结构动力计算

11月：结构动力计算§1-1

概述§1-2

结构的振动自由度§1-3

单自由度结构的自由振动§1-4

单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§1-5

单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动§1-6

多自由度结构的自由振动第一章结构动力学§1-7

振型分解法§1-8计算频率的近似方法

静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称为静力计算。

注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性质来看，要看其对结构产生的影响。一、结构动力计算的特点和任务1.动力荷载与静力荷载的区别：

随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称为动力计算。动力荷载（干扰力）：随时间迅速变化的荷载§1-1

概述结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速度，必须考虑惯性力的作用。考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。

结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布规律，与时间无关。2.结构动力计算的特点3.结构动力计算可分为两大类：自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫振动。

4.结构动力计算的任务：(2)分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的位移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。(1)分析计算自由振动，得到的结构的动力特性(自振频率、振型和阻尼参数)；§1-1

概述

周期荷载——

随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。二、动力荷载的分类简谐荷载1.周期荷载非简谐性周期荷载

例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。

§1-1

概述在很短的时间内，荷载值急剧减小(或增加)，如爆炸时所产生的荷载。2.冲击荷载

3.突加常量荷载突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重物时所产生的荷载。上述荷载是时间的确定函数，称之为确定性动力荷载。

§1-1

概述随机悬荷载侍（非棋确定帅性荷予载）——荷载颈的变悉化极面不规薄则，按在任—时刻纽奉的数中值无蹦法预酷测。意地震泪荷载韵和风议荷载唉都是走随机观荷载傍。随机傲荷载裂（非领确定减性荷语载）4.随机汪荷载§1-夏1概述结构酱振动李的自贞由度:结构机在弹并性变亭形过课程中席确定贤全部茫质点春位置假所需绒的独茄立参数虹的数乖目单自由度结构多自躺由度珠结构风（自黄由度地大于1的结牛构）§1-乱2结构锣振动阅的自肃由度当梁乡丰本身蝇的质并量远生小于徐电动傻机的斜质量爷时，叶可以啦不计伟梁本砍身的熄质量窑，同晕时不祖考虑株梁的牺轴向悦变形板和质侨点的跑转动赴，则长梁上单质点霸的位呼置只黑需由姻挠度y(t)就可接确定纱。由质蓄点竖惨向挠目度为押独立涌参数察的单辣自由辰度结液构确定挥绝对降刚性割杆件币上三么个质互点的熔位置气只需野杆件扰转角

(t)便可工，故块为单虑自由给度结穗构。§1-吧2结构稍振动搬的自心由度虽然惩只有师一个估集中禾质点纹，但震其位每置需巧由水垦平位知移x和竖茂向位说移y两个棒独立肺参数膏才能拼确定择，因叮此振锻动自健由度畜等于2，为疫多自爷由度酷体系捏。三层师平面裳刚架宗横梁碌的刚料度可抄看作价无穷轻大，圈结构课振动彻时横填梁不循能竖魂向移肢动和竖转动醒而只汇能作畏水平蔬移动妈，故杂振动近自由帽度等务于3，多众自由非度体银系。§1-凯2结构桃振动责的自凶由度分析套刚架筐的振蛾动自俱由度面时，才仍可找引用铁受弯赠直杆借任意砍两点草之间心的距蔽离保大持不基变的捡假定州，即毫略去朝杆件堂的轴扔向变款形。纹因此双，可渴采用教施加刚性脆链杆拣法来确艺定结标构的壁振动罪自由哭度。刚性闹链杆彩法：在结叠构上内施加寻最少裁数量纤的刚败性链宪杆以缓限制雪刚架征上所逗有苍质点切的位陈置，则该莫刚架投的自露由度耻数即陵等于软所加升链杆栽数目暗。具有恋两个漫集中淘质量役，加良入三务根链饿杆即席能使榜各质返量固倡定不汤动其思振动强自由扁度为3。注意雪：体系险振动啊自由液度的赖数目吵不完赚全取波决于霜质点括的数慕目，帅也与珠体系就是否秘静定布或超席静定宵无关津。体络系的化自由拌度数旷目与复计算泄假定姨和计瓣算精慈度有北关。绕如果饼考虑烟质点较的转烧动惯堪性，磁还应姿增加觉控制抢转动冰的约鸽束，鸣才能倚确定蓬结构俯的振油动自豪由度导数目闯。§1-赚2结构域振动松的自由由度实际过结构哪中，侵除有享较大控的集色中质摆量外贡，还哄有连肥续分列布的历质量忧。对灵此，末需要枪采用量一定河的简豪化措陈施，男把无剖限多霸自由业度的筋问题冒简化符为单肚自由禾度或棋者有史限多度自由闪度的吓问题鼻进行往计算集中便质量伸法：把体解系的宿连续贩分布问质量狮集中相为有收限个状集中挤质量(实际葡上是分质点)，把幅原来浩是无款限自启由度部的问豪题简蛇化成腹为有某限自钻由度裤的问结题。简化缺方法拖有多店种，党如集毁中质党量法馒、广粗义坐梅标法启和有匠限元疤法等迫。本费章重嫁点讨难论集湾中质滚量法沫。水塔胆的质友量大算部分梅集中目在塔哭顶上蹲，可虑简化阁成以x(t)为位祥移参白数的拳单自幸由度绞结构香。§1-患2结构夹振动阀的自胜由度凡属渐需要缝考虑散杆件匪本身极质量宅（称款为质运量杆棒）的坑结构逐都是无限晃自由肆度体歉系。例：体用集啊中质饮量法撞将连驾续分雁布质舟量的畅简支谢梁简期化为起有限鞋自由姑度体定系。将梁肃二等记分，管集中弄成三踩个集罪中质咳量，畜单自岔由度利体系堤。将梁三等耗分，质适量集耍中成封四个参集中沫质量晨的两个宰自由姨度体系。§1-登2结构狡振动嚼的自蜜由度自由织振动趴：结构缩慧在振弦动进扶程中助不受话外部求干扰旱力作饼用的捆振动谊形式象。产生注自由喷振动忍的原惊因：结构稍在振赤动初谈始时鞠刻受候到干吨扰。初始拍干扰碌的形柄式:（1）结笑构具绕有初守始位爱移（2）结裙构具吸有初送始速每度（3）上立述二叼者同室时存村在1.不考夏虑阻帖尼时冻的自位由振跑动对于伍各种富单自鹅由度哪体系刷的振放动状亿态,都可淘以用鄙一个矮简单被的质点越弹簧供模型来描捡述。梁在质点石重量W作用躁下的希挠曲跌线称膝为“静平屯衡位艇置”。§1-荐3单自萝由度跨结构协的自而由振讯动取图蛇示质池点弹诊簧体拜系中团质点铃的静范力平传衡位捆置为狸计算表位移掩的原住点，部并规梳定位祸移y和质超点所模受的档力都痰以向悬下为器正。装设弹恳簧发车生单价位位勒移时艰所需推加的考力为k11，称米为弹壤簧的刚度；单醉位力愤作用茎下弹糖簧产别生的纸位移送为δ11，称为每弹簧架的柔度，k11与δ11二者最之间偏满足伟：无重浑悬臂沉梁、举无重蹈简支粉梁简孔化单付弹簧源体系轧时，龙弹簧别的刚留度系亩数k11各等循于多号少？思考指：简支问梁：悬臂庸梁皱：答：§1-洲3单自宴由度瘦结构廉的自枣由振存动为了火寻求载结构沙振动坑时其劝位移驶以及叼各种谁量值鱼随时贸间变绿化的惜规律忆，需若要先算建立遥其振动录微分总方程，然后顺求解业。振动自微分根方程惧的建钥立方钥法：（1）刚今度法纪。即列慢动力咐平衡惹方程悼。设馆质点m在振里动的坝任一回时刻芽位移夹为y，取息质点m为隔才离体虫，不洒考虑皆质点餐运动硬时受村到的突阻力计，则殊作用龟于质挺点m上的力银有：(a洞)弹簧帆恢复仪力该力耍有将柿质点遇拉回然静力业平衡线位置础的趋线势，秆负号垒表示换其方张向恒判与位婚移y的方租向相王反，渴即永霉远指葱向静洞力平胞衡位携置。(b散)惯性虾力负号表示其方向恒与加速度的方向相反对于悉弹簧抄处于侄静力认平衡辫位置工时的促初拉年力，往恒与槽质点涛的重臭量mg向平煮衡而积抵消点，故谷振动雄过程遣中这刃两个谦力都泡毋须况考虑馋。§1-诱3单自逮由度逮结构或的自利由振尽动质点集在惯在性力F1和恢胞复力Fc作用藏下维春持平教衡，逆则有出：或将F1和Fc的表达式代入令（1-1）有（1-2）单自蒙由度熊结构它自由墨振动税微分犁方程§1-夫3单自畏由度鉴结构税的自慈由振毁动（2）柔午度法夸。即列夸位移扬方程芦。当红质点m振动旨时，寺把惯津性力更看作沟静力警荷载县作用季在体系的白质量夜上，庆则在拐其作励用下著结构及在质啦点处衰的位袄移y应当慈为：即同刚度法所得方程此二甚阶线夏性常议系数恰齐次扶微分器方程协的通及解为渡：(a唐)(b述)由初始条件t=0时，有可得到有(1-3)§1-贞3单自裙由度心结构只的自罪由振轿动可见:单自锤由度详体系线无阻忍尼的鱼自由浩振动饿是简菜谐振届动。令,有（1-4）

（1-6）其中（1-稼5）位移居满足灿周期旺运动翻的下佛列条摧件：a表示短质量m的最李大动某位移宵，称砍为振极幅。兄其由常数ω、初永始条谈件y0和v0决定潜的。φ是初傲始位血置的守相位宽角，科称为地初相店角。淋它也蛇取决梢于常处数ω、初仪始条撤件y0和v0。T称为辱结构宿的自赖振周挡期，仁其常狂用的革单位弃为秒(s)。自振夫周期互的倒旬数代纸表每组秒钟阔内的弃振动胁次数纺，称断为工程铸频率易，记作f，其单按位为1／秒(s-1购)，或东称为赫兹(H骄z)。(1-7)§1-淋3单自凶由度误结构晚的自蓬由振够动表示2π秒内觉的振谨动次乔数，尺是结佣构动乐力性魔能的夏一个需很重职要的稳标志。ω的单帐位为弧度肚／秒(r康ad／s)，亦常贱简写醉为1／s劳(s-1)。从搁圆周况运动凡的角聚度来屡看，得称它后为圆频校率，一般蒙称ω为自振煎频率。根据倡式(1肥-1革)，可烟给出这结构杠自振拆频率ω的计殊算公夏式如凭下：相应艘地，验结构絮的自晕振周唱期T的计榆算公饶式为耀：式中g表示和重力衬加速角度，Δst表示参由于岭重量mg所产骄生的献静力垦位移尽。结构忆的自合振频太率和土周期尚只取辱决于把它自年身的汉质量寨和刚到度，耀与初琴始条名件及馒外界逮的干厕扰因板素无首关，视它反纺映着宋结构塑固有福的动琴力特终性。（1-居8）§1-构3单自莲由度纺结构好的自尽由振骆动解：泛三种最支承肾情况脑的梁另均为锁单自锹由度稀体系渣。例1-阶1图示吩为三律种不祥同支倾承情餐况的垮单跨桃梁，EI＝常只数，结在梁咬中点鲁有一句集中童质量m，当摔不考斩虑梁片的质济量时宝，试影比较隆三者仿的自顶振频放率。据此可得随着欣结构报刚度液的加静大，盗其自吩振频慨率也预相应肝地增镰高。§1-翠3单自径由度泊结构杏的自谎由振浙动2.考虑馋阻尼判时的鼻自由目振动物体池的自构由振率动由价于各腿种阻勾力的剥作用限将逐弓渐衰乳减下象去而斑不能益无限捎延续毒。阻力甲可分抽为两连种：肚一种智是外字部介拌质的冻阻力殿；另洞一种她来源尽于物啦体内浆部的犬作用金。这总些统魄称为忽阻尼容力。动通常糊引用待福格遇第假饿定，残即近善似认听为振保动中蹲物体死所受闸阻尼迹力与诱其振射动速享度成宫正比匆，称纽奉为粘他滞阻项尼力俯，即胖：其中帖：β为阻栽尼系堪数，拔负号涝表示上阻尼泼力的循方向疗恒与泉速度狱方向兴相反考虑养阻尼秘时，帆质点m的动聋力平攀衡方税程为即：令有(1-9)§1-学3单自干由度逐结构葡的自凯由振预动这是者一个剂常系贼数齐喂次线傅性微饺分方应程，被设其北解的袖形式腥为解得其特膛征方令程为跪：根据串阻尼边大小起不同傍，现具分以靠下3种情互况讨旺论：(1腿)k<ω，即小孝阻尼擦情况，此沿时r1和r2为两陆个共杜轭复欢数，式(1他-9泪)通解转为：(1-9)（1-僵10）（1-油11）有阻积尼自悟振频穴率（1-斧12）式（1-范10）可忙改写崖为：§1-错3单自厅由度滥结构膨的自搏由振消动式中（1-钩12）

小阻尼情况自由振动时的y-t曲线小阻发尼时倦自由晒振动仗曲线旷为衰障减的骑正弦餐曲线混，其孩振幅康按e-k扎t的规获律减砍小，堂故k为衰寇减系狭数。§1-冲3单自拘由度嫩结构川的自艘由振猪动由式(1-11)有工程嗓中ξ的值坦很小荒（对刑于钢鸦筋混咬凝土部结构ξ大约该为5%，钢块结构住的大注约为1%坟-2营%）。链于是朗有ω=ω'相隔泰一周后期后势的两躁个振浸幅之滑比为现一常绑数，苏振幅驶是按气等比宴级数准递减绘的。若用yn表示仍某一粗时刻tn的振用幅，yn+1表示脑经过虹一个浴周期T'后的桌振幅雪，则都有上式够两边美取对毯数，帆得振幅牙的对骨数递贝减量同理封，经亲过j个周禽期后零，有由实凭测各吐周期连的振电幅可猪求出健阻尼贡比。§1-烈3单自蒜由度刮结构稳的自烦由振六动(2晶)k>ω，即大并阻尼队情况，此背时r1和r2为两拴个负云实数阴，式(1萄-9访)通年解为社：y(t)不是越一个纤周期与函数,即在炸大阻棒尼情钩况下翅不会谎发生雨振动秆。（1-影13）（1-荒1）(3)

k=ω，即临界阻尼情况此时r1,2=-k

，方程(1-9)的解为y-t

曲线以上词两种倘情况傲均不委属振严动，娘位移家时程齿曲线郑（y-取t曲线）表示须体系争从初房诚始位帅移出姜发，震逐渐依返回础到静美平衡壮位置腔而无激振动杯发生阅。y(t)不是周期函数，亦即在临界阻尼情况下不会发生振动。此时，临界阻尼系数§1-支3单自冤由度罚结构京的自肠由振框动强迫授振动闸：结构怀在动含力荷届载即芹外来律干扰侵力作但用下贺产生街的振饰动。设质驱点m受干族扰力F（t）作饶用，谜则质对点m的动渴力平胆衡方访程为萄：即：或(1-18)§1-挨4单自论由度亮结构迎在简伞谐荷膨载作知用下煤的强液迫振绪动方程嫁的解脑包括廉两部元分：足对应幼齐次仇方程途的通恒解和眯对应惧干扰屿力F(丛t)的特感解(1-18)通解

特解随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况，如具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分力等，表达为：(1-19)

其中为干扰力的频率，F为干扰力最大值。此时式(1-18)写为：(1-20)设方程的特解为：（b）（a）§1-抖4单自蔬由度点结构映在简去谐荷突载作慰用下造的强摆迫振顾动式(b志)代入吧式(1歪-即20推)，得占到式(a易)+式(b穷)，并测引入蛙初始涝条件象，得我到(1桂-2纽奉1)由初仗始条央件决彼定的盘自由眼振动伴生俗自由贞振动按干蛋扰力较频率θ振动减的纯雷强迫韵振动裁或稳饮态强较迫振奥动由初狮始条乓件决浪定的茶自由替振动旗阶段匀和伴棚生自汗由振用动阶轰段会享随时攀间很核快衰酱减掉吗，故掩称为脖过渡会阶段欠；最渡后只碑剩下饿按干揉扰力撤频率鞭振动样的纯浸强迫把振动绪，故崭称为触平稳济阶段拖。实肿际问值题中倒，一吐般只计讨论润纯强俩迫振腊动。§1-慢4单自辅由度仔结构批在简演谐荷族载作帆用下传的强况迫振宽动1.不考压虑阻暂尼的誉纯强酒迫振锤动(1音-2购2)因此苏，最捉大动顽力位描移（血振幅铸）为(1碎-2伪3)其中:代表规将干胆扰力第最大谨值F作为把静载外作用雨于结但构上谜时引泥起的嫂静力奔位移位移身动力迈系数，代诉表最悬大动堂力位丑移与惕静力驱位移尺之比当θ<蠢ω时，μ值为胜正，谋动力杜位移设与动熔力荷擦载同绩向；狸当θ>予ω时，μ值为劝负，钢表示截动力埋位移搞与动娱力荷山载的芽指向艰相反,这种勺现象丹仅在趋不计疤阻尼爆时出凤现。§1-蛮4单自斧由度神结构挥在简盏谐荷巡寿载作墓用下监的强园迫振修动

动力反应谱（动力放大系数μ随频比θ/ω变化的关系曲线）动力爬放大注系数μ的大妈小反橡映了铺结构座动力费反应纠的强马弱。昼单自缺由度膝结构殊，当锄干扰响力与慕惯性纺力的持作用把点重吓合时照，位揭移动坟力系渴数与委内力哲动力马系数命是完桨全一宝样的思。当，通常,当动貌力荷侮载(即干鸦扰力)的周期大于瓣结构改自振悟周期根的五、皱六倍以上欺时，鹅可将缴其视为卵静力衣荷载。(1坦)当θ<<ω时，乘即θ/ω→0，这更时μ→1。这担种情治况相悟当于寸静力导作用抢。§1-淡4单自脂由度什结构呜在简竭谐荷拌载作屿用下掀的强乏迫振趣动

动力反应谱(2子)当θ≈ω时，板即θ/调ω≈1，这贷时μ→∞。即仆振幅抢趋于洗无限玩大,这种辟现象姓称为共振鸡。2)实际春上由滨于阻辜尼的厘存在铃共振汇时振梅幅不翻会无咳限增奥大。1)共振旦现象骄的形哑成有因一个掌过程约，振家幅是讽由小棒逐渐迁变大旗的。注意:3)应避魔开0.怖75肚<θ/色ω<1仪.2深5共振牵区。(3律)当θ>南>ω时，蔬即θ/乘ω>>急1，这谢时μ值为廊负值,并且身趋近破于零详。这表喝明高平频简凑谐荷芳载作肉用下激，振偿幅趋忠近于旁零，尚体系俗处于退静止贫状筑态。工程杨设计欺中，忘要求配的是柔振幅隆绝对烧值,动力睁反应剂谱中θ/依ω>1部分屿的μ画在鹅横坐辞标的仰上方音。注意:§1-镇4单自环由度劈燕结构注在简祖谐荷侄载作图用下阵的强劫迫振也动在单字自由搞度体给系上柏，当服干扰巾力作权用在由质量些上、鹅扰力如作用佳线与祝质体床的振阵动位衡移方谣向重余合时瘦，其暗位移湿动力田系数赶与内活力动辉力系光数是揪完全阳相同耳的，台结构漏的最亡大动芒内力趴可以山采用乖动力柄系数输法求劲得。如果窑干扰建力不满作用叮在质驾量上戒，体双系的绳位移迟和内枪力没据有一乏个统现一的萝动力顶系数许。这激种情掘况下牛的结里构动家内力脖、动饼位移增的计恋算，颤可用建立鞋动力按微分经方程券的方法焦计算束。§1-也4单自截由度萄结构色在简膛谐荷婶载作张用下创的强逢迫振跌动解：敲在发膏电机滨重量广作用岂下，赏梁中点的锣最大很静力贼位移羡为：故自寺振频嫂率为例1-线2简支鸭梁中庸点装罚有一知台电妻动机脆，电薯动机鞋重量G=35条kN。已脖知梁貌的惯誉性矩I=8攻.8×10-5m4，E=2权10滤GP旁a。发令电机笑转动蜘时离撑心力凝的垂伏直分肥力为F=凯si考nθt，灰且F=倾10帽KN。不婚计阻垮尼，亡求当嫩发电闹机每予分钟价转数尿为n=扑50劝0r冈/m沉in时，迁梁的袭最大盒弯矩羽和挠顷度。干扰铸力频高率:动力种系数:梁中覆点的韵最大咸弯矩拥为梁中泉点的头最大高挠度抗为§1-趣4单自驼由度延结构多在简慨谐荷腿载作夫用下乒的强蜡迫振蜂动质体比的动亡位移y(t)是以纤静力聋平衡炸位置像为零馒点来聋计算见的，股因此y(t)中不朵包括敬质体沾的重喜力影早响，昆但在登确定四质体幅的最构大竖静向位帅移时删，应司加上朗这部央分（Δst=δ11G）的秃影响袖。注意军：§1-朱4单自耀由度衡结构兵在简简谐荷主载作颤用下友的强促迫振借动运用图乘法可求得

(a)

(1胜)设惯授性力悉和动鞭力荷亿载分份别为药单位皱力和前单位昼力偶朱作用样在体烂系上挂，并餐绘出粒相应大的弯严矩图.例1-加3图示蚁简支钉梁跨显中有光一集干中质伶量m，支茂座A处受祝动力所矩Msi喷nθt的作镇用，不计蜓梁的口质量寺，试增求质绸点的信动位君移和抢支座A处的耕动转校角的缎幅值皮。解：饶该体楼系不毫能直渴接用妇放大距系数里求动方位移算，可灾由建乒立体纤系的扯振动旗方程圈来求物解。§1-师4单自规由度湾结构拌在简薯谐荷治载作螺用下成的强狂迫振基动式中

代δij入上式，经整理后得(b)解式(b)得稳态解为(c)(2仪)根据叠加析原理列出捆动位薯移质点亚的动巷位移朗是惯柏性力FI(t)和动贯力荷余载共西同作巨用下沸产生饲的，上按叠壶加原谷理可俘表示眉为§1-朴4单自先由度野结构附在简益谐荷沿载作碌用下题的强带迫振郑动这说灾明质第体动异位移纱尚可搬应用败放大敬系数活计算。

质点的动位移幅值为，其中为动荷载幅值M所引起的质点静位移yst，μ动力系数。支座A处的煎动转筹角也逆是由晨惯性绪力FI(t)和动晌力荷穿载共涛同作扔用下片产生史的，横按叠潜加原矛理可岩表示拳为由稳然态解拘式(c岩)可知§1-遵4单自药由度述结构丘在简萝谐荷生载作破用下救的强伙迫振蔬动对式(c耗)求导言两次筹后代跳入上顽式，讨可得将式(a损)和F*=3M/l代入极上式,得(c)§1-城4单自安由度盾结构覆在简站谐荷裂载作忽用下点的强披迫振咬动可见,质点引位移在的动册力系殖数μ和支哭座处缎动转症角的国动力汽系数μφ是不保同的便。

支座A处的动转角幅值为,

为动荷载幅值M所引起的静转角，μφ为该动力系数。其中而动荷躬载不碍作用谎在质厨量上鞠时，泥体系苏不能孝用一称个统迁一的界动力自系数鲜来表筒示。§1-识4单自常由度艰结构妨在简棍谐荷忽载作栏用下宗的强悬迫振消动由式(1-21)的第三项，有：命（1-27）（1-28）令饼和河，则贺振幅A可写兽为（1-29）2.有阻时尼的鲁强迫响振动§1-宽4单自窑由度捎结构脂在简怜谐荷叙载作漠用下泡的强蛮迫振膨动动力睡系数μ不仅夫与频革比β有关逐，而恩且还仪与阻烧尼比ξ有关错。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图在0.司75杰<β<1京.2高5共振超区范恢围内畅，阻辉尼力垒大大麦地减繁小了μ的峰订值。但滋在这另范围签以外胳，阻啊尼对μ的影蒜响较柄小，锤可按喉无阻守尼来港计算鸭。当θ>>ω时，总则μ很小陈，表零明质虎量m接近抚于不骄动或弹只作斧极微嘴小的稍振动诸。(1忘)阻尼篮对简放谐荷晋载的楚动力通系数μ影响邪较大简谐跃荷载急作用蔽下有舞阻尼根稳态权振动倾的主蕉要特鞠点：§1-啦4单自失由度划结构颗在简编谐荷隙载作秀用下味的强椒迫振岭动(2经)在β=1的共橡振情设况下,动力普系数饱为动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图在考事虑阻浑尼的妨影响馒时，帐共振揭时动捷力系盾数不悄是无恼穷大,而是更一个旷有限庸值。寸在研牲究共携振时辉的动额力反巡寿应时绑，阻用尼的霸影响肺是不尼容忽巡寿略的辫。§1-绸4单自专由度恢结构尿在简猎谐荷申载作敌用下哄的强守迫振兰动

用求极值的方法确定μ的最大值发生在处,因ξ的值通常都很小，近似地将β=1时的值作为最大值。(3竞)μ最大悠值并夜不发陡生在β=1处。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图§1-扶4单自爬由度过结构受在简税谐荷尖载作员用下挎的强忍迫振探动当β<1时，0<φ<π/2；当β>1时，π/2<φ<π；当β=1时，φ=π/2。(4志)阻尼驳体系蔽的位伙移y(t)=期As立in新(θt-φ)和干岭扰力F(t)=广si席nθt不同猪步，其相胳位角荒为φ。只要祖有阻袄尼存叼在,位移股总是棉滞后蚂于振往动荷誓载。§1-舟4单自饰由度歼结构汪在简主谐荷毯载作确用下穿的强所迫振银动共振染时,φ=π/2,位移饿方程器式为y(t)=–ystμcosθtμ=怠1/视(2ξ)，θ=ω，c=ξcc=2ξm重ω阻尼逆力为注意煎到共好振时可见染共振挨时干衫扰力脑与阻叛尼力宵互相落平衡浙。共振喝时受塔力特症点讨疲论:§1-艘4单自环由度藏结构庭在简怒谐荷或载作象用下积的强凶迫振蜻动为了途减小薯动力机放大品系数μ，援当β=θ/误ω<1时（你称为榆共振育前区猴），叫应设葵法加启大结蚊构的搞自振横频率ω。这弃种方挂法称铜为“虹刚性友方案冠”。继当β=θ/肠ω>1时称皮为(共振陡后区)，这晋时，秀应设听法减皂小结滚构的顺自振森频率ω。这赖种方匹法称作为“烘柔性输方案今”。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图讨论流：§1-达4单自最由度兆结构变在简虑谐荷萍载作畏用下傍的强技迫振灵动采用姨冲量柱方法术首先哗讨论既瞬时槽冲量捡的动蜘力反乔应，堵在此眯基础衰上讨招论一动般动宇力荷挽载下生的动铸力反烛应。1.强迫急力为壤一般普动力饼荷载--无阻轮尼(1反)瞬时英冲量惕的动龙力反劫应假定宰冲击尘荷载违作用捆之前铃体系投的初病位移装及初驳速度搁均为夸零。由于全荷载蛾作用摊时间作极短圣，可梨以认翼为在衔冲击测荷载春作用完毕录的瞬丙间，处体系委的位蚀移仍业为零角。但订冲击疗荷载遵有冲伯量，述可以薯使处傻于静皱止状亲态的出质点振获得管速度悉而引誉起自字由振穴动。思考众：体系莫在冲零击荷孙载作赢用下拿获得屠的是昼位移振还是晓速度忠？§1-津5单自矩由度奔结构帅在任层意荷郊载作猪用下阳的强井迫振麻动根据吓动量胞定律病，质蛾点在掌瞬时藏冲量F·跑Δt作用天下的牌动量双变化拆为由于v0=0,所以有

原来初位移、初速度为零的体系,在冲击荷载作用后的瞬间,变成了初位移为零,初速度为的自由振动问题。由(1-30)得§1-贯5单自患由度虏结构愤在任疑意荷菠载作累用下揉的强鸡迫振巩动若冲甘击荷词载不残是在t＝0，而杯是在t＝τ时作臣用，判则上宵式中架的t应改抵为(t若-τ)。(1-31)

由式(1生-3歉0)可得粗在t＝τ时作茧用瞬非时冲铜量S引起摄的动推力反零应。(1-30)§1-鸡5单自泽由度惩结构摩在任快意荷翁载作烘用下县的强尤迫振派动(2炒)一般馒动力贺荷载F(t)的动额力反唯应。把整散个加财载过掉程看非成是应由一蔬系列绸瞬时路冲量哪所组幅成的挪。在准时刻t＝τ作用吗的荷财载为F(t)，此艳荷载永在微比分时虎段dτ内产慰生的设冲量甘为dS=殿F(t)·dτ。根踢据式(1脾-3岭1)，此扭微分怜冲量程引起苍的动屠力反漂应为驱：(g)对加例载过岸程中痒产生锋的微更分反固应进兴行叠补加，惕得出棋总反尾应如体下：——称为杜哈黎梅(Du果ha涌me描l)积分。

(1-32)§1-扶5单自枕由度狐结构捆在任去意荷霜载作植用下弃的强舍迫振汁动——瘦(1蛋-3猫3)式中责第一肌、二贩项代局表自昨由振吊动部乎分，茅第三竖项代倒表强苏迫振辱动部虎分。(1-32)如果语初始推位移y0和初晒始速赔度v0不为秩零，堤则总饰位移格应为让：§1-故5单自笑由度度结构者在任墙意荷炼载作锋用下停的强慨迫振淹动2.几种客动荷颂载的推动力废反应(1纲)突加冒长期连荷载o

F(t)t0F突加犯长期腾荷载误就是如指突猾然施悲加于基结构恐并继法续作栽用在响结构合上的圾荷载允，它熔可表困示为池：如果梦原结站构的拦初始仍位移湾和初省始速盾度都犹等于呜零，倒将式堆（h）代垄入式(9屿-3抹2)并进径行积协分后串，可掉得动席力位位移如腿下：（h）

(1-34)

(1-32)§1-杂5单自头由度轻结构魄在任忌意荷必载作程用下钉的强班迫振墓动当t=T/2时，[y(t)]ma室x=2yst，动梳力系荒数为μ=2。位移时程曲线图

(1-34)

式中表示在静力荷载F0作用下所产生的静力位移。当突怖加荷凉载作培用在添系统少上的洲时间栽超过t=T/2时就切算作裹长期谱荷载,这时慈引起卡的最谎大动欧力位蓄移为席相应科静力坐位移槐的两麦倍。§1-缎5单自矛由度耗结构火在任货意荷无载作训用下立的强甚迫振盟动其特径点是境当t=0时，帮在质喇体上帅突然清施加牺常量迁荷裁F0，而厅且一共直保准持不糊变，筹直到t=t1时突弱然卸远去。(2刻)突加匹短期坦荷载体系葵在这民种荷就载作筹用下扔的位荒移反赏应，哈可按菊两个圣阶段窃分别悉计算柄再叠文加。第一吧阶段概（0≤t≤t1）：报此阶辈段与垂突加狱长期愁荷载贡相同割，因乓此动玩力位欠移反碎应仍朵按公桑式(9哥-3泡4)计算饰。荷载市可以贺看作型突加其长期听荷载F0(图中筹坐标日上方踪蝶实线播及所眯续虚散线部茎分)叠加氧上t=t1时突洁加上左来的尺负长或期荷摔载(－F0)(图坐瞒标下璃方虚败线部犁分)。§1-搬5单自召由度石结构瞒在任妥意荷室载作寺用下止的强辣迫振创动(1-35)第二滨阶段(t≥t1)：荷阶载可厉以看展作突诞加长岭期荷叛载F0(图中君坐标骨上方宰实线琴所续果虚线持部分)叠加驰上t=t1时的味负突笛加长均期荷冶载(-F0)(图9中坐船标下望方虚男线部愉分)。当t≥t1时，念有第一材阶段绘（0≤t≤t1）与变突加槽长期弓荷载烘相同历，动莲力位莫移反谱应为§1-士5单自原由度惑结构并在任拉意荷储载作也用下绵的强艘迫振斧动质点感位移土反应延可分严为两犁个阶逝段按仔式（1-脖33）积珠分求便得。(3袍)爆炸壮冲击碑荷载变化津规律久为第一恩阶段（0≤t≤t1）§1-谷5单自偿由度纠结构姿在任求意荷但载作妹用下荣的强绢迫振反动——(1紧-3苍7)第二盘阶段筛（t≥t1）当(t1／T)>0.柿4时，最大太位移毛反应塞在第菜一阶粒段出董现，否则共就出复现在舒第二击阶段敬出。从前注面几叹种动据力荷死载作棵用下向单自伯由度困体系波的位丝式移反桂应可知，煎最大赖位移灾反应归与与t1／T有关让。最大探位移购反应榜可用杏速度馅为零猫（即押位移见的导叨数）种这个拜条件蹄下的咳时间佩值来疑计算弟。§1-瓶5单自细由度孙结构砌在任丝式意荷货载作抱用下墓的强厚迫振练动3.当强页迫力缓为一扒般动炼力荷姓载情丢况--有阻叹尼有阻用尼体普系在伍一般世动力赤荷载F(t)作用垫时，得其动讽力位桌移也莫可表揉示为承杜哈裕梅积斯分。由于屡冲量S=mv0，故济在初颜始时苗刻由右冲量S引起鸟的振涛动为（9-46）单独由初始速度v0(初始位移为零)所引起的振动为§1-微5单自假由度丝式结构规在任蛛意荷喊载作去用下独的强逝迫振辩动把一抗般动才力荷斑载F的加擦载过灵程看兆作是抵由无耍限多球个瞬丝式时冲币量所阵组成桂，对t=τ到t小=τ+dτ的时汪间分列段上卡的微富分冲我量dS=F(τ)dτ来说水，它淡所引甚起的私动位捞移为(t>τ)积分圾后即季得开斯始处乎于静堪止状茫态的租单自恢由度跪体系晒有阻献尼的盯受迫蹲振动蔑方程着为(1腾-4争7)§1-唐5单自胸由度萝结构稠在任董意荷秤载作曾用下聋的强黄迫振睬动如果找还有阁初始挑位移y0和初涌始速幸度v0，则隔总位堂移为(1钱-4芝7)(1蠢-4握8)这就忽是有花阻尼汗情况共下的冷杜哈专梅积膏分。§1-姥5单自绩由度辜结构乓在任冰意荷晃载作云用下避的强挖迫振授动工程业实际院中有获很多稠结构农是不脚宜简猎化为储单自抚由度泊体系研计算芳的。瞒例如导多层匹房屋古、多杠跨不览等高事工业诞厂房胡以及体烟囱匙等,都必絮须按蔑多自两由度仓体系蹈来处户理。图示疯等截级面烟煌囱，陪将其爽分为蛋八段付，从咽上到耐下将腹每两把段的定质量敌集中迫于其戚中点斧，将含一个迷无限锣自由渣度的治体系驳简化米为四胁个自品由度处体系桶。§1-嫌6多自表由度煤结构犯的自树由振烟动图示赠简支阅梁的投自重名略去菊不计,体系闪有n个振损动自埋由度稀，y1、y2、…、yi…、yn分别际代表附这些掏质点牌自静棚平衡凭位置检量起口的位医移。1.振动夫微分河方程率的建尺立（娃刚度牲法、捉柔度押法）刚度革法（1）首慨先加恭入附淘加链驾杆阻颤止所站有质膝点的吉位移,则在济各质俭点的乞惯性未力作用杀下，胳各链脑杆产棍生和颜惯性嫂力大摘小相枣等、筛方向悠相反稀的反促力；可按秆照位关移法斜的步为骤来姨处理§1-场6多自分由度调结构萌的自半由振恼动（2）其蔽次令展各链擦杆发蕉生与流各质细点实惑际位观置相鸦同的省位移战，此地时各妻链杆耀上所融需施赖加的力差为FRi(i=1屑,2药,…,n亲)。（3）不辩考虑类阻尼妨时，纳将上棚述两潮种情膀况叠灯加，延各附粘加链帅杆上何的总治反力谨为零汇，由影此可列旧出各乌质点奇的动妥力平齿衡方贯程。逆以质杠点mi为例喉：即：§1-应6多自水由度依结构亿的自禾由振浮动

(1-46)同理减，体怎系中封的每恋一个捷质点扮都可抹以列掠出相哨应的查动力垦平衡插方程浅式，梯有写成粒矩阵坡形式雹：(1-48)简写为：§1-抬6多自扑由度离结构宿的自泥由振芽动Y和Ÿ分别著是位鸡移向疼量和历加速仍度向合量：M和K分别抖是质随量矩赛阵和消刚度挺矩阵柳：§1-杀6多自宗由度仍结构编的自竹由振丢动体系牢中某攀质点i产生壮位移yi可看臭成是艰系统兆内各骄质点伤运动笔时的可惯性素力共夕同引寺起的止。即柔度削法考虑猫每一罪个质肉点的糖位移昆，可霸得一画组运护动微另分方腔程式冶：FI1，FI2，…，FIn为质财点1，2，……沙n的惯塘性力泻。体系评的柔瞧度系赠数δij为作块用在饰质点j上的即单位笑力引煮起质幅点i的位获移。§1-桶6多自膏由度究结构叉的自果由振竟动写成昂矩阵察形式猪：δ称为贫体系沈的柔谱度矩辱阵,I—单位盖矩阵翅。或(1-51)所以勉，由青刚度生法建您立的公式传（1-馅48）与椒公式侄（1-胁51）是完缩慧全相自通的纠。因为怜：§1-敏6多自辱由度欠结构炭的自兄由振瞒动设公携式（1-让51）的特舍解为芽：2.按柔福度法号求解(1-51)即所价有质丢点按醒同一乓频率王同一卧相位遵作同但步简贫谐振崇动，畏但各僚质点慨的振庙幅值点各不荒相同(1帖-5闻3)(1-54)有(f)柔度落法的限振幅泼方程§1-娘6多自渴由度绢结构则的自械由振弦动柔度沈法的购频率咏方程振幅页向量A存在观非零华解的念条件味为(1兄-5咬6)(1-55)

根据频率方程可得到n个自振频率，将它们由小到大排列，分别称为第一，第二，…，第n频率，并总称为结构自振的频谱。注意:体系戒自振唯频率鸭的个脆数和盛它的匹自由巧度数刑目相验同。§1-败6多自招由度开结构撒的自姥由振复动此时各质点按同一频率作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比值并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。这种多自由度结构按任一自振频率进行的简谐振动称为主振动，与其相应的特定振动形式称为主振型(振型)将代回式(1-53)，得到：(1-59)将n个自振频率中的任一个代入式(f)，得到特解为(1训-5搏7)§1-古6多自容由度限结构脉的自垫由振回动n个主立振动估的线抽性组劫合，稠构成押振动溪微分回方程俘的一茅般解写：(1法-6许0)

和取决于初始条件。然而自振频率和振型与外因干扰无关，只取决于结构的质量分布和柔度系数，因而反映着结构本身固有的动力特性。由于此时系数行列式为零，因此n个方程中只有（n-1）个是独立的，因而不能求得的确定值，但可确定各质点振幅间的相对比值，便确定了振型。振型到向量规准统化振愉型向戴量§1-肃6多自征由度盼结构延的自朝由振方动对于弯两个敌自由注度结狭构，酿振幅睁方程疲（1-端53）为总：令稼，连将上业式展怜开得锐：频率希方程旱为：(1爸-6昆1)§1-沾6多自货由度桃结构杂的自蛋由振督动两个粉自振桐频率数为：(1启-6最2)两个漏主振零型为驾：(1雹-6袄3)(1脚-6旷4)§1-怕6多自淹由度敢结构级的自陈由振索动例1-买3图示熔简支全梁在吸跨度叠的三琴分之勇一处申有两提个大土小相作等的豆集中迹质量m，试浴分析毅其自次由振酷动。逢设梁麻的自骄重略思去不朵计，EI＝常轿数。解:伸(1杯)计算部柔度矮系数δij§1-眨6多自烦由度诞结构岸的自犯由振古动求得

将δij和m值代人上式(2去)求频料率：§1-附6多自书由度超结构馆的自榨由振扩动将ωi和δij值代界上入要式得第度一主旗振型掉为第二触主振嘉型为(3努)分析醉振型§1-泼6多自他由度动结构驳的自继由振节动可以沈看出纱，如创果结责构本置身和堤质量确分布议都是赢对称哲的，具则其绍振型粮不是丝式正对产称的树便是柔反对羊称的右。第一远主振团型第二碧主振秩型§1-咬6多自谨由度贫结构令的自翁由振逆动例1-肯4图示陕刚架鸦，在氧梁跨妈中D处和迎柱顶A处有渴大小跑相等滩的集弊中质撇量m，支类座C处为纷弹性游支承拴，弹虹簧的炼刚性站系数k=(宏3EI)/l3。试纠求自振冷频率庭和振洽型。1.求柔座度系保数解：孙体系播有两病自由困度，A处质填点的私水平顿位移膝和D处质惨的竖狸向位屋移。绘制M1、M2图,由图鱼乘及谷弹簧受内力溜虚功留计算飘得§1-供6多自盯由度条结构朴的自此由振惰动2.写出笼振型脑方程（a）3.写出诵频率总方程紫，求殊频率展开式为解得相应违的频衫率为§1-周6多自泰由度励结构捐的自胞由振示动当λ=踩λ1=27义.0培83时，驰设A1(1缴)=1,得第一崖主振型为第二悠主振德型为当λ=λ2=2.先91掠7时，绳设A1(2摧)=1，得4.求振仗型并姨绘出心振型苦图由所连得结柜果绘俯出振咱型§1-铁6多自絮由度欣结构以的自培由振跨动3.按刚喉度法如求解(1-66)

(1-65)振幅壁方程频率程方程将得到的n个自振频率代回振幅方程，得：(1-67)同样突可确外定n个主保振型员。对于拜两个族自由族度结拍构，漂频率贸方程稼为：§1-架6多自弃由度碰结构浓的自后由振汽动展开絮得：两个捕主振敞型为劣：§1-修6多自图由度饭结构就的自劳由振以动例1-张5三层泉刚架员如图告所示旁。设孝自上寨到下列，各器层楼棕面的捆质量(包括糖柱子疮质量)分别为m1=1芦80僚00毛0k存g，m2=2侧70深00械0k筒g，m3=2弃70房诚00面0k毛g；各捞层的事层间获侧移甚刚度(即该邻层柱储子上刻、下铅两端矮发生由单位奶相对与位移似时，及该层轻各柱亿剪力滑之和)分别为k1=9绞8M贷N/喜m，k2=1纱96烘MN赔/m，k3=2粉45述MN松/m。求委刚架识的自尤振频买率和雁振型。捉设横凝梁的危刚度EI＝∞。解:铺(1)求频凶率。体系问的自招由度泽数为3。振型掉方程练为频率爽方程拉为§1-背6多自鲜由度笛结构芦的自挪由振凶动建立拍刚度背矩阵热和质捏量矩找阵由图b可得：

由图c可得：

由图d可得：

§1-偏6多自打由度阳结构姜的自爹由振悼动得刚执度矩五阵：质量摸矩阵天为：§1-辛6多自喝由度骄结构辣的自悔由振怖动频率抄方程属：引入符号η

,则展开撤式为§1-基6多自冈由度垮结构古的自滴由振更动解方程得：由求得三个自振频率为：§1-层6多自喇由度啊结构析的自应由振渠动将代入式(K-ω2M)φ=0，为求标准化振型，规定φ1(j)=1

。2.求振吴型：第三振型第二振型第一振型§1-啦6多自旨由度俭结构俗的自化由振壳动(4滋)与单给自由清度体漆系相笼同，胆多自修由度摩体系促的自江振频叙率和张主振戏型也别是体撒系本突身的颈固有盏性质赔。对于荷多自啄由度忍体系:(1础)在多师自由氧度体猾系自鸦由振榆动问涛题中举，主庄要问许题是由确定隙体系愉的全吓部自鄙振频唱率及损其相危应的雹主振哄型。(2资)多自言由度素体系湿自振许频率友不止币一个泄，其渴个数伸与体填系自宽由度挡的个脱数相系等。相自振且频率暖可由积特征推方程手求出想。(3根)每个宽自振浑频率谢有自蛙己相门应的练主振笨型。帐主振润型是徐多自掩由度峰体系辛能够知按单史自由恼度振山动时让所具者有的求特定制形式碎。§1-命6多自仗由度连结构惹的自岩由振挑动对上器述两认式分猛别两张边同絮时左惕乘书和贩，聪有对其丹中任幼两个签不同就的主粘振型吉向量Xi和Xj，有4.主振朋型的交正交边性n个自衣由度杜结构趟具有n个自杜振频浇率及n个主匀振型撇，每互一频氏率及表其相乓应主村振型傅都满窗足(1-67)(b村)(a斧)(d拳)(c孔)（d）式熄两边疏转置控，有(e鼻)（c）式-（e）式骡，有§1-墓6多自顽由度倍结构庸的自师由振建动当(i≠j)时，疮有这说言明，院对于斩质量陕矩阵M，不侵同频苗率的意两个笨主振结型是雨彼此装正交逝的。同理亿可以轻证明亭，对俱于质各量矩泪阵K，不标同频提率的险两个陡主振杜型彼算此也陆是正防交的无。对于绑标准阿化的领振型丸向量深，也扔同样射具有冰正交冬性，左即振型邮正交贸性的蠢物理技意义:体系很按某嘉一振尘型振斯动时叉，它善的惯陷性力率不会塞在其驱它振拉型上搅作功魂。也结就是傻说它关的能县量不棕会转妄移到倾其它坐振型衔上去放，说词明各他个主修振型缩慧都能崭够单咳独出夜现，骗彼此役线形己无关梢。主振邀型的伸正交跨性是安结构够本身怖的固困有特波性，芬它不都仅可劫以用期来简绑化结拉构的宅动力碗计算屿，而共且还翼可以率用来贝检验衬所求涝的主秒振型弦是否宜正确嗓。§1-衫6多自衫由度邻结构村的自无由振零动振型分解法的计算步骤：（1）求自振频率和振型（2）计算广义质量和广义荷载

（3）求解正则坐标的振动微分方程，得到αi（i=1,2,…,n）（4）计算几何坐标