2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期中数学试

卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(4分)已知集合A={1,2,3,4),B=[2,5,6.7},则AAB=()

A.{0,2}B.{2}C.{-2,0,2}D.{-2,2}

2.(4分)已知命题p：“船>0,使得/-x-2>0”，则命题p的否定是()

A.VxWO,总有7-x-2>0B.Vx>0,总有/-X-2W0

C.3x>0,使得f-x-2<0D.3x^0,使得--x-2>0

3.(4分)“三角形为等边三角形”是“三角形为等腰三角形”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（4分）下列函数中表示同一函数的是（）

A•产V7与y=(GB.f(x)=7+1与g(r)=a+1

C.,=-1与D->=Y(x-3)2与产XT

Xlx

5.（4分）若〃，b,c为实数，且。<》V0,则（）

A.ac^^hc2B.—<^0C.ac<bc<0D.0<〃2<户

ab

6.（4分）函数f（x）='中，有（）

x+1

A./（x）在（-1,+8）上单调递增

B.7（x）在（1,+8）上单调递减

C.f（x）在（1,+8）上单调递增

D./G）在（-1,+8）上单调递减

7.（4分）若正数x,y满足工金=1,则x+2y的最小值为（）

xy

A.处B.毁C.25D.27

55

8.（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足：在工40,+8）上单调递减，则满足f（2x-1）

</（1）的x的取值范围是（）

A.(-1,0)B.(1,+8)U(-oo,0)

C.(-8,0)D.(0,1)

9.(4分)已知集合/1=3a?-2%+4=0}中至多含有一个元素，则实数。的取值范围()

A.[-1,1]B.[1,+8)U(-8,-1]

C.[-1,IJU{0}D.[1,+8)U(-oo,-1JU{0}

10.(4分)函数f(x)对任意x€R,都有f(x)=/(x+12),y=f(x-1)的图形关于(1,

0)对称，且/(8)=1,则/(2020)=()

A.1B.-1C.0D.2

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。

11.(6分)函数f(x+i)=Y运的定义域为,/(x)的表达式

x+1

为.

x2+l,1

12.(6分)设函数f(x)=1o，则/(I)=____，f(/(3))=_____.

—,x>l

X

13.(6分)函数f(x)=xJ的奇偶性是，在[1，+8)上的单调性是.

X

14.(6分)已知函数/(x)--tzx3-bx+3a+b(a,Z?GR)的图象关于原点对称，若它的定

义域为2a],那么a=,b=

-x2-ax-5,(x41)

15.(4分)已知函数f(x)=<是R上的增函数，则a的取值范围

且(X>1)

X

是.

16.(4分)给定下列四个命题：其中为假命题的有.(填上假命题的序号)

(1)x>0,记M=x+Z,则M22；

(2)如果函数/(x)为偶函数，那么一定有/(X)=/(㈤)；

(3)函数f(x)的最大值为」上；

4

(4)命题p：工>0的否定为上W0.

XX

17.(4分)若正数a,b满足a+b=l,则的最小值为.

3a+23b+2

三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤。

18.(14分)集合A={R|-1Wx<3},5={x|xV-3或x>l},D={x\m^x^tn+6].

(1)求CR5及AA&

(2)若BUD=R,求实数机的取值范围.

19.(15分)(1)已知求函数y=4x-2+―--的最小值;

44x-5

(2)当0VxV4时，求y=x(8-2x)的最大值.

(15分)已知函数f(x)=xE(k〉0).

20.

X

(1)判断/(x)的奇偶性；

(2)当左=2时，用函数单调性定义证明/(x)在(0,2]上单调递减.

2

21.(15分)已知函数/(x)=：工+乙x+a,xG[l,+°°).

x

(1)当。=1•时，求函数f(X)的最小值；

2

(2)若对任意工日1,+8),y(x)>0恒成立，试求实数。的取值范围.

22.(15分)设函数/(x)=/+2办+2-〃，(尤R).

(1)当a=\时，解关于x的不等式/(x)>(1-«)J?-a+5；

(2)若九41,2],使得/(x)>0成立，求。的取值范围.

2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期中数学试

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参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（4分）已知集合4={1,2,3,4},8={2,5,6,7},则4nB=（）

A.{0,2}B.{2}C.{-2,0,2}D.{-2,2}

【解答】解：•集合A={1,2,3,4},B={2,5,6,7）,

；.408={2}.

故选:B.

2.（4分）已知命题p：a3x>0,使得f-x-2>0”，则命题p的否定是（）

A.VxWO,总有--x-2>0B.Vx>0,总有/-x-2<0

C.3x>0,使得/-x-2W0D.3x<0,使得/-x-2>0

【解答】解：因为命题为特称命题，所以命题p的否定为全称命题，

即命题?的否定为：“Vx>0,总有X2-X-2W0”，

故选：B.

3.（4分）“三角形为等边三角形”是“三角形为等腰三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：三角形为等边三角形=三角形为等腰三角形，反之不一定成立.

“三角形为等边三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，

故选：A.

4.（4分）下列函数中表示同一函数的是（）

A.尸77^与y=（y）4B.f（x）=,+1与g（t）=P+1

c.>=工与D.y=J2与尸尸3

XlxIvx7

【解答】解：选项4：函数y=］的定义域为R,函数y=（垢）4的定义域为［0,+

8）,故不是同一函数,

选项公函数/（X）与g（r）的关系式相同，定义域相同，故是同一函数，

选项C：因为xWO,则yWO,函数>=丁工丁，x卉0，则y>0,故不是同一函数,

选项。：因为）=9（X-3）2=|X-3|》6而y=x-3ER,故不是同一函数，

故选：B.

5.（4分）若〃，b,c为实数，且aVbVO,则（）

A.a（^Wb&B._L<工<0C.ac<bc<0D.0V〃2Vb2

ab

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,。220,必有〃02<从*2,A正确；

对于5,a<b<0,则-L>0,则有工VJLVO,B错误；

abba

对于C,cVO时，有〃c>反>0,C错误；

对于。，a<b<0,则有0〈廿V〃2,拉错误；

故选：A.

6.（4分）函数£&）=,中，有（）

x+1

A.f（x）在（-1,+8）上单调递增

B.f（x）在（1,+°°）上单调递减

C./（x）在（1,+8）上单调递增

D.f（x）在（-1,+8）上单调递减

【解答】解：函数y=工的图象向左平移1个单位可得函数y=」一的图象,

Xx+1

因为函数丫=工在（-8,0）和（0,+°°）上单调递减，

x

则函数y=—在（-8,-1）和（-1,4-oo）上单调递减.

x+1

故选：D.

7.（4分）若正数x,y满足上遥=1,则x+2），的最小值为（）

xy

A.皇B.毁C.25D.27

55

【解答】解：•.•正数X,y满足工41=1,

xy

，x+2y=(x+2y)(A+J.)=1+16+互+丝W17+2X2.：F~*=25,当且仅当y=2x=

xyxy

10时取等号.

故选：c.

8.(4分)定义在R上的偶函数/(x)满足：在x6[0,+8)上单调递减，则满足了(2x-l)

</(1)的x的取值范围是()

A.(-1,0)B,(1,+8)U(-8,0)

C.(-8,0)D.(0,1)

【解答】解：因为/(X)是偶函数，且/(X)在)日0,+8)上单调递减，

所以不等式/(2X-1)</(1)等价于F(|2x-1|)</(1),

BP|2x-1|>1,解得x<0或x>l,

所以满足/(2x-1)</(1)的x的取值范围是(1,+8)U(-8,0).

故选：B.

9.(4分)已知集合A={x|or2-2x+a=0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围()

A.[-1,1JB.11,+<«)U(-oo,-1J

C.[-1,1]U{0}D.[1,+8)U(-8,-l]U{0}

【解答】解：对于方程ar2-2x+a=0至多只有一个根，

当a=0时，方程为-2x=0,解得x=0,此时方程只有一个实数根，符合题意：

当“W0时，△=4-442・0,解得或“21.

综上所述，实数a的取值范围为(-8,-iju[l,+co)u{0}.

故选：D.

10.(4分)函数/(x)对任意X6R,都有/(X)=/(x+12),y=/(x-l)的图形关于(1,

0)对称，且/(8)=1,则/(2020)=()

A.1B.-IC.0D.2

【解答】解：因为函数/(x)对任意xCR,都有/(x)=/(x+12),

所以函数/(x)的周期为T=12,

将y=f(x-l)的图形向左平移1个单位可得y=/(x)的图象，

又y=f(x-1)的图形关于(1,0)对称，

所以y=/(x)的图象关于点(0,0)对称，

故/(x)为R上的奇函数，

所以/(2020)=7(168X12+4)=/(4)=/(4-12)=/(-8)=-/(8)=-1.

故选：B.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。

11.(6分)函数f(x+l)='运的定义域为I，-1)U(-1,+8),/(%)的表

x+1

达式为_f(x)俎-1，。)U(0,+8).

X

【解答】解：因为函数f(X+D='运，

x+1

x+2>°,解得Q-2且丘-1,

则

x+1卢0

故函数f(x+l)='运的定义域为[-2,-1)u(-1,

+°°)；

x+1

令尸犬+1,则且尼[7,0)U(0,+8),

所以/(力=2511,Z6[-1,0)U(0,+8),

t

则f(x)的表达式为f6)=立五，xG[-1,0)U(0,+8).

X

故答案为：1-2,-1)U(-1,+8)；f(x)=£Zl,xe[-1,0)u(0,+8).

x2+l,x<1

12.(6分)设函数f(x)=|o,则f(1)=2,/(/(3))=_卫

—,x>l'-9-

【解答】解：由已知可得/(I)=—+1=2,

f(3)=2,所以F(f(3))=/(2)=(2)2+13+1W,

33399

故答案为：2；

9

13.(6分)函数fG)=x」的奇偶性是奇函数，在口，+8)上的单调性是增函数.

X

【解答】解：定义域为(-8,0)U(0,+8),

,:f(-X)=-元--=-(x+A)=-f(x),

XX

・•・函数f(X)为奇函数，

，-.11X-X1

任取X1>X221，则/(JH)-f(X2)=(X1+--)-(A2+---)=(XI-X2)+--9-----=

X1X2X1X2

(XI-X2)(1-——--),

xlx2

X\>X2^\y

：.x\-X2>O,1---->0,

xlx2

：.f(xi)-f(%2)>0,即/(无)在[1,+8)上单调递增.

故答案为：奇函数；增函数.

14.(6分)已知函数/(X)=-ar3-bx+Sa+b(a,beR)的图象关于原点对称，若它的定

义域为[a-1,2a],那么a=_A._,b=-1.

【解答】解：根据题意，函数/(x)=-ax3-bx+3a+b(a,bER)的图象关于原点对称,

即/(x)为奇函数，

若它的定义域为[a-1,2a],则有(a-1)+2a=0,解可得"=」,

3

3

贝ljf(x)=--kr-bx+\+h,/(-JC)=^)?+bx+\+h,

33

则有/(-x)+f(x)=2+26=0,解可得b=-1,

故答案为：—,-I.

3

’2

-x-ax-5,(x41)

15.(4分)已知函数f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是f-

且(X>1)

X

3,-21.

【解答】解：要使函数在R上为增函数，须有f(x)在(-8,1]上递增，在(1,+8)

上递增，

且-F-aX1-54申'

号>1

所以有<a<0,解得-3WaW-2,

_F-aX]_54申

故。的取值范围为[-3,-2].

故答案为：[-3,-2].

16.(4分)给定下列四个命题：其中为假命题的有⑴⑵⑷.(填上假命题的序

号)

(1)x>0,记M=X+2,则M》2；

X

(2)如果函数/(x)为偶函数，那么一定有/(%)=/(|x|)；

(3)函数/(x)=x+5/4W的最大值为二L；

4

(4)命题p：1>0的否定为JLWO.

XX

【解答】解：对于(1)x>0,记M=X+Z>2叮，当且仅当X=加时，等号成立，故

X

(1)错误；

对于(2),函数/G)为偶函数，那么一定有/G)=/(R),例：f(x)=?-1,就不

满足，故(2)错误；

对于(3)函数/(x)=x+y/4-x»(kW4),

令44-x=t(t>0),

所以x=4-p,故g⑺=4-t2+t=-(t总)2+由于后0，

所以g(t)max4,故(3)正确；

对于(4),命题p：工>0的否定为工V0,故(4)错误.

XX

故答案为：(1)(2)(4).

17.(4分)若正数a,b满足a+6=l,则」_的最小值为_匹_.

3a+23b+27

【解答】解：・.•正数a,b满足q+b=l,J(3a+2)+(36+2)=7.

二2十三二J[(3a+2)+(3b+2)]©^小丁)

oa+Zob+ZfSa+Nob+Z

=L(2辿2/^2)>1(2+23匡2・.+2)=生当且仅当.=6=工时取等号.

7"3a+23b+2)^7U丫3a+23b+272

；L+」「的最小值为2.

3a+23b+27

故答案为：A.

7

三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤。

18.(14分)集合。={x|-IWx忘3},8={x|xV-3或x>1},D={x\mm+6}.

(1)求CR8及AC8；

(2)若8UO=R,求实数机的取值范围.

【解答】解：(1)•••集合A={x|-lWx<3},8={如<-3或尤>1},

•••CRB={X|-34W1},

；.AnB={x[l<xW3}；

(2)：8={小<-3或x>l},O={x|/WxW机+6},BUD=R,

—2

•二，解得-5〈mV-3.

m+6>1

，实数机的取值范围是(-5,-3).

19.(15分)(1)已知求函数y=4x-2+―--的最小值；

44x-5

(2)当0VxV4时，求y=x(8-2x)的最大值.

【解答】解：(1)・.,1>互，A4x-5>0,工函数y=4x-2+-^=4x-5+-J^+32

44x-54x-5

2鼠-5).^^+3=5,当且仅当x=3时取等号，

V'4x-52

二函数y=4x-2+—L的最小值为5.

4x-5

(2)当0«4时，可得y=x(8-2x)=2x(4-x)(凶三)2=8,当且仅当不

=2时取等号，

・・.y=x(8-2x)的最大值为8・

20.(15分)已知函数f(x)=xE(k>0)-

X

(1)判断/(x)的奇偶性；

(2)当％=2时，用函数单调性定义证明/(外在(0,2］上单调递减.

【解答】(1)解：函数的定义域为(-8,0)U(0,+8),

,2

■:于(-X)=-X-工-=-