结构动力学讲义六

第四章

自振频率和振型的实用计算8/26/20231§4.1能量法求第一频率-Rayleigh法

此外，根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：

0＋Umax=Tmax＋0

根据能量守恒和转化定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T和应变能U之和应等于常数。U＋T＝C（常数）8/26/20232求Umax，Tmax

求频率

如梁上还有中质量mi

Yi是集中质量mi处的位移幅值.8/26/20233设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：1、必须满足运动边界条件:（铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0）

尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第n主振型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。8/26/202343、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。4、通常可取结构在某个静荷载q(x)（如自重）作用下的弹性曲线作为Y(x)的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q(x)所作的功来代替，即8/26/202352）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x).例4-1试求等截面简支梁的第一频率。1）假设位移形状函数为抛物线，lyx满足边条且与第一振型相近3）假设.正是第一振型的精确解。精确解8/26/20236xh0l例4-2求楔形悬臂梁的自振频率。设梁截面宽度为，高度h=h0x/l。解：设位移形状函数满足：Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，就是迫使梁按照这种假设的形状振动，这就相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。8/26/20237集中剪质量包法：在麻计算赚无限食自由棍度体婆系的高自振代频率隆时，煎可以贡用若炸干个高集中滚质量员来代营替连冲续分料布的抽质量更。关谎于质复量的艇集中茅方法限有多倘种，之最简壮单的锁是静偶力等腔效的比集中虏质量球法。等效祝原则：使听集中捏后的堆重力翁与原蔑来的识重力利互为扛静力盐等效携，即遣两者裁的合盛力相以等。作法：将杆君分为挑若干牙段，谦将每非段质号量集眨中于营其质裁心或炉集中浆于两败端。该法爷即可厅求基誓频，脖也可而求较荷高频附率。言使用胀各类俩结构市。集中资质量指的数擦目越总多结胞果越铃精确沉，但翅工作眉量也姐就越获大。§4拔.2集中偏质量捕法7/塌6/躬20居238l例4-边3l/3l/3(－0.克7%）l/3l/3l/3l/3l/3l/3l/3(－0.挺1%）(－3.宜1%）(－0.旗05香%）(－4.晨8%）(－0.灯7%）7/播6/协20勿239对于论对称崇刚架绢，可欧分别未用不同册的集伤中质扭量方蛮案求熄出对称振智动和耻反对撑称振越动的奸自振频率着。2ll最小阻频率滑对应着反备对称奔振型P=1P=1llEI4EI7/堤6/浩20挪2310