理论力学课件八

第十六章虚位移原理在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。动力学2§16–1约束及其分类§16–2自由度广义坐标§16–3虚位移和虚功§16–4理想约束§16–5虚位移原理第十六章虚位移原理3

§16-1约束及其分类动力学

一、约束及约束方程

限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。

平面单摆例如：曲柄连杆机构4动力学根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：二、约束的分类1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。5动力学几何约束：运动约束：当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。约束条件不随时间改变的约束为定常约束。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。2、定常约束和非定常约束例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长l0,匀速v拉动绳子。x2+y2=(l0-vt)2

约束方程中显含时间t6动力学如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。3、完整约束和非完整约束如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。7在两背个相谁对的狐方向旬上同润时对格质点类或质档点系要进行崖运动男限制谅的约辽束称糊为双面畜约束。只脸能限皂制质参点或即质点盛系单懂一方膨向运腊动的县约束酬称为单面厨约束。动力拒学例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，是微分方程，但经过积分可得到（常数），该约束仍为完整约束。4、单晶面约定束和摧双面料约束几何茎约束丧必定营是完昂整约僵束，蝇但完甜整约山束未讯必是掌几何区约束神。非完升整约窄束一边定是今运动和约束港，但适运动如约束效未必炉是非鄙完整武约束改。刚杆x2+y2=l2绳x2+y2

l28动力牺学双面狮约束帮的约妙束方拔程为象等式臂，单押面约妖束的垄约束妙方程留为不孤等式黑。我们搞只讨灯论质备点或床质点苗系受牧定常喇、双依面、流完整邀约束适的情付况，右其约仗束方答程的挎一般刊形式振为（s为质厕点系手所受灿的约除束数护目，n为质蜜点系较的质败点个壮数）9动力倡学§1永6-现2自由叼度激广音义坐刃标一个您自由监质点贱在空咳间的稀位置钥：（x,y,z)例3个一个僻自由钟质点匀系在奇空间漏的位颂置：(xi,yi,zi)母(i=1东,2亩……n)贱3n个对一讲个非婶自由听质点线系，蓄受s个完螺整约猴束，弯（3n-s)个独粮立坐滔标。其自勾由度弱为k=3n-s。确定仆一个揭受完瓜整约恩束的弄质点奸系的专位置仿所需劝的独娇立坐霸标的征数目撑，称办为该芳质点号系的自由卷度的转数目，简忠称为自由术度。例如,前述曲柄笑连杆赚机构例子打中,兵确油定曲挣柄连职杆机推构位素置的砌四个胸坐标xA、yA、xB、yB须满瞒足三粒个约河束方瓜程,索因此随有一个疲自由近度。10动力伙学一般基地，怖受到s个约参束的管、由n个质闪点组言成的炸质点电系，数其自劲由度存为通常钩，n与s很大臂而k很小阅。为柳了确赶定质振点系焦的位蜜置，疤用适娃当选逝择的k个参崇数（犬相互难独立迫），筒要比夫用3n个直叫角坐惩标和s个约逃束方经程方绳便得诉多。用来盛确定菌质点另系位北置的巧独立恰参数宪，称裹为广义梳坐标。广义凡坐标赵的选新择不护是唯败一的吧。广醋义坐魔标可炕以取绝线位卧移（x,y,z,s等）蔬也可嗓以取象角位丈移（斤如

,

,

,

等）夺。在侦完整项约束箱情况吵下，材广义团坐标递的数潜目就博等于概自由仓度数姥目。11动力暖学例如：曲精柄连馒杆机工构中坝，可疲取曲栗柄OA的转宋角

为广抗义坐摧标，古则：广义卡坐标泡选定获后，寨质点狸系中钱每一信质点剖的直臂角坐烟标都胜可表品示为放广义铁坐标顾的函危数。12动力氧学例如：双妨锤摆律。设垮只在待铅直博平面井内摆枕动。两个拴自由随度取广壶义坐肯标

，

13动力察学一般峰地，湿设有峰由n个质编点组徒成的淡质点府系，好具有k个自坊由度谅，取q1、q2、……、qk为其姨广义燃坐标戒，质量点系弊内各演质点蓄的坐押标及洒矢径茅可表室为广示义坐竿标的神函数恨。14动力塘学§1结6-分3虚位芦移和贝虚功在质港点系灶运动被过程奇的某赵瞬时们，质黑点系毫中的返质点栋发生爹的为泥约束窃允许拣的任拍意的串无限扮小位守移，墙称为里质点鸭系（册在该集瞬时关）的虚位隶移。虚位熟移可填以是岛线位肆移，医也可央以是症角位帐移。桶通常世用变穗分符裂号

表示浊虚位捞移。M15动力脆学虚位朵移与肝真正议运动描时发仙生的仗实位袍移不怜同。实位狗移是击在一灭定的内力作涌用下但和给洪定的道初条冠件下在运动稼而实蛾际发艰生的眨；虚拆位移孕是在危约束舌容许去的条布件下删可能街发生驶的。实位起移具皱有确匪定的棕方向费，可竖能是谎微小勉值，浇也可翼能是肤有限档值；蹈虚位间移则尝是微蒙小位赶移，推视约号束情效况可侍能有里几种具不同宪的方下向。实位归移是掘在一臂定的线时间孤内发粉生的童；虚直位移糊只是案纯几钉何的冰概念密，完绿全与泰时间稼无关膨。在定刊常约沈束下麦，微晋小的轮实位迫移必挑然是灭虚位有移之义一。巧而在拴非定帐常约留束下塔，微馆小实涉位移怕不再攻是虚骨位移干之一版。16动力勤学质点普系中盯各质研点的逆虚位邀移之兄间存让在着址一定狗的关愿系,确定粗这些乒关系罚通常贺有两仙种方翼法：(一)几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，即因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。17动力挎学(二)解析绕法。质块点系除中各金质点经的坐产标可撇表示陆为广概义坐管标的栗函数渗（q1,q2,…女…,qk），广义先坐标屋分别友有变箱分案，各壶质点俗的虚绝位移衰在充直角仅坐标扫上的东投影漠可以计表示阿为18动力桐学[例1]分析悦图示器机构愉在图斥示位从置时厕，点C、A与B的虚谦位移似。(已知OC=BC=a，OA=l)解：此垦为一库个自疤由度急系统肠，取OA杆与x轴夹魔角

为广展义坐蒜标。1、几僻何法19动力臣学将C、A、B点的参坐标吓表示庙成广义确坐标

的函唱数，肿得2、解院析法对广显义坐乓标

求变指分，役得各雄点虚棕位移良在相门应坐董标轴私上的骗投影盛：20动力白学力在质费点发引生的堡虚位凭移脉上所爬作的设功称鬼为虚功，记红为承。21动力封学§1能6-被4理想冰约束如果主在质滤点系赚的任池何虚删位移引上，烟质点旦系的岔所有暗约束违反力崭的虚嘉功之帮和等痰于零红，则熄称这尚种约逆束为理想殿约束自。质点庆系受激有理著想约的束的在条件按：22动力侧学理想笑约束醋的典冠型例亏子如干下：1、光计滑支助承面2、光发滑铰坐链3、无朋重刚旁杆4、不典可伸厕长的熔柔索5、刚遗体在怕粗糙唱面上朋的纯维滚动23动力培学§1桨6-挖5虚位概移原瓶理一、跳虚位袭移原忠理具有序定常主、理田想约尸束的径质点细系，愧平衡富的必粘要与喂充分进条件闹是：隐作用截于质粉点系冠的所播有主范动力晶在任谜何虚骗位移武上所然作的认虚功齿之和显等于舱零。茫即解析辜式：24动力其学证明：(1)必要性：即质点系处于平衡时，必有∵质楚点系骆处于撇平衡烟∴裳选取缠任一罪质点Mi也平脱衡。对质点Mi的任一虚位移，有由于偏是理留想约卫束所以对整裙个质哭点系爆：25动力俩学(2熊)充分往性：尊即当茅质点铸系满债足纷，质瓣点系弟一定要平衡淡。若鼠，因而质兵点系燥不平叙衡，煤则至朋少有精第i个质热点不良平衡多。在方向上产生实位移，取，则对质点系：(理想约束下，)与前扛题条养件矛际盾故时质点系必处于平衡。26动力甩学二、亩虚位原移原批理的页应用1、系统芦在给贪定位鹊置平峡衡时啊，求仇主动溜力之就间的萌关系泡；2、求系惰统在夜已知滩主动仗力作箱用下太的平误衡位筹置；3、求系供统在看已知董主动罪力作皆用下陡平衡观时的搜约束谈反力某；4、求平湾衡构现架内外二力缘瑞杆的片内力柔。27动力广学例1图示络椭圆致规机具构，蛮连杆AB长l，杆重境和滑茧道摩闭擦不叛计，兵铰链摄为光滴滑的篮，求鸡在图喂示位存置平麦衡时惩，主凭动力温大小P和Q之间炎的关若系。解：研弟究整着个机哈构。些系统甜的所帽有约每束都托是完拼整、叔定常京、理休想的救。28动力导学1、几何法：使A发生虚位移，B的虚位移，则由虚位移原理，得虚功方程：由的任意性，得29动力坐学2、解向析法由于两系统潮为单酒自由热度，可取

为广箭义坐李标。由于任意，故30动力妻学解：这谎是一醋个具恒有两竭个自柜由度辛的系验统，国取角

及

为广秃义坐火标，深现用趟两种绵方法劣求解马。例2均质其杆OA及AB在A点用碰铰连篇接，轮并在O点用棕铰支渗承，忠如图纯所示完。两狱杆各准长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加左水平堤力F以维抖持平享衡，狼求两围杆与喂铅直晃线所地成的絮角

及

。y31动力幅学应用惭虚位镰移原适理，代入(a)式，叼得：解法欢一：32动力兔学由于是彼此独立的，所以：由此溉解得斤：33动力前学而代入肠上式拜，得解法昏二：先使

保持不变，而使

获得变分，得到系统的一组虚位移，如图所示。34动力吵学再使

保持传不变脂，而伯使

获得已变分杰，得超到系预统的似另一嚼组虚赌位移啊，如首图所护示。而代入龙上式孝后，言得：图示歉中：35动力碌学例3多跨渔静定项梁，沫求支愈座B处反绩力。解：将支座B除去，代入相应的约束反力。36动力扩学37动力恨学例4滑套D套在日光滑悼直杆AB上，责并带萍动杆CD在铅沈直滑千道上渐滑动妥。已搜知

=0o时，广弹簧险等于菊原长阳，弹崖簧刚片度系士数为恼5(k温N/嫂m)，求在辉任意使位置惕（

角）箭平衡粮时，配加在AB杆上赔的力净偶矩M？解：这夺是一丧个已绵知系呢统平寻衡，随求作熔用于底系统障上主军动力阅之间称关系栽的问呜题。辆将弹活簧力赚计入挖主动以力，仰系统稠简化任为理聪想约拿束系遥统，队故可波以用蛙虚位减移原惹理求蛮解。38动力洽学选择AB杆、CD杆和递滑套