江苏省苏州市第二十四中学高三数学文上学期摸底试题含解析

江苏省苏州市第二十四中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若全集,则集合等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D本题主要考查了集合的交、并、补集的计算和识别。难度较小，基础题。,,,，或者采用排除法完成。2.复数，则(

)

A.|z|＝2 B.z的实部为1

C.z的虚部为－i D.z的共轭复数为－1＋i参考答案：【知识点】复数的相关概念和运算

L4【答案解析】D

解析：，，故A错误；的实部为-1，故B错误；的虚部为-1，不是，故C错误；根据共轭复数的定义，复数的共轭复数为，故D正确，故选：D【思路点拨】利用复数的除法运算化简复数，然后根据复数的相关概念进行判断即可。3.函数f（x）=sinx+cos2x的图象为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=sinx+cos2x不是奇函数，也不是偶函数，故它的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除A、D．再根据当x=±π时，函数的值等于1；故排除C，从而得到结论．【解答】解：由于函数f（x）=sinx+cos2x不是奇函数，也不是偶函数，故它的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除A、D．再根据当x=±π时，函数的值等于1；故排除C，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象特征，主要从函数的奇偶性、对称性取考虑，属于基础题．4.已知向量与的夹角为60°，||=2，||=5，则2﹣在方向上的投影为（）A． B．2 C． D．3参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵向量与的夹角为60°，且||=2，||=5，∴（2﹣）?=2﹣?=2×22﹣5×2×cos60°=3，∴向量2﹣在方向上的投影为=．故选：A．5.已知是函数的极小值点，则=（

）(A)-16

(B)-2

(C)16

(D)2参考答案：D试题分析：,令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，由已知得，故选D.1考点：利用导数研究函数的单调性及极值.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值.6.已知等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则

A． B． C． D．参考答案：D试题分析：，，，故答案为D.考点：1、二项式定理的应用；2、等比数列的性质.7.复数（为虚数单位）的模为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B8.下列三个命题，其中正确的有

(

）①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台.A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：A9.当下面的程序段输出结果是41，则横线处应填（）A．i＞4 B．i＞=4 C．i＜4 D．i＜=4参考答案：D【考点】伪代码．【分析】根据程序中的伪代码，模拟程序的运行过程，找出满足继续循环的条件，即可得到答案．【解答】解：模拟程序的运行结果如下：当i=1时，s=1；当i=1时，s=1；当i=2时，s=3；当i=3时，s=10；当i=4时，s=41；此时程序循环结束，输出变量s值故i≤4应满足循环的条件．故选：D．10.设全集，集合，那么是（

）

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数满足，且时，，则函数与的图象交点的个数为____________。参考答案：略12.设奇函数f(x)的定义域为[-5，5]。若当x∈[0，5]时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)<0的解集是___________.参考答案：（-2，0）∪（2，5]略13.已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=

．参考答案：﹣6【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f（﹣x）与f（x）的关系，从面通过f（﹣a）的值求出f（a）的值，得到本题结论．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，∴f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣bx+1，∴f（﹣x）+f（x）=2，∴f（﹣a）+f（a）=2．∵f（a）=8，∴f（a）=﹣6．故答案为﹣6．14.（几何证明选做题）如图所示，、是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点，，，则

.参考答案：略15.对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）参考答案：①②③【考点】34：函数的值域．【分析】根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．【解答】解：①f（x）=，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．【点评】考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．16.已知函数是定义在R上的奇函数，给出下列命题：

（1）；

（2）若在[0,上有最小值-1，则在上有最大值1；

（3）若在[1,上为增函数，则在上为减函数；其中正确的序号是：

．参考答案：⑴⑵17.已知sin（α﹣π）=，且，则tanα=．参考答案：﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式可求sinα=﹣，根据同角三角函数基本关系式即可可求cosα，tanα的值．【解答】解：∵sin（α﹣π）=，且，∴sinα=﹣，cosα==，∴=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，它在处的切线方程为.（1）求a、b的值；（2）求函数f(x)在上的最小值；（3）若斜率为k的直线与曲线交于，，两点，求证.参考答案：(1)，(2)(3)证明见解析【分析】(1)由题得到关于，的方程组，解方程即得解；（2）对t分三种情况讨论，利用导数求函数在上的最小值；（3）先求出，再令，设，利用导数证明，再令，设，再证明,即证.【详解】（1），∵，∴，即，∵，∴，即.（2）∵，令，∴，①时，在单调递增，，②时，即时，在单调递减，单调递增，.③时，∵，∴舍去.综上.（3）∵，，∴，，∵，∴，令，设，，∵，∴，即在单调递减，∵，∴，∵，∴，即，，令，设，，∵，∴，即在单调递增，∵，∴，∵，∴，即，综上，即.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.设cos（α－）=－，sin（－β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）.参考答案：解：（1）因为函数在轴上的截距为1，所以---------1分又，所以---------4分所以，故点，所以切线方程为即----------6分（2）由题意可得，令得

列表如下：----------8分+0-0+增区间极大减区间极小增区间

所以函数的极大值为，

极小值为.--------------13分

略20.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．参考答案： 解：设直线l交v与t的函数图象于D点，（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），∴OT=4，TD=12，∴S=×4×12=24（km）；（2分）

（2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1）∴S=?t?3t=（4分）当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t﹣10，TD=30（如图2）∴S=S△AOE+S矩形ADTE=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150（5分）当20＜t≤35时，∵B，C的坐标分别为（20，30），（35，0）∴直线BC的解析式为v=﹣2t+70∴D点坐标为（t，﹣2t+70）∴TC=35﹣t，TD=﹣2t+70（如图3）∴S=S梯形OABC﹣S△DCT=（10+35）×30﹣（35﹣t）（﹣2t+70）=﹣（35﹣t）2+675；（7分）（3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km），当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km），而450＜650＜675，∴N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间，（8分）由﹣（35﹣t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．∴在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城．考点： 函数解析式的求解及常用方法．专题： 压轴题．分析： （1）设直线l交v与t的函数图象于D点．由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=×4×12=24（km）；（2）分类讨论：当0≤t≤10时；当10＜t≤20时；当20＜t≤35时；（3）根据t的值对应求S，然后解答．解答： 解：设直线l交v与t的函数图象于D点，（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），∴OT=4，TD=12，∴S=×4×12=24（km）；（2分）

（2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1）∴S=?t?3t=（4分）当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t﹣10，TD=30（如图2）∴S=S△AOE+S矩形ADTE=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150（5分）当20＜t≤35时，∵B，C的坐标分别为（20，30），（35，0）∴直线BC的解析式为v=﹣2t+70∴D点坐标为（t，﹣2t+70）∴TC=35﹣t，TD=﹣2t+70（如图3）∴S=S梯形OABC﹣S△DCT=（10+35）×30﹣（35﹣t）（﹣2t+70）=﹣（35﹣t）2+675；（7分）（3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km），当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km），而450＜650＜675，∴N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间，（8分）由﹣（35﹣t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．∴在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城．点评： 本题考查的是一次函数在实际生活中的运用，比较复杂，解答此题的关键是根据图形反映的数据进行分段计算，难度适中21.已知(为自然对数的底数).(1)若在处的切线过点，求实数的值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：(1)∵，∴，又∵，∴在处的切线方程为，①把点代入①，解得.(2)由可得，②令，，∵，且，，∴存在，使得，且当时，，当时，，(1)当时，，，此时，对任意②式恒成立；(2)当时，∵，由变形可得，令与同号，且对成立，∴函数在上为增函数.而，∴时，，∴，∴函数在上为减函数.∴，∴.(3)当时，∵，由变形可得，③由(2)可知函数，∴.综合(1