带电粒子在交变电场中的运动

带电粒子在交变电场中的运动一、选择题（每小题5分，共25分）1.在两个平行金属板上加上如图2-7-1所示的电压，使原本静止在金属板中央的电子有可能振动，此时电压图像应为（设两板距离足够大）：（图2-7-1）2.一个电子原本静止在平行板电容器的中间，设两板距离足够大，在t=0时刻开始在两板间加上一个交变电压，使得电子在开始一段时间内的运动的v-t图线如图2-7-2（甲）所示，则该交变电压可能是图2-7-2（乙）中的哪些？（图2-7-2（甲））（图2-7-2（乙））3.一个匀强电场的电场强度随时间变化的图像如图2-7-3所示，其中有一个带电粒子在t=0时刻由静止释放，若带电粒子只受电场力的作用，则电场力的作用和带电粒子的运动情况是：（图2-7-3）A.带电粒子将向一个方向运动。B.在0~3秒内，电场力的冲量和功都相等。C.在3秒末，带电粒子回到原出发点。D.在2~4秒内，电场力的冲量和功不相等。4.一束电子射线以很大的恒定速度v射入平行板电容器的两极板间，入射位置与两极板等距离，v的方向与极板平面平行。现在在这个平行板电容器上加上交变电压U=Umsinωt，则射入的电子将在两极板间的某一区域内出现。图2-7-4中的各图以阴影区表示这一区域，其中肯定不对的是：（图2-7-4）5.图2-7-5中，A、B是一对中间开有小孔的平行金属板，两小孔的连线与金属板面相垂直，两极板的距离为l，两极板间加上低频交变电流。A板电势为零，B板电势U=Ucosωt，现有一电子在t=0时穿过A板上的小孔射入电场，设初速度和重力的影响均可忽略，则电子在两极板间可能：（图2-7-5）A.以AB间的某一点为平衡位置来回振动。B.时而向B板运动，时而向A板运动，但最后穿出B板。C.如果ω小于某个值ω，l小于某个值l，电子一直向B板运动，最后穿出B板。D.一直向B板运动，最后穿出B板，而不论ω、l为任何值。二、填空题（每小题6分，共12分）6.在图2—7—6中，两块平行金属板A、B相距d=50cm，加上U=100V的矩形交变电压。在t=0时刻，A板电压为正，此时有一带正电微粒，质量m=10-17kg，电量q=10-16C，从A板静止开始向B板运动。不考虑微粒重力，在t=0.04s时，微粒离A板的水平距离是多少？7.如图2—7—7所示，水平放置的平行金属板下板小孔处有一静止的带电微粒，质量m，电量-q，两板间距6mm，所加变化电场如图所示。若微粒所受电场力大小是其重力的2倍，要使它能到达上极板，则交变电场周期T至少为多少？8.在图2—7—8中，N个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶沿轴线排成一串，各筒和靶相间的接到频率为f，最大电压为U的正弦交流电源的两端。整个装置放在真空容器中，圆筒的两底面中心开有小孔，有一质量为m，带电量为q的正离子沿轴线射入圆筒，并将在圆筒间及圆筒与靶间的缝隙处受到电场力的作用而加速。已知离子进入第一个圆筒左端的速度为v1，且此时第一、二两个圆筒间的电势差φ1-φ2=-φ。为使打到靶上的离子获得最大能量，各个圆筒的长度应满足什么条件？并求出在这种情况下打到靶上的离子动能。9.如图2—7—9所示，有一个平行板电容器，板长l=0.1m，板距d=0.02m。板间电压如图所示，电子以v=1×107m/s的速度，从两板中央与两板平行的方向射入两板间的匀强电场。为使电子从板边缘平行于板的方向射出，电子应从什么时刻打入板间？并求此交变电压的频率。（电子质量m=9.1×10-31kg，电量e=1.6×10-19C）10.在图2—7—10中，A、B为两块距离很近的平行金属板，板中央均有小孔。一电子以初动能Ek0=120eV，从A板上的小孔O不断地垂直于板射入A、B之间，在B板的右侧，偏转板M、N组成一匀强电场，板长L=2×10-2m，板间距离d=4×10-3m；偏转板加电压为U2=20V。现在A、B间加一个如图所示的变化电压U1，在t=2s时间内，A板电势高于B板。求在U1随时间变化的第一周期内，电子通过B板的位置。示波器是一种多功能电学仪器，可以在荧光屏上显示被检测的电压波形。其工作原理等效于图2-7-11所示。在真空室中，电极K发射电子，经过电压为U1的加速电场后，由小孔S沿水平金属板进入A、B板中间。A、B板相距d，长度为L。在每个电子通过极板的极短时间内，电场视作恒定的。在两极板右侧且与极板右端相距D处有一个与两板中心线垂直的荧光屏，中心线正好与屏上坐标原点相交。当第一个电子到达坐标原点O时，使屏以速度v沿-x方向运动，每经过一定的时间后，在一个极短时间内它又跳回到初始位置，然后重新做同样的匀速运动。已知电子的质量为m，带电量为e，不计电子重力。求以下内容：1.电子进入AB板时的初速度；2.要使所有的电子都能打在荧光屏上，图乙中电压的最大值U需满足什么条件？3.要使荧光屏上始终显示一个完整的波形，荧光屏必须每隔多长时间回到初始位置？计算这个波形的最大峰值和长度。在如图2-7-11丙所示的x-y坐标系中画出这个波形。解答：1.电子进入AB板时的初速度为0，因为题目中已经说明“初速不计”。2.为了使所有的电子都能打在荧光屏上，需要满足以下条件：电子从A、B板间射出的最高点（即电压最低点）能够到达荧光屏，即电子在板间出现的区域边界应为开口沿纵坐标方向的抛物线。电子从A、B板间射出的最高点到达荧光屏的时间应小于一个周期T，否则电子将无法打在荧光屏上。因此，我们可以先求出电子从A、B板间射出的最高点的坐标（x0，y0），然后根据电子在竖直方向上的运动轨迹，求出电子从A、B板间射出的最高点到达荧光屏的时间t0。最后，根据t0和周期T的关系，可以得到U的最大值。具体计算过程如下：电子从A、B板间射出的最高点的坐标为(x0，y0)，其中x0=0，y0=eU1/(md^2)。电子在竖直方向上的运动轨迹符合方程y=-(eU1/(2md^2))x^2，其中x轴正向为初速度v方向，y轴的正方向垂直于初速度v向上或向下。电子从A、B板间射出的最高点到达荧光屏的时间为t0=2D/v，其中D为荧光屏与AB板间的距离，v为电子在竖直方向上的速度。根据周期T和t0的关系，可以得到U的最大值为Umax=(md^2v^2)/(2eT)。3.要使荧光屏上始终显示一个完整的波形，荧光屏必须每隔一个周期T回到初始位置。此时，波形的最大峰值为eU1/(md^2)，长度为L。在如图2-7-11丙所示的x-y坐标系中，波形的形状为正弦波，峰值为eU1/(md^2)，长度为L。联立得L=1/2fv+2qU(n-1)/mEkn=1/2mvn^2=mv1^2/2+(n-1)qU令n=N，则得到打到靶上离子的最大动能mvN^2=mv1^2/2+(N-1)qU电子水平方向匀速直线运动，竖直方向做变加速运动。为了使电子从板边平行于板方向飞出，要求电子在离开板时竖直方向分速度为0，并且电子在竖直方向应做单向直线运动向极板靠近。此时电子水平方向（x方向）和竖直方向（y方向）的速度图线分别如图所示。电子需要在t=nT（n=0,1，2，…）时刻射入板间，且穿越电场时间t=kT（k=1,2…）。因此，电子的水平位移为l=vt，竖直位移为11eUT2()·2kd/22md2。三式联立得到T=2.5×10^-9s，k=4，因此f=1/T=4×10^8Hz，且k=4。(1)0~2秒内，电子能从O′射出，动能必须足够大，由功能关系得U1e＜Ek0，因此U1＜120V。因此，当t＜0.6或t＞1.4时，粒子可由B板小孔O′射出。(2)电子进入偏转极板时的水平速度为v，在通过偏转电极时，侧向偏移是y，因此能从偏转电场右侧飞出的条件是y＜mv^2/2d^2。代入数字得到U2＞250eV，即AB间必须有130V的加速电压。因此，当2.65秒＜t＜3.35秒时，电子能从偏转电场右侧飞出，如图所示。(1)电子在加速电场中运动，根据动能定理，有eU1=mv1^2/2，因此v1=√(2eU1/m)。(2)因为每个电子在板A、B间运动时，电场均匀、恒定，所以电子在板A、B间做类平抛运动，在两板之外做匀速直线运动打在屏上。在板A、B间沿水平方向运动时，有L=v1t，竖直方向，有y′=eUat/2md，且a=eU/dmd。联立解得y′=eUL