理论力学点的运动学和刚体的基本运动

理论力学点的运动学和刚体的基本运动第1页，课件共67页，创作于2023年2月第五章点的运动学和刚体的基本运动第2页，课件共67页，创作于2023年2月运动学①运动学②运动学研究的对象③运动学学习目的④运动是相对的⑤瞬时、时间间隔⑥运动分类5-1运动学的基本概念是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。(包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。①建立机械运动的描述方法②建立运动量之间的关系为后续课打基础及直接运用于工程实际。(relativity):参考体(物);参考系;静系;动系。1)点的运动2)刚体的运动引言第3页，课件共67页，创作于2023年2月一.矢径法：运动方程，轨迹运动学§5-2

点的运动方程二.直角坐标法4第4页，课件共67页，创作于2023年2月以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫自然坐标法。弧坐标法运动学一.弧坐标,自然轴系1.弧坐标的运动方程S=f(t)补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用)同理可导出柱坐标下的点的运动方程三.弧坐标法5第5页，课件共67页，创作于2023年2月一.矢径法：运动学§5-3

动点的速度和加速度一般（思考园）速度：加速度：6第6页，课件共67页，创作于2023年2月二.直角坐标法运动学7第7页，课件共67页，创作于2023年2月加速度.

[注]这里的x,y,z

都是时间单位连续函数。当消去参数t后,可得到F(x,y)=0

形式的轨迹方程。F(y,z)=0

运动学8第8页，课件共67页，创作于2023年2月点的速度三.自然轴系运动学切线方向矢法线方向矢指向凹侧副法线方向矢全是变矢量,--密切面割线Δr与弧线Δs极限时重合9第9页，课件共67页，创作于2023年2月①切向加速度

----表示速度大小的变化运动学点的加速度②法向加速度-----表示速度方向的变化10第10页，课件共67页，创作于2023年2月由图可知运动学11第11页，课件共67页，创作于2023年2月运动学例5.1一绳AMC的一端系于固定点A，绳子穿过滑块M上的小孔。绳的另一端系于滑块C上。滑块M以已知等速v0运动。绳长为l，AE的距离为a且垂直于DE。求滑块C的速度与距离AM=x之间的关系。又当滑块M经过E点时，滑块C的速度为何值？12第12页，课件共67页，创作于2023年2月运动学曲率半径与法向加速度有关先求速度和法向加速度点的瞬时全加速度13第13页，课件共67页，创作于2023年2月运动学（求切向加速度）14第14页，课件共67页，创作于2023年2月5-4刚体的平动和定轴转动[例]

由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的运动学是指刚体的平行移动和转动§5-4-1刚体的平行移动(平动)基本运动第15页，课件共67页，创作于2023年2月OB作定轴转动CD作平动AB、凸轮均作平动运动学位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。第16页，课件共67页，创作于2023年2月运动学一.刚体平动的定义:刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变。由A,B两点的运动方程式:而[例]AB在运动中方向和大小始终不变

它的轨迹可以是直线可以是曲线第17页，课件共67页，创作于2023年2月运动学得出结论:即二.刚体平动的特点:平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速度都一样。

即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。平动定理:当刚体平动时，刚体内各点轨迹的形状相同（或重叠），在同一瞬时各点都有相同的速度和加速度第18页，课件共67页，创作于2023年2月运动学§5-4-2刚体的定轴转动一.刚体定轴转动的特征及其简化定义：当刚体运动时，刚体内有一线段上的所有点始终保持不动，刚体的这种运动称为定轴转动，该直线称转轴。二.转角和转动方程

---转角,单位弧度(rad)

=f(t)---为转动方程方向规定:从z轴正向看去,逆时针为正顺时针为负第19页，课件共67页，创作于2023年2月运动学三.定轴转动的角速度和角加速度1.角速度：工程中常用单位：

n=转/分(r/min)则n与w的关系为:单位rad/s若已知转动方程第20页，课件共67页，创作于2023年2月2.角加速度:设当t时刻为

,t+△t时刻为

+△

与

方向一致为加速转动,

与

方向相反为减速转动

3.匀速转动和匀变速转动当

=常数,为匀速转动；当

=常数,为匀变速转动。常用公式与点的运动相类似。运动学单位:rad/s2(代数量)第21页，课件共67页，创作于2023年2月

,

是对整个刚体而言(各点都一样)；

v,a是对刚体中某个点而言(各点不一样)。运动学(即角量与线量的关系)§5-4-3定轴转动刚体上各点的速度和加速度一.线速度V和角速度

之间的关系R称为转动半径第22页，课件共67页，创作于2023年2月运动学二.角加速度

与an

,a

的关系第23页，课件共67页，创作于2023年2月运动学结论:①v方向与

相同时为正,

R,与R成正比。②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角

都一致,且小于90o,

在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:各点速度分布图各点加速度分布图第24页，课件共67页，创作于2023年2月运动学

我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速,它们变速的基本原理是什么呢?§5-4-4轮系的传动比一.齿轮传动因为是做纯滚动(即没有相对滑动)无论内、外啮合，都有：第25页，课件共67页，创作于2023年2月运动学定义齿轮传动比对于两个啮合的齿轮，其齿数Z1，Z2与齿轮的半径R1,R2成正比第26页，课件共67页，创作于2023年2月运动学由于转速n与w有如下关系：显然当:时,,为升速转动；时,,为降速转动。第27页，课件共67页，创作于2023年2月运动学三.链轮系:设有：A,B,C,D,E,F,G,H轮系,则总传动比为：其中m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。二.皮带轮系传动(而不是方向不同)皮带传动第28页，课件共67页，创作于2023年2月运动学§5-4-5定轴转动刚体的角速度、角加速度，其上各点的速度、加速度的矢量表示一.角速度和角加速度的矢量表示按右手定则规定，的方向。第29页，课件共67页，创作于2023年2月二刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示运动学先检查他们的方向—分别为切向和法向第30页，课件共67页，创作于2023年2月一.基本概念和基本运动规律及基本公式第五章点的运动学 和刚体的基本运动习题课运动学第31页，课件共67页，创作于2023年2月例5.6如图机构中，AB杆与套筒B固连，可在铅垂滑道内滑动，CD杆穿过套筒B与齿轮E固连，齿轮E的半径为r；曲柄OC长度为R、以匀角速度ω转动。齿轮G与齿轮E始终啮合。求：（1）齿轮G的半径，轮心的位置如何确定？（2）齿轮G的角速度。运动学第32页，课件共67页，创作于2023年2月解：（1）CD杆作平动，则点E的轨迹与C点轨迹相同，是一个半径为R的圆，该圆心G在OC的平行线上，且EG=OC。以G为圆心、半径分别为R-r、R+r的两个圆均可取为齿轮G

，前者为外啮合、后者为内啮合；图示为外啮合情况，因此，我们取齿轮G的半径R-r。运动学第33页，课件共67页，创作于2023年2月例5.7如图圆盘C以匀角速度ω绕倾斜轴OB转动，盘面与转轴垂直，圆盘的半径为r；设OB轴在平面Oyz内，盘面与平面Oyz的交线为CD，点A为圆盘边缘上一个固连点。求：CA与CD为任意角φ时A点的速度和加速度矢量。运动学解：以矢量思路考虑，有OB方向单位矢:CD方向单位矢:角速度矢量:第34页，课件共67页，创作于2023年2月运动学角加速度矢量:速度矢量:第35页，课件共67页，创作于2023年2月运动学§5-5刚体的定点转动（不讲）定义刚体运动时，如果其上有一点始终不动，则称该刚体作定点转动速度投影定理-----讲解刚体上任意两点在同一瞬时的速度在两点连线方向的投影相等。证明：设刚体上任意两点A、B，它们在同一瞬时的速度分别为vA，vB，则第36页，课件共67页，创作于2023年2月运动学点积矢量ABAB长度不变：AB换为AB方向的单位矢量：也必然成立速度投影定理刚体上任意两点在同一瞬时的速度在两点连线方向的投影相等。第37页，课件共67页，创作于2023年2月运动学定点转动刚体的角速度、角加速度和其上各点的速度、加速度设t瞬时某点A的速度vA≠0，vA⊥OA

（O为其定点）取含OA线的平面π⊥vA，取平面上异于OA线任取一点B，使vB≠vA，π平面上所有点的速度均垂直于该平面（对A、B应用速度投影定理面内分量必然都为零），π平面上任意直线上各点的速度必为直线分布；（否则△t时间后，该直线将被弯曲或伸缩，这对刚体是不容许的）。同理AB线上各点的速度也必须是直线分布，因为与矢端的连线不平行于π平面，这条矢端连线一定会与π平面相交，设交点为C，其速度必为零，所以OC线上所有点的速度为零（OC线上所有点的速度也必须直线分布）第38页，课件共67页，创作于2023年2月运动学在t瞬时，OC线是唯一的，若刚体上还有一条速度为零的直线，可推知这两条直线决定的平面上所有点的速度也为零，进一步可推知整个刚体的速度为零，这与vA≠0矛盾。在t至t+△t时间内，π平面只能绕OC线转动一个微小角度△φ，否则，在t+t瞬时，π平面将沿OC线折成一个角或变成凹凸不平的曲面，这对刚体是不容许的。由于π平面与刚体固连，在t至t+△t时间内，刚体的运动也只能是跟随π平面绕OC线转动一个微小角度△φ。因此在t到t+△t时间内，可以将刚体看成绕OC线作定轴转动，转过的角度为△φ，OC线称为刚体在t瞬时的瞬时转动轴，简称瞬轴。由以上分析得：定点转动刚体在每一瞬时都有一根瞬轴，刚体的定点转动是刚体绕一系列瞬轴转动的合成。在每一瞬时t，平面转角速率△φ(t)/△t便是刚体的瞬时角速度的值，按右手规则化为矢量，便是瞬时角速度矢量，与瞬轴共线第39页，课件共67页，创作于2023年2月运动学定义：角加速度矢量，与定轴转动刚体相比，定点转动刚体的瞬轴一般都在变化（无论是相对刚体的位置、还是相对于参考系的位置），定点转动刚体角速度矢量的大小、方向一般是随时间变化的，其作用线总是通过固定点O；由方程知，定点转动刚体的角加速度矢量α的大小、方向一般也是随时间变化的，并且α与ω的方向一般不在一直线上瞬时速度矢量微分得瞬时加速度矢量现在ω与α的方向是变化的第40页，课件共67页，创作于2023年2月5.7（曲率半径）5.10（平动和定轴转动）5.15（矢量法求线速度）习题第41页，课件共67页，创作于2023年2月运动学第五章结束42第42页，课件共67页，创作于2023年2月

§6–1点的运动矢量分析方法§6–2点的运动的直角坐标法§6–3点的运动的自然坐标法第六章点的运动学第43页，课件共67页，创作于2023年2月一.基本概念和基本运动规律及基本公式1.基本概念：直线运动,曲线运动(点);平动,定轴转动(刚体)。2.基本运动规律与公式:第五章点的运动学 和刚体的基本运动习题课运动学第44页，课件共67页，创作于2023年2月运动学第45页，课件共67页，创作于2023年2月刚体定轴转动转动方程:角速度:角加速度:匀速转动:匀变速运动:运动学第46页，课件共67页，创作于2023年2月二.解题步骤及注意问题1.解题步骤:①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。②选好坐标系：直角坐标法，自然法。根据已知条件进行微分，或积分运算。用初始条件定积分常数。对常见的特殊运动，可直接应用公式计算。运动学２．注意问题：①几何关系和运动方向。②求轨迹方程时要消去参数“t”。坐标系（参考系）的选择。

第47页，课件共67页，创作于2023年2月例题例一、列车圆弧行走[例4]

已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM＝0.4m，在某瞬时测得〔例6〕已知如图，O点以任一角度抛出一质点，试证明质点最早到达直线Ｌ的抛角为。第48页，课件共67页，创作于2023年2月三.例题[例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？运动学第49页，课件共67页，创作于2023年2月解：由于是匀变速运动，则常量。由公式而由已知列车走上曲线时，全加速度列车将要离开曲线时，全加速度运动学返回其中第50页，课件共67页，创作于2023年2月〔例2〕已知如图，求时正好射到A点且用力最小。分析：只有在A点，vy＝0且为最大高度时，用力才最小。解：由⑴⑵由于在A点时，vy=0，所以上升到最大高度A点时所用时间为：运动学第51页，课件共67页，创作于2023年2月将上式代入①和②，得：⑶运动学将代入③，得返回第52页，课件共67页，创作于2023年2月〔例3〕已知：重物A的（常数）初瞬时速度方向如图示。求：①滑轮3s内的转数；②重物B在3s内的行程；③重物B在ｔ＝3s时的速度；④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。

运动学第53页，课件共67页，创作于2023年2月）常数（（）解：①因为绳子不可以伸长，所以有

运动学②），③（滑轮3s内的转数重物B在3s内的行程重物B在ｔ＝3s时的速度第54页，课件共67页，创作于2023年2月④

t=0时，⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度运动学返回滑轮边上C点在初瞬时的加速度第55页，课件共67页，创作于2023年2月[例4]

已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM＝0.4m，在某瞬时测得求：

转动方程;

t＝5s时，Ｍ点的速度和向心加速度的大小。

解：

运动学M

第56页，课件共67页，创作于2023年2月

t＝5s时，Ｍ点的速度和向心加速度的大小当ｔ＝5s时，运动学M返回第57页，课件共67页，创作于2023年2月〔例5〕试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加速度。运动学返回第58页，课件共67页，创作于2023年2月〔例6〕已知如图，从O点以任一角度抛出一质点，试证明质点最早到达直线Ｌ的抛角为。（与上升的最大高度无关，只要求时间对抛射角度的变化率）运动学到达高度为h时，t与的关系有下式确定

解：选坐标系，则O第59页，课件共67页，创作于2023年2月欲使最早到达，必须满足

将

对求导数

将（最早到达的条件）代入，得

又证毕。运动学表示出在某一角度下时间会最短。（极值）返回

第60页，课件共67页，创作于2023年2月哈工大第六版习题7-17-4….7-87-127-14习题第61页，课件共67页，创作于2023年2月运动学课堂自学.①用柱坐标法给出点的运动方程。②与有何不同?就直线和曲线分别说明。(直线.曲线都一样),为速度的大小变化率,在曲线中应为切向加速度。柱坐标法方程62第62页，课件共67页，创作于2023年2月运动学③指出在下列情况下,点M作何种运动?<1>,<2>, <3><4>,<5><6> <7><8><9> <10> (匀变速直线运