第一篇代数与近世代数专题2群、环、域等新定义问题微点2群、环、域等新定义问题综合训练VIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第一篇代数与近世代数专题2群、环、域等新定义问题微点2群、环、域等新定义问题综合训练加习题第一篇代数与近世代数专题2

群、环、域等新定义问题微点2

群、环、域等新定义问题综合训练一、单选题：1．对于任意的两个数对和，定义运算，若，则复数为

A． B． C． D．2．对于任意实数x，y，把代数运算的值叫做x与y的“加乘和谐数”，记作符号“”，其中a，b，c是常数，若已知，，若恒成立，则当且仅当非零实数m的值为A．2 B．4 C．6 D．8（2023辽宁沈阳外国语学校模拟）3．设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合，，我们定义集合运算且，．若，，则表示的6位字符串是（

）A．101010 B．011001 C．010101 D．000111（2023福建泉州五校联考）4．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．长方体的体积（2022广东茂名调研）5．一个二元码是由和组成的数字串（），其中（，，，）称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由变为，或者由变为）.已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：，其中运算定义为：，，，.已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了，那么用上述校验方程组可判断等于（

）A． B． C． D．（2023上海交通大学附中模拟）6．若集合且，则称构成的一个二次划分.任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，（其中为除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（

）A．能构成素域当且仅当是素数 B．C．是最小的素域（元素个数最少） D．二、多选题7．定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（

）A．对任意的，有B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立C．若与垂直，则与共线D．若与共线，则与的模相等8．非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（

）A．为，为自然数的减法B．为，为有理数的乘法C．为，为实数的加法D．已知全集，集合，为，为实数的乘法（2023江苏苏州五中月考）9．非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G关于运算为“融洽集”的是（

）A．，为实数的乘法 B．，为整数的加法C．，为整数的乘法 D．，为多项式的加法三、填空题：10．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=．例如：(-3)☆2=

=2．从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a，b(a≠b)的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是．11．对于任意的两个数对､，定义运算，若，则复数.（2023福建永安三中模拟）12．对于实数a和b，定义运算“”，，函数，若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是.13．非空集合关于运算满足：①对任意，都有；②存在使对一切都有，则称是关于运算的融洽集，现有下列集合及运算：①是非负整数集，运算：实数的加法；②是偶数集，运算：实数的乘法；③是所有二次三项式组成的集合，运算：多项式的乘法；④，运算：实数的乘法；其中为融洽集的是14．非空集合G关于运算满足：①对于任意都有；②存在，使对一切都有，则称G关于运算为和谐集，现有下列命题：①G={为偶数}，为复数的乘法，则G为和谐集．②G={二次三项式}，为多项式的加法，则G不是和谐集．③若为实数的加法，G且G为和谐集，则G要么为，要么为无限集．④若为实数的乘法，G且G为和谐集，则G要么为，要么为无限集．其中正确的有．四、解答题（2023河北邢台六校联考）15．中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，，规定：．（1）计算：；（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；（3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素．（2023江苏苏州高新区一中月考）16．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，集合且，．(1)求全集和集合.(2)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由．(3)若，且，求出实数的取值范围.17．通信编码信号利用信道传输，如图1，若信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若信道传输失败，则接收端收不到任何信号.传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）．华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的极化码技术（以两个相互独立的信道传输信号为例）：如图3，信号直接从信道2传输；信号在传输前先与“异或”运算得到信号，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号或．（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“”表示：，，，．“异或”运算性质：，则）．假设每个信道传输成功的概率均为．．(1)在传统传输方案中，设“信号和均被成功接收”为事件，求：(2)对于极化码技术：①求信号被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定的值）的概率；②若对输入信号赋值（如）作为已知信号，接收端只解码信号，求信号被成功解码的概率.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【详解】试题分析：利用定义（a，b）*（c，d）=ad﹣bc，列出方程zi+z=1﹣i，表示出z，分子、分母同时乘以1﹣i得到z的值．详解：因为（a，b）*（c，d）=ad﹣bc，又（1，﹣1）*（z，zi）=1﹣i所以zi+z=1﹣i所以，故选D．点睛：本题是一道有关新定义的题，是近几年常考的题型，关键是理解新定义，将问题转化为熟悉的问题来解决．复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2．B【分析】由新定义的运算，及，，构造方程组，不难得到参数a，b，c之间的关系又由有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有，可以得到一个关于m的方程，解方程即可求出满足条件的m的值．【详解】根据题意，若已知，，则有，变形可得，．又由对于任意实数x恒成立，则有，m为非零实数，则，又由，则有．又由．解可得：．故选B．【点睛】本题考查合情推理的应用，关键是掌握“加乘和谐数”的定义，对于新定义的题目主要是认真读题，明白题意，转化为数学问题.3．C【分析】利用集合的新定义得出，再由集合的字符表示即可求解.【详解】由题意可得若，，则，所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，其余字符均为0，即表示的6位字符串是010101.故选：C4．C【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.【详解】解法一：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系，且，所以选项A错误；根据右手系知：与反向，所以，故选项B错误；因为，且与同向共线；又因为，且与同向共线，，与同向共线，所以，且与同向共线，，故选项C正确；因为长方体的体积为．又因为由右手系知向量方向垂直底面向上，与反向，所以，故选项D错误；故选：C．解法二：如图建立空间直角坐标系：，，，则，所以选项A错误；，则，故选项D错误；，故选项B错误；，则，，，则．所以，故选项C正确；故选：C．5．A【分析】根据校验方程组分别判断各位码元的正误.【详解】由已知得，故至少错误一个，又，正确，故均正确，，正确，故均正确，综上所述，错误，故选：A.6．D【分析】先证明出A选项正确，从而说明C选项正确，BD选项根据定义求解即可.【详解】能构成素域当且仅当是素数，理由如下：当为素数时，除0外，均与互素，此数记作，对于，考虑，若，则为的倍数，而为素数，故，故为的倍数，即，故存在，使得即可定义除法.当能构成素域，若是不素数，则，故对于，存在，使得，故为的倍数，故存在整数，使得，故，但，且为非零的整数，故不成立，故是素数.综上：能构成素域当且仅当是素数，A正确；因为，所以，B正确；根据A选项，由于2为最小的素数，有2个元素，元素个数最少，所以是最小的素域（元素个数最少），C正确；因为，所以，D错误；故选：D.【点睛】集合新定义，需要先读懂题干信息，正确理解，再此基础上举一反三，进行求解，本题中A选项的证明是解题的关键.7．AD【分析】由表示出和，即可判断A；假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即方程组，对任意恒成立，解方程可判断B；若与垂直，则，设，分别表示出与即可判断C；若与共线，则，设，分别表示出与即可判断D.【详解】设向量，，对于A，对任意的，有，故A正确；对于B，假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程组，对任意恒成立，而此方程组无解，故B不正确；对于C，若与垂直，则，设，则，，其中，故C不正确；对于D，若与共线，则，设，，，所以与的模相等，故D正确.故选：AD.【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.8．BC【分析】对每个选项逐一判断，结合实数的运算以及特殊值法判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件；对于B选项，若，对任意的、，则，B满足条件；对于C选项，若，对任意的、，则，C满足条件；对于D选项，已知全集，集合，，取，，则，D不满足条件.故选：BC.9．AB【分析】根据是关于运算⊕为“融洽集”的定义，逐一分析四个集合及运算是否满足定义，可得答案．【详解】对于，，为实数的乘法满足（1），且存在满足（2），故是关于运算⊕的融洽集，正确，对于，非负整数，为整数的加法满足（1），且存在满足（2），故是关于运算⊕的融洽集，正确，对于，偶数，为整数的乘法，若存在满足（2），则为奇数，与已知矛盾，故不是关于运算⊕的融洽集，错误，对于，，为多项式的加法．两个二次三项式的和不一定是二次三项式，不满足（1），故不是关于运算⊕的融洽集，错误，故选：．10．8【详解】解：当a＞b时，a☆b==a，a最大为8；当a＜b时，a☆b==b，b最大为8，故答案为8．11．【分析】利用定义，列出方程zi+z=1﹣i，表示出z，分子、分母同时乘以1﹣i得到z的值．【详解】因为，又所以zi+z=1﹣i所以，所以故答案为：.12．【分析】化简函数的解析式，作出函数的图像，由题意可得函数与的图像有两个交点，结合图像求得结果【详解】当，即时，，当，即或时，，函数的图像如图所示，由图像可得，要使函数恰有两个零点，只要函数与的图像有两个交点，对于，当时，，当时，，因为，所以由图可知或，所以实数c的取值范围是，故答案为：13．①④【分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集”【详解】①对于任意非负整数,则仍为非负整数,即；取,则,故①符合题意；②对于任意偶数,则仍为偶数,即；但是不存在,使对一切都有,故②不符合题意；③对于是所有二次三项式组成的集合,若,不再是二次三项式,故③不符合题意；④对于,设,,则,即；取,则,故④符合题意,故答案为:①④【点睛】本题考查对新定义“融洽集”的理解,考查理解分析能力14．②③【分析】根据已知中关于和谐集的定义：非空集合G关于运算满足：①对于任意都有；②存在，使对一切都有，我们利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得到答案．【详解】对于为偶数，为复数的乘法，则根据偶数的和还是偶数，故满足条件①，但不存在，使对一切都有，不满足条件②，故①为偶数为复数的乘法，G为和谐集不正确；对于二次三项式，若时，的两个同类项系数，则其和不再为三项式，故G不是和谐集，故②正确；对于为实数的加法且为和谐集，要么为时满足要求，若G中存在不为0的实数元素，则必为无限集，故③正确；若为实数的乘法且为和谐集，则G可以为，也可以为，故④错误；故答案为：②③.15．（1）（2）交换律：，证明见解析（3）【分析】（1）根据题中条件，直接计算，即可求出结果；（2）直接得出，再证明，由题中规定，分别得到与，即可证明结论成立；（3）根据题意，由（2）的结果，得到只需，根据题中规定，得到只需，分别讨论和两种情况，即可得出结果.【详解】（1）因为对于中的任意两个元素，，规定：．所以．（2）交换律：，证明如下：由题知：，，∴．（3）若中的元素，对，都有成立，由（2）知只需．故，即．①若，显然有成立；②若，则，解得．∴当对