新高一数学下期中试卷(附答案)

新高一数学下期中试卷(附答案)一、选择题1．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（）A． B．C． D．2．水平放置的的斜二测直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（）A． B． C．2 D．83．已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（）A． B． C． D．4．直线截圆所得弦的长度为4，则实数的值是（）A．－3 B．－4 C．－6 D．5．已知圆O：，过点作两条相互垂直的弦和，那么四边形的面积最大值为（）A．42 B．24 C． D．66．在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A． B． C． D．7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． C． D．8．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．9．若方程有两个相异的实根，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．10．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是A． B． C． D．11．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为()A． B． C． D．12．已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，,三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则______.14．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足，设，则的取值范围是__________．15．已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________．16．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______．17．若圆：与圆：关于直线对称，则______.18．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l，m是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．19．在各棱长均为的正四棱锥中，为线段上的一动点，则当最小时，_________20．如图，已知圆锥的高是底面半径的倍，侧面积为，若正方形内接于底面圆，则四棱锥侧面积为__________．三、解答题21．已知圆过点，，圆心在直线上，是直线上任意一点．（1）求圆的方程；（2）过点向圆引两条切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值．22．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C相切，圆心C的坐标为（1）求圆C的方程；（2）设直线y=x+m与圆C交于M、N两点.①若，求m的取值范围；②若OM⊥ON，求m的值.23．如图，直三棱柱的底面是边长为4的正三角形，，分别是，的中点.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，试求三棱锥的体积.24．已知圆内有一点，过点作直线交圆于两点．（1）当点P为AB中点时，求直线的方程；（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长．25．在中，已知，，点在轴上，边上的高线所在直线的方程为.（1）求点坐标；（2）求面积.26．如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面.（1）求证：平面；（2）求二面角二面角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.所以该陀螺模型的体积.故选：.【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.2．B解析：B【解析】【分析】依题意由的面积为，解得，所以，，根据勾股定理即可求．【详解】依题意，因为的面积为，所以，解得，所以，，又因为，由勾股定理得：．故选B．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题.利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x轴平行的线段仍然与轴平行且相等；二是与y轴平行的线段仍然与轴平行且长度减半.3．B解析：B【解析】由为偶函数得,所以,,所以,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.4．A解析：A【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.【详解】由题意，根据圆的方程，即，则圆心坐标为，半径，又由圆心到直线的距离为，所以由圆的弦长公式可得，解得，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．B解析：B【解析】【分析】设圆心到，的距离为，，则，，利用均值不等式得到最值.【详解】，即，圆心为，半径.在圆内，设圆心到，的距离为，，则.，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.6．C解析：C【解析】【分析】首先确定三角形为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形．所以：，在中，设外接圆的直径为，则：，所以：外接球的半径，则：，故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．7．A解析：A【解析】【分析】【详解】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积，故选A.考点：球的体积和表面积8．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，是一个直角三角形，其面积为．其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上，设小圆的圆心为，若四面体的体积的最大值，由于底面积不变，高最大时体积最大，所以，与面垂直时体积最大，最大值为，即，∴，设球心为，半径为，则在直角中，，即，∴，则这个球的表面积为：；故选Ｄ．考点：球内接多面体，球的表面积．9．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线与直线有2个交点，数形结合求得k的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到，表示以为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为，过定点，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为，当，直线与半圆有两个交点，AD与半圆相切时，，解得，，所以.故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.10．D解析：D【解析】【分析】设，分别为、边上的中点，由面面平行的性质可得落在线段上，再求的长度即可.【详解】解：设，，分别为、、边上的中点，则四点共面，且平面平面，又面，落在线段上，正方体中的棱长为，，即在侧面上的轨迹的长度是．故选．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.11．D解析：D【解析】【分析】取的中点，连接，则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取的中点，连接，则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角，设正三棱柱的各棱长为,则，设直线与所成角为，在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值为，故选D．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．C解析：C【解析】【分析】由已知可得三角形为直角三角形，斜边的中点就是的外接圆圆心，利用三棱锥的体积，求出到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．【详解】在中，∵，，得，则斜边的中点就是的外接圆的圆心，∵三棱锥的体积为，，解得，，球的表面积为．故选C．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.二、填空题13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案解析：【解析】【分析】棱与平面所成的角相等，所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出.【详解】因为棱与平面所成的角相等，所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面，，设棱长为：，，易知.故答案为：【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.14．【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平面则又则因为所以故综上的取值范围为点睛:立体几何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件解析：【解析】当位于的中点，点与中点重合，．随点到点，由，，得平面，则．又，，则．因为，，所以，故．综上，的取值范围为．点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.15．【解析】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得如图所示PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径且设正方体棱长为a则由得所以因为球心到平面ABC的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的解析：【解析】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示，PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且,设正方体棱长为a，则，由，得，所以，因为球心到平面ABC的距离为.考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力16．【解析】【分析】由曲线y=3+得（x﹣2）2+（y﹣3）2=40≤x≤4直线y=x+b与曲线y=3+有公共点圆心（23）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2由此结合图象能求出实数b的取值范围【详解析：【解析】【分析】由曲线y=3+，得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b与曲线y=3+有公共点，圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b的取值范围．【详解】由曲线y=3+，得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，0≤x≤4，∵直线y=x+b与曲线y=3+有公共点，∴圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2，即∵0≤x≤4，∴x=4代入曲线y=3+，得y=3，把（4，3）代入直线y=x+b，得bmin=3﹣4=﹣1，②联立①②，得．∴实数b的取值范围是[﹣1，1+2]．故答案为.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．17．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为解析：【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上，圆的半径也为，即可求出参数的值.【详解】解：因为圆：，即，圆心，半径，由题意，得与关于直线对称，则解得，，圆的半径，解得.故答案为：【点睛】本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.18．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α解析：②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解.【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m可以和面β成任意角度，①不正确；l⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正解析：【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上，连，即可求出满足最小时，点的位置，以及长，解，即可求出结论.【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上，连与交点即为满足最小，正四棱锥各棱长均为，在平展的平面中四边形为菱形，且，，在正四棱锥中，在中，.故答案为:.【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.20．【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答解析：.【解析】分析：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，由圆锥侧面积为，可得，结合，利用三角形面积公式可得结果.详解：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，因为圆锥侧面积为，，，设正方形边长为，则，正四棱锥的斜高为，正四棱锥的侧面积为，故答案为.点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.三、解答题21．（1）（2）【解析】【分析】（1）首先列出圆的标准方程，根据条件代入，得到关于的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，，这样求面积的最小值即是求的最小值，当点是圆心到直线的距离的垂足时，最小.【详解】解：（1）设圆的方程为．由题意得解得故圆的方程为．另解：先求线段的中垂线与直线的交点，即解得从而得到圆心坐标为，再求，故圆的方程为．（2）设四边形的面积为，则．因为是圆的切线，所以，所以，即．因为，所以．因为是直线上的任意一点，所以，则，即．故四边形的面积的最小值为．【点睛】本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.22．（1）；（2）①；②或【解析】【分析】（1）假设圆的方程，利用以为圆心的圆与直线相切，即可求得圆C的方程；（2）①直线圆C交于M、N两点，根据圆心到直线的距离，半径，弦长之间的关系，得到关系式求出的范围.②设，联立直线与圆的方程，通过韦达定理以及判别式，通过OM⊥ON，求出的值即可.【详解】解：（1）设圆的方程是，依题意，直线与圆C相切，∴所求圆的半径，∴所求的圆方程是；（2）①圆心到直线的距离，，解得；②设，，消去，得到方程，由已知可得，判别式，化简得，①，由于OM⊥ON，可得又，所以②，由①，②得或，满足，故或.【点睛】本题重点考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，合理运用圆的性质是关键.注意韦达定理及整体思想的运用，属中档题.23．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）根据线面角求得棱柱的高，即可由棱锥的体积公式求得结果.【详解】（1）证明：如图，由直三棱柱知，又为的中点知，又，所以面，又平面，所以平面平面.（2）如图：设的中点为，连接，.因为是正三角形，所以.由直三棱柱知.所以平面，所以为直线与平面所成的角.即，所以，所以，在中，，.三棱锥的体积即为三棱锥的体积，所以.【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及由线面角求线段长，涉及棱锥的体积求解，属综合中档题.