9.2.4总体离散程度的估计教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.4总体离散程度的估计一、内容和内容解析内容：极差、方差和标准差的概念和统计含义，总体方差或标准差的估计.内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第九章第2节第4课时的内容．在统计学中，为了了解一组数据的特征，我们可以从这组数据的取值规律、集中趋势和离散程度等进行研究.一组数据的离散程度可以反映这组数据的波动情况或稳定性.刻画一组数据的离散程度的统计量有很多，最常用的是极差、方差和标准差．极差是一种较为简单的刻画方式，它反映了一组数据的取值范围.极差只用了这组数据中最大和最小两个数据的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差包含的信息量极少.方差运用平均距离的思想来刻画一组数据的离散程度，它反映了各个数据聚集于平均数周围的程度.方差越小，表明该组数据在平均数的周围越集中；方差越大，表明该组数据越分散.方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.对方差开平方，取其算术平方根得到标准差.标准差的单位与数据的单位相同，其含义与方差相同.假设有两组数据，而且已知每组数据的观测个数、平均数和标准差(或方差)，可以通过它们直接计算两组数据合并后全部数据的方差，这大大提高了计算效率.如果一组数据是总体中全部个体的观测值，那么这组数据的方差，标准差和极差就称为总体的方差、标准差和极差，如果这组数据是样本观测值，那么这组教据的方差、标准差和极差就是样本的方差、标准差和极差.与用样本均值估计总体均值的思想类似，可以用样本方差，标准差和极差估计总体方差、标准差和极差.二、目标和目标解析目标：（1）通过实例、理解极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义．（2）掌握用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法，体会样本估计总体的思想，发展数据分析素养．目标解析：（1）知道极差、方差、标准差可以刻画数据离散程度，反映数据的稳定性；能用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行比较和评价；能用平均数和标准差描述数据的取值范围；知道多数数据在平均数减去两倍标准差与平均数加两倍标准差的范围内.（2）对于通过试验、简单随机抽样等途径获得的样本数据，会计算样本方差和样本标准差；对于两组数据汇总得到的数据，能通过两组数据各自的样本量、平均数和标准差(或方差)计算两组数据合并后所有数据的平均数和标准差(或方差).能用样本数据的方差和标准差估计总体的方差和标准差，在此过程中体会样本估计总体的思想．基于上述分析，本节课的教学重点定为：方差和标准差的意义与计算；已知两组数据的观测个数、平均数和标准差或方差时，两组数据合并后所有数据的平均数和标准差的计算方法与思想．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：在大数据时代，数据众多，有时需将不同来源的数据进行整合.针对数据多、计算量大的实际问题，可以采用分步计算的方法，先分别处理不同来源的数据，再计算所有数据的统计结果.在分层随机抽样中，每层得到的调查数据作为一个组，学生已经学习了已知每组数据的均值和样本量，计算两组数据合并后所有数据总均值的方法——加权平均，但总方差的计算需要知道每组数据的个数、平均数和标准差.在推导总方差的计算公式时，需要用符号对样本进行表示，通过代数变形进行推导，推导过程较复杂.学生在初中仅会计算简单数据的方差，对这类问题未曾接触，同时学生对大量复杂的数学符号存在认知障碍.解决方案：在教学过程中，教师应尽量多用语言(符号代表的统计意义)对公式的含义进行解释，帮助学生逐步适应复杂的数学符号．基于上述情况，本节课的教学难点定为：已知每组数据个数、平均数和方差，获得各组数据合并后全部数据的方差的计算公式，及计算中的递推思想.四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到方差、标准差、极差的公式，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用计算器或计算机软件计算方差．既可以解决复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视极差、方差、标准差的推导与证明，让学生体会到数学推导的基本过程，同时，公式的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境，引入新课[问题1]有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:甲:78795491074乙:9578768677如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?[问题2]甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?他们的平均成绩一样吗?[问题3]难道这两个人的水平就没有什么差异了吗?你能作出这两人成绩的频率分布条形图来说明其水平差异在哪里吗?教师1：提出问题1．学生1：学生思考.教师2：提出问题2．学生2：经计算得x甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7同理可得x乙=7.他们的平均成绩一样教师3：提出问题3．学生3：从图上可以直观地看出,他们的水平还是有差异的,甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.通过具体问题，让学生感受反映样本数字离散程度的估计量；极差、方差与标准差学学习解决实际问题中的运用，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。探索交流，解决问题[问题4]标准差和方差各指什么？[问题5]标准差和方差的特征各是什么？[问题6]分层随机抽样的方差是什么？[问题7]如何理解方差与标准差的概念？教师4：提出问题4．学生4：1.方差、标准差的定义数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为.2.总体方差、总体标准差的定义如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq\x\to(Y)，则称S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,)(Yi－eq\x\to(Y))2为总体方差，S＝eq\r(S2)为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq\x\to(Y))2.3.样本方差、样本标准差的定义如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq\x\to(y)，则称s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2为样本方差，s＝eq\r(s2)为样本标准差．教师5：提出问题5．学生5：差、标准差特征标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．教师6：提出问题6.学生6：设样本容量为n，平均数为eq\x\to(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，则这个样本的方差为s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(x,\s\up6(－))2－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．教师7：提出问题7.学生7：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.通过思考，引入方差、标准差和极差的概念，提高学生分析问题、概括能力。典例分析，举一反三1.方差、标准差的计算例1.甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．2.分层随机抽样的方差例2.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？3.数字特征的综合应用例3某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，跳高1.65m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70m方可获得冠军呢？[课堂练习1]为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．理科：79,81,81,79,94,92,85,89文科：94,80,90,81,73,84,90,80计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好？[课堂练习2]在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差．教师8：完成例题1.学生8：(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定．教师9：完成例题2.学生9：由题意可知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为eq\f(1,1＋4)＝eq\f(1,5)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为eq\f(4,1＋4)＝eq\f(4,5)，则甲、乙两队全部队员的平均体重为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×60＋eq\f(4,5)×70＝68(kg)，甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝eq\f(1,5)[200＋(60－68)2]＋eq\f(4,5)[300＋(70－68)2]＝296.教师10：完成例题3．学生10：甲的平均成绩和方差如下：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.0006.乙的平均成绩和方差如下：eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.00315.显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65m就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70m的可能性大于甲，所以若跳高1.70m方可获得冠军，应派乙参赛．教师11：布置课堂练习1、2．学生11：完成课堂练习，并核对答案．通过实例分析，让学生掌握反映样本数字离散程度的估计量；极差、方差与标准差的计算方法，并熟悉的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。[课堂练习1]巩固方差、标准差的计算公式．[