结构动力学第六章多自由度系统振动

第六章多自由度系统振动(一)§6-1用刚度法与柔度法列运动微分方程1．刚度法

图示简支梁，刚度系数kij定义为：使质量mj的位移xj＝1而其余质量位移xi＝0(i≠j)时在xi处所需要（施加）的力。一般情况下，若各质量均有位移x1、x2、...、xn，则在xi处所需力的总和为：设每一质量mi上作用的外力为Fi(t)，对每一质量运用牛顿第二定律，可得运动微分方程：用矩阵符号可写成：〈例〉求图示五自由度系统的刚度矩阵。解：首先用力使m1产生单位位移，并用力使其余质量不动，则需要给m1的力为k1与k2的弹性力和，即k11＝k1+k2。此时m2需加力为k2，沿x的负方向，即k21＝-k2，其余质量不必施加任何力，即k31＝k41＝k51＝0。用类似方法可得其余刚度系数，于是有：利用功的互等原理可知，刚度矩阵是对称阵，即有kij＝kji，于是上述刚度矩阵为：⒉柔度法柔度系数aij定义为：在第j个质量上作用单位力时在第i个质量上产生的位移。于是：若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产生的位移将是aij*F；

若在第j个质量上作用的是惯性力，方向与坐标相反，则在第i个质量上产生的位移将是；若所有质量都有惯性力，则：若所有质量都有惯性力，则：写成矩阵形式为：或写成：在刚降度矩拒阵[K真]非奇总异条压件下蕉，柔板度矩胃阵[A趋]与刚急度矩统阵[K撑]存在销如下源的互吧逆关铸系：与刚常度矩倾阵类肥似，稻有aij＝aji。〈例〉求图给示三秋自由衡度简剥支梁可柔度饿矩阵毙。已畏知梁波的EI、L。解：伪利用版简支乘梁在艳单位窃集中焦力作网用下僵的挠卫度公侦式其他取柔度纷影响征系数么：mm2mPL柔度烘矩阵园为：问题末：[A钟]中元纳素是尿否一煤定为醉正？〈例〉求图良示三央自由兰度系毁统的冬刚度课矩阵逢和柔消度矩叠阵。解：易闹得刚心度矩间阵为霸：m1上加钉单位致力，永各质笔量的访位移昨分别槐为：m2上加吸单位蝴力，哭各质衬量的热位移啄分别掉为：〈例〉求图殃示三揪自由柄度系柜统的著刚度廊矩阵肤和柔世度矩堂阵。m3上加士单位甲力，累各质丽量的短位移扔分别叹为：柔度摸矩阵魄为：〈例〉求图香示三摇自由劲度系穗统的勿刚度左矩阵勉和柔掠度矩胜阵。对弹税性系交统来登说，途总存符在刚铲度矩搬阵，锁但不撞一定赴存在粒柔度菌矩阵须，当须系统雷中存丹在刚灾体位抽移（叠模态洽）时前，就贸是这垂种情究况，羽此时飞，刚页度矩虏阵是厘奇异扮的，胸矩阵以行列怨式等当于零检，因胜而不悟存在识逆矩扮阵。如本独例中粒的k1=0拉格牵朗日范方程想在建献立多举度系部统动冤力学俯微分怕方程袜时是灾非常朽有效核的。设广私义坐扁标qj，则皂拉格歌朗日惑方程绪可表送为：§6偶-2用拉肝格朗让日方巡寿程列致振动诉微分顷方程式中宫：Qj为对雕应于朽广义柄坐标博qj的广亩义力的。对于记保守次系统戴，L聚＝T辛－U坛，有(T为系炊统动撕能，U为势移能，L称为患拉氏馒函数)〈例〉求图哑示三叼自由炼度系兴统的提运动房诚微分懂方程片。解：浇系统历动能舍为：势能鸽为：拉氏辱函数：〈例〉求图惹示三馆自由己度系阿统的笑运动轻微分密方程截。同样随可以林求出衔另外浆两个棋微分璃方程期：〈例〉求图评示两炕自由幕度系寄统的镰运动泊微分特方程钳。解：质量m的位启置坐血标为系统批动能怪为：一般领来说最，拉腐格朗迷日方雪程对犹于刚岂度矩涛阵或鱼柔度伶矩阵湖不易脸求出设的振身动系班统更诊能显绳示其竖优越限性。LmMkxφx系统势能皮为：φx系统拉氏敢函数滴为：φx邹经撇湘老热师书P5膀2“动能T与广颠义坐买标无左关(因质技量是个常数)”说法邮是存圣疑的办。在上制一章墙，我耳们已污讨论梯了二纳自由拥度系级统的述固有驴频率忌与主团振型主，现宰在我仿们来家讨论n自由偏度系赛统的店情况蕉。n自昼由度耻系统扛自由披振动喇微分坡方程漆为：§6结-3固有嫩频率拾与主尊振型训（特倡征值胆与特铸征向桥量）非零馆解条朗件为绕：非零珍解条更件为徒：此式底称为异系统肉的频吴率方舅程或窗特征邮方程寇，对币于正树定或枣半正跑定实捕对称怨矩阵碑[M膝]与顷[K缴]，堵它有踪蝶n个亲正的蜻实根很ωi(i萌＝1什,2保,.平..满,n崇)，优特此征值命λi等于妥固有缴频率槐ωi的平怒方，塔即将ωi代入(*强)式即浴可得锹到n个主蛇振型(特征伏向量)歼{u}i对任乓意j凳，同滤样有§6鸡-4主振爱型（斧特征未向量遍）的誉正交齿性特征对满足特征矩阵方程：将(枯a)棉式两馆边转营置后爆右乘反{u羡}j，得(c)缝(d)两式邻相减淋，得虎：若i≠递j，则ωi≠ωj，于松是说明裙各个哀主振顾型关红于[M灰]与[K押]存在可加权教正交述性。Mi与Ki分别版称为离第i阶模留态质视量与盲模态泪刚度执。用前心面两伏自由捧度例箭子说烟明有时盛，系垫统的女频率亚方程桐或特燃征方桃程会萝出现壮重根唉的情口况，汗此时亭，按材前面谱的方欺法就轿不能飘唯一标确定婆特征项向量镰。§6巧-5等固退有频领率（坐重特盏征值鹅）的街情况设λ1＝λ2＝λr，{u消}1与{u段}2是对矩应的闹特征天向量长，即唐有则{u共}1与{u附}2的线息性组断合{u}r＝（a{江u}1＋b{仔u}2）也令是特忆征值λr的特境征向侧量。逗事实永上，饮有另外锣，由瞒特征疾向量累的正顾交性载，有由此欲即可训求出环重特延征值杂的特恩征向开量{u奏}1和{u幸}2。具有休重特嫩征值奴的系带统，暴有时急又称泪为“他简并共”系央统或舒“退豆化”裙系统聪。〈例〉求图赚示三桐自由塑度系逆统的恳特征明对（谈固有步模态孤）。解：唐特征批矩阵冒方程愚为：频率护方程池为：将代入特征矩阵方程，求出：将代入特征矩阵方程，求出：先求，它有两个元素可任选，取再求,它满足关于[M]与[K]的正交性条件：取u13＝1，则u33＝0，u23＝－1可以坑检验笑特征散向量凳关于仪质量争矩阵毫和刚宋度矩述阵的季正交捉性各阶卖振型役物理群意义值描述培如何窄？振动售微分惠方程§6材-6主振青型矩闸阵与半标准际振型乱矩阵通常愈既是拖静力筑耦合剪的又说是动钳力耦晚合的言，在士二自煌由度扩系统膨时曾仓经采督用主兄坐标晓变换拆，得授以解置耦，颤所采比用的籍变换碎矩阵[U辉]＝[{忽u}1{u粪}2]我们罢称为妥主振絮型矩差阵，州对n自由屈度系膀统，冷主振晶型矩桃阵为乱：{u}i为系穗统的文第i阶主抵振型干或模剥态向释量。利用队主坐售标变肿换：{x主}＝[U]听{y}代入到振动微分方程，并前乘，有利用振型的正交性，不难证明都是对角阵。实际上，按分块矩阵乘法，有

同理领，有阻：于是绢，微资分方框程得谜以解奸耦。将各个{u}i分别除以相应的模态质量的平方根，构成的振型矩阵称为标准振型矩阵，此时有我们身称为朱模态文质量尼归一晋化的知特征互向量。无阻田尼系公统振怒动微钓分方今程为§6唇-7无阻脏尼系羞统的帆强迫学振动作变槽换：{x具}＝[U]夸{y}代入储到振劝动