那么结论”E="1"仍然成立，你认为小颖的观

（2）小华提出：如图3,如果点£是边8c延长线上的任意一点，其他条件不变，那

么结论"AE=E『是否成立？____（填“是”或“否”）；

（3）小丽提出：如图4,在平面直角坐标系xOy中，点。与点B重合，正方形的边长

为1,当E为BC边上（不含点B,C）的某一点时，点F恰好落在直线y=-2x+3上，

请直接写出此时点E的坐标.

【答案】（1）正确，结论'NE=EF，仍然成立，证明过程见解析；（2）是；（3）点

0).

【分析】

(1)在AB上截取8”=BE,连接”E,由“4SA”可证△AHEgZ\ECF,继而根据全等三

角形的性质求得结论；

(2)在8A的延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE,由“ASA”可证△AHE冬AECF,

继而根据全等三角形的性质求得结论；

(3)在BA上截取8"=8E,连接”E,过点尸作轴于M,设点E(“，0),由

等腰直角三角形的性质可得HE=V2a,由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质

可得点尸坐标，代入解析式求得〃的值，即可求解.

【详解】

(1)仍然成立，

如图2,在A8上截取连接

图2

:四边形A8CD是正方形，

：.AB=BC,NABC=90°=NBCD,

：.ZDCF=45°,

：.ZECF=\35°,

,:BH=BE,AB=BC,

：.NBHE=NBEH=45°,AH=CE,

：.ZAHE=ZECF=135°,

"：AELEF,

：.乙4E8+/fEC=90。，

NAEB+NBAE=90。，

NFEC=ABAE,

：./XAHE^^ECF(ASA),

：.AE=EF；

(2)如图3,在BA的延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE.

图3

•；AB=BC,AN=CEf

:・BN=BE,

:./N=/FCE=45。,

・・•四边形ABC。是正方形，

C.AD//BE,

・・・NDAE=NBEA,

：./NAE=/CEF,

在△47£1和4ECF中，

"N=4FCE

<AN=CE,

ZNAE=/CEF

・・・△AN£^AECF(ASA)

：.AE=EFf

故答案是：是；

(3)如图4,在A4上截取连接狼，过点F作FMLx轴于M,

；・BE=a=BH,

:・HE=母。,

由(1)可得丝△ECF,

：.CF=HE=j2a,

TC/平分NOCM,

工ZDCF=ZFCM=45°,

VFM±CM,

；・NCFM=NFCM=45。,

CM=FM==a,

V2

BM=l+a,

•♦点尸（1+、,a）,

•:点尸恰好落在直线y=-2x+3上，

：.a=-2（1+。）+3,

.1

・・a=-,

3

.•.点E（；,0）.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质的应用，一

次函数的性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.

22.我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形.

（1）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形A8CD的四个顶点都在格点上，

请仅用无刻度的直尺分别在图1和图2的边AO上找出不同的点E,使得四边形4JCE

是一个直分四边形.

rr

iAi\DiAiiD

L--i--------

।

B।iCB'C

L

图2

（2）如图3,在直分四边形ABC。中，