相似三角形的九大模型

相似三角形的九大模型1.在三角形ABC中，已知AF:FB=2:3，BC=2CD，求AE的值。2.在三角形ABC中，CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在三角形ABC上，证明：111+EF^2=AB^2+BC^2+AC^2。3.在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，且EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，则四边形EFGH的周长是10。4.在三角形ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且BE=3AE，求BC的值。5.在三角形ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且∠ADE=∠ACB。证明：AD×AB=AE×AC。如果三角形ABC的面积为m，DE=3，BC=5，求三角形ADE的面积。6.在三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF×DF=BF×CF。证明：AD×AB=AE×AC。当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与△ADE的面积。7.将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D，折痕为EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长度是2/7。8.将三角形ABC纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF。已知AB=AC=6，BC=8。求△ABC的周长。若以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长。9.在三角形ABC中，AB=6，BC=8。点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止。设运动时间为t秒，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值。10.在锐角三角形ABC中，AG⊥BC于点G，点D、E分别在边AC、AB上，AF⊥DE于点F，且∠EAF=∠GAC。证明：△ADE∽△ABC。若AD=3，AB=5，求AF/AG的值。11.在图中，E是四边形ABCD的边BA延长线上的一点，连接EC，交AD于点F。不添加辅助线的情况下，相似三角形有三对：△EFC和△ADB、△ECB和△FDC、△EAB和△ECF。我们来证明△EAB和△ECF相似。由AE∥CF可得∠EAB=∠ECF，又因为ABCD是平行四边形，所以∠EBA=∠FCE，因此△EAB∽△ECF。12.在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F。过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有4对。它们分别是△EGB和△ADC、△EGC和△ABC、△EBG和△DAC、△ECG和△DAB。13.已知DE∥AB，且OA²=OC×OE，要证明AD∥BC。14.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置。已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m。15.在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，AE=CF，并延长，分别交AB、BC于点G、H，连接GH。则△ADG和△BGH的面积比为1:2。16.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF:FC=1:2。17.在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为2。18.直线a∥b，AF:FB=3:5，BC:CD=3:1，则AE:EC=5:12。19.在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上的一点，CE分别与AD，BD交于点G，F。下列结论：①EG:GC=AG:GD；②EF:FB=CF:FD；③EG:GF=AG:CF；④CF²=GF×EF。其中正确的个数是3。20.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形。若OA:OC=OB:OD，则下列结论中一定正确的是①与③相似。21.AB∥CD，如图，线段BC，点E是线段AF上的一点，且满足∠BEF=∠C，AD相交于点F，其中AF=9，DF=3，CF=2，则AE=5。CD22．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，AD与BE相交于点F。证明：（1）DE/CD=EA/AC；（2）△BCE∽△ADM；（3）猜想AM与BE的位置关系，并说明理由。23．CD，点D为Rt△ABC的斜边AB上一点，点E在AC上，连接DE，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD交DE的延长线于点F，连接AF。（1）若AC=BC，证明AF⊥AB；（2）若AC≠BC，当点D在AB上运动时，证明AF⊥AB。模型五：共边共角型24．在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）。A．2B．4C．6D．825．已知：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F。证明：（1）FD2=FB×FC；（2）AB2:AC2=BF:CF。26．在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a>b）。在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE。则EF等于（）。A．b3/2aB．a3/2bC．b4/3aD．3b/a427．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB。其中相似的为（）。A．①④B．①②C．②③④D．①②③28．点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F。（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由。（2）猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么关系？并说明理由。模型六：射影定理29．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列等式中错误的是（）。A．AD×BD=CD2B．AC×BD=CB×ADC．AC2=AD×ABD．AB2=AC2+BC230．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。（1）证明：CD2=AD×DB；（2）证明：CB2=DB×AB。31.在直角三角形ABC中，∠CAB=90°，∠B=30°，AD⊥CB于点D，CD=3，求CB的长度。32.在直角三角形ABC中，∠ADC=∠ACB=90°，∠ACD=∠B，AC=5，AB=6，求AD的长度。33.在直角三角形ABC中，CD为斜边AB上的高，AC=3，AB=6，求BD的长度。34.在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，证明：BC^3/BF=AC^3/AE。35.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，D在AB延长线上，且∠DCB=∠A，BD:CD=1:2，AE=45/5，求△BCD的面积。36.在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC。点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF。给出以下四个结论：①AG/FG=AB/FB；②点F是GE的中点；③AF=2/3AB；④△ABC的面积=5/△BDF的面积，其中正确的结论序号是2、3、4。37.在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF。设AB=k，结论（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当AD=k时，△ABE∽△ADF，其中结论（1）（2）（3）都正确。38.一个长方形ABCD长为8cm，E为边CD上的一点，现把直角三角形ADE沿AE对折使得D点恰好落在边BC上的中点D'处。（1）Rt△ABD'与Rt△ECD'相似；（2）CE的长度为6cm。39.（1）如图1，E在直线l上，已知AB⊥l，DE⊥l，垂足分别为B、C，且∠ACD=90°，求证：△ABC∽△CED；（2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5√5，求BD的长度。40.在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=2，BC=3，CD=5√5，点P在线段AB上。若△PCD是以点P为直角顶点的直角三角形，则AP=3。41.在△ABC中，AB=AC=8，D为BC上一点，BD=3，∠ADE=∠B=30°，求AE的长度。42.如图，D是等边$\triangleABC$边AB上的一点，且$AD:DB=1:2$，现将$\triangleABC$折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则$\frac{CE}{CF}=$（）A．$\frac{3}{4}$B．$\frac{4}{5}$C．$\frac{5}{6}$D．$\frac{6}{7}$解析：将$\triangleABC$折叠后，$\triangleBCF$与$\triangleACF$重合，$\triangleBCD$与$\triangleACD$重合，$\triangleADE$与$\triangleBDF$重合，如图所示。因为$\triangleADE$与$\triangleBDF$是全等的，所以$DE=DF$，又因为$AD:DB=1:2$，所以$AE:EC=1:2$，$BF:FC=1:2$，所以$CE:CF=3:4$，选A。43.如图，$\triangleABC$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=1$，已知：点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），$\angleADE=45^\circ$。(1)求证：$\triangleABD\sim\triangleDCE$；(2)设$BD=x$，$AE=y$，求$y$关于$x$的函数关系式；(3)当$\triangleADE$是等腰三角形时，求$AE$的长。解析：如图所示。(1)因为$\angleABD=\angleDCE$，$\angleADB=\angleCED$，所以$\triangleABD\sim\triangleDCE$。(2)根据$\triangleABD\sim\triangleDCE$可得$\frac{BD}{AD}=\frac{CE}{ED}$，即$\frac{x}{y+x}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得$y=\sqrt{2}x-x$。(3)当$\triangleADE$是等腰三角形时，有$AE=AD=\frac{\sqrt{2}}{2}$。44.如图，四边形ABCD中，$AD\parallelBC$，$AB=DC=3$，$AD=3$，$BC=7$，$\angleB=60^\circ$，连接AP，过P点作PE交DC于E，使得P为BC边上一点（不与B，C重合），$\angleAPE=\angleB$。(1)求证：$\triangleABP\sim\trianglePCE$；(2)求AB的长；(3)在边BC上是否存在一点P，使得$DE:EC=5:3$？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。解析：如图所示。(1)因为$\angleABP=\anglePCE$，$\angleBAP=\angleCEP$，所以$\triangleABP\sim\trianglePCE$。(2)由$\triangleABP\sim\trianglePCE$可得$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{PE}$，即$\frac{3}{7}=\frac{BP}{PE}$，又由$\triangleAEP\sim\triangleABC$可得$\frac{PE}{AC}=\frac{BP}{AB}$，即$PE=\frac{7}{3}BP$，代入$\frac{3}{7}=\frac{BP}{PE}$中解得$BP=1$，所以$AB=3BP=3$。(3)设$BP=x$，则由$\triangleAEP\sim\triangleABC$可得$\frac{AC}{AB}=\frac{EP}{BC-x}$，即$\frac{3}{3}=\frac{EP}{7-x}$，所以$EP=\frac{7}{3}-\frac{1}{3}x$，又由$\trianglePDE\sim\trianglePCE$可得$\frac{DE}{CE}=\frac{EP}{PC}$，即$\frac{5}{3}=\frac{\frac{7}{3}-\frac{1}{3}x}{7-x}$，解得$x=\frac{7}{3}$，所以不存在这样的点P。45.如图，M为线段AB上一点，AE与BD交于点C，$\angleDME=\angleA=\angleB=\alpha$，且DM交AE于点F，ME交BD于点G。(1)写出图中的三对相似三角形；(2)连接FG，当AM=MB时，求证：$\triangleMFG\sim\triangleBMG$；(3)在(2)条件下，若$\alpha=45^\circ$，$AB=42$，$AF=3$，求FG的长。解析：如图所示。(1)$\triangleAFE\sim\triangleBDE$，$\triangleDME\sim\triangleBMA$，$\triangleMGE\sim\triangleCGB$。(2)因为$AM=MB$，所以$AC=CB$，又因为$\triangleAFE\sim\triangleBDE$，所以$\frac{AF}{BD}=\frac{AE}{BE}$，即$AE=BE$，所以$AG=BG$，又因为$\triangleDME\sim\triangleBMA$，所以$\frac{ME}{MA}=\frac{DE}{BA}$，即$ME=MB\times\frac{DE}{BA}$，所以$MG=MB\times\frac{GE}{BG}=MB\times\frac{CE}{CB}$，又因为$\triangleMGE\sim\triangleCGB$，所以$\frac{MG}{CG}=\frac{GE}{GB}$，即$\frac{MB}{CG}=\frac{DE}{BA}$，所以$\frac{MB}{CG}=\frac{ME}{MA}$，即$\triangleMFG\sim\triangleBMG$。(3)由$\triangleAFE\sim\triangleBDE$可得$\frac{AF}{BD}=\frac{FE}{DE}$，即$\frac{3}{42}=\frac{FE}{DE}$，所以$FE=\frac{1}{14}DE$，又由$\triangleMGE\sim\triangleCGB$可得$\frac{GE}{GB}=\frac{ME}{MC}$，即$\frac{GE}{GB}=\frac{MB\times\frac{DE}{BA}}{CG}$，所以$GE=\frac{1}{2}DE$，所以$FG=FE+GE=\frac{3}{14}DE$，又因为$\triangleADE$是等腰直角三角形，所以$DE=AB\sqrt{2}/2=21\sqrt{2}$，所以$FG=9\sqrt{2}$。50.如图，点A在线段BD上。在BD的同侧作30度角的直角三角形ABC和30度角的直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M，连接PA。下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP×MD=MA×ME；③图中有5对相似三角形；④AP⊥CD。其中结论正确的个数是（）。答案：B。正确的结论有两个。51.如图，△ABC为等腰直角三角形，BAC=90度，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线