第二篇函数与导数专题4不等式微点1均值不等式

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第二篇函数与导数专题4不等式微点1均值不等式第二篇函数与导数专题4

不等式微点1

均值不等式【微点综述】在数学研究中，有许多形式优美而且具有重要应用价值的不等式，一般称其为重要不等式．本文着重探讨均值不等式基本形式、变形及其应用．【典例刨析】一、高等数学知识：1．从二元、三元到元均值不等式，，．以上不等式等号当且仅当各字母相等时取等号．2．二元和三元的几个变形用好不等式，等不等式．以上不等式等号当且仅当各字母相等时取等号．3．几种平均数的比较（均值不等式链），记，分别称为这个正数调和平均、几何平均、代数平均、平方平均，则有，当且仅当时取等号．即个正数调和平均不超过它们的几何平均，不超过它们的代数平均，不超过它们的平方平均．证明：首先证明，即要证．不妨设，于是，等号当且仅当时成立．因为，即．（*）下面用数学归纳法证明．显然当时，成立；当n＝2时，也成立．假设当且时成立，那么对，，…，和这k个数有，从而有，两边同乘以，得．由（*）式得，即得．所以对n＝k＋1也成立，得证．在中，将，，．．．，分别换成，，…，得不等式，即．【反思】均值不等式常常用来证明一些其他的不等式、求解函数的极值和确定函数的值域等，特别是当n＝2时的不等式，更是随处可见．4．不等式的对称性设是一个元函数．若将中任意的两个变元互相交换位置，得到的与原式是恒等的，则称是完全对称的，如，等．设是一个元函数．若作置换，得到的与原式是恒等的，则称是轮换对称的，如，等．显然，完全对称的一定是轮换对称的．二、应用（一）应用均值不等式求函数的最值（值域）1．求函数的值域．【答案】【分析】利用基本不等式计算即可得到答案.【详解】由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立．所以函数的值域为．2．某加工厂有一块三角形的铁板余料（如图），经测量得知：，，．工人师傅计划用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱，设计方案为：将图中的阴影部分（含的3个角）切去，再把它沿虚线折起，请计算当容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【答案】当容器的高为时，容器的容积最大，最大容积是【分析】设容器的高为x，由题意可得，，，，于是可求得，从而可得容器的容积V的表达式，通过凑“定值”，利用均值不等式求最值即可．【详解】设容器的高为x，由，，，得．从而，，，，于是，，．又由，可得．设容器的容积为V，则，当且仅当，即时，．【反思】建立目标函数、凑“定值”是利用均值不等式求最值的关键．本题也可利用求导进行处理．，令，由，得．当时，．3．已知x＞0，y＞0，且+=1，求x+y的最小值.【答案】16【分析】利用“”的代换的方法化简，再结合基本不等式求得的最小值.【详解】∵+=1，∴x+y=(x+y)·(+)=10+.

∵x＞0，y＞0，∴≥2=6.当且仅当，即y=3x时，取等号.又+=1，∴x=4，y=12.∴当x=4，y=12时，x+y取得最小值16.（二）应用均值不等式研究函数的单调性4．证明：数列为严格单调递增数列．【答案】证明见解析【分析】根据递增数列的定义，取，，利用均值不等式证明即可.【详解】证明：取，，则由均值不等式可得，即得，所以数列为严格单调递增数列．（三）应用均值不等式证明不等式5．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.【答案】证明见解析.【分析】根据已知对不等式左边的式子进行变形，结合基本不等式进行证明即可.【详解】证明：(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)，(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2·2·2＝8abc.当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了推理论证能力.6．设正实数a、b、c满足：，求证：对于整数，有．【答案】证明见解析【分析】本不等式是对称不等式，显然当时取等号．从不等式局部入手，当时，，用元均值不等式即可求解．【详解】因为，所以.同理可得.三式相加可得：【点睛】对于对称型不等式,有时从整体考虑较难入手,故比较管用的手法是从局部入手,从局部导出一些性质为整体服务,这里的局部可以是某一单项也可以是其中的若干项.【反思】对于对称型不等式，有时从整体考虑较难入手，故比较管用的手法是从局部入手，从局部导出一些性质为整体服务，这里的局部可以是某一单项也可以是其中的若干项．7．已知，，求证：．【答案】证明见解析【分析】根据式子特征，将化成，同理变形其它，即可将原不等式等价转化为证明成立，利用均值不等式即可容易证出.【详解】因为，所以原不等式可等价于而，即成立，∴．【反思】如果没有明显的解题思路时，分析法是不等式的一种证明方法．8．设正实数满足，正实数满足，求证：．【答案】证明见解析【分析】如果从不等式局部入手，相乘，得，而，不等式方向不能传递，因此考虑多项式展开，再作打算．【详解】证明：，，，，，故.【反思】注意均值不等式是“和大于等于积”，依此确定配凑方法．9．设是正实数，求证：．【答案】证明见解析【分析】将原不等式两边平方转化为，结合换元法与均值不等式即可证明结论.【详解】两边平方，并将所要证明的不等式改写为：记于是有，且由均值不等式得：【反思】本题用了数列中的裂项相消法，配出和为定值是关键．10．求最小的实数m，使得对于满足的任意正实数a，b，c，都有．【答案】27【分析】方法一：先利用均值不等式证明得，从而得到的最大值，进而利用恒成立问题的解法即可得解，解析过程要注意等号成立的条件.【详解】因为当时，有，所以下面只需证明不等式对于满足a+b+c=1的任意正实数a，b，c都成立．[方法一]：因为，所以，即，当且仅当时，等号成立；同理，，当且仅当时，等号成立；所以，当且仅当时，等号成立；因为，所以，当且仅当时，等号成立，即；因为，，，当且仅当时，等号成立；所以，当且仅当时，等号成立；所以，当且仅当时，等号成立，即；又因为，所以，当且仅当时，等号成立，即，因为，则，所以，即的最大值为，而恒成立，即恒成立，所以，即m的最小值为27.[方法二]：，，则，①由幂平均不等式，得，②①②相加得证，∴m的最小值为27．[方法三]：∵对于，构造函数，，由题意在处取得极小值，∴解得：，故，，故，．∴，把上面三个不等式相加，得，∴m的最小值为27．【针对训练】11．当时，求的最大值．【答案】【分析】利用凑项法使得两式和为定值，再利用基本不等式即可得解.【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．12．求出最大的正实数，使得对于满足的任何实数成立不等式：．【答案】2【分析】根据式子结构，把变为，利用基本不等式，根据取等号的条件求出的值.【详解】要求的最大值成立，根据式子结构，构造出．所以，（当且仅当，即当时，上述两个等号可同取到）.令，且为正实数，解得：．13．是直角三角形的三边，为斜边，求使恒成立的的最大值．【答案】【分析】解法一：令，则，利用同角三角函数关系式，转化为函数关系，利用导数确定单调性及取值情况，即可求得的最大值．解法二：令根据利用基本不等式求得最值即可.【详解】解法一：令，则再令，则，，∴在上是减函数，故当即时，，从而．解法二：猜测时，．，∵，又，，，所以，从而，当且仅当时，等号成立，故，从而．14．设，且，求证：【答案】证明见解析【分析】根据均值不等式结合三角函数关系求证即可.【详解】令，则，且则，同理所以又，所以.15．，，求证：【答案】证明见解析【分析】先利用均值不等式及不等式的性质证明，再结合分析法及均值不等式、函数的最值证明，得证.【详解】因为，所以，即，当且仅当时，等号成立；欲证明，只需证明，①设，则，当且仅当时，等号成立；设，则，当且仅当时，等号成立；从而①等价于，即成立，因为，所以，所以成立，所以成立，综上，.16．为互不相等的正数，求证：【答案】证明见解析【分析】根据时，可得，从而结合均值不等式类推得证.【详解】当时，所以所以.17．已知，，求证：.【答案】证明见解析【分析】由得，结合已知得①，又得②，结合①②即可得证.【详解】当且仅当即时，取等号，故由得，①，又当且仅当时，取等号，，当且仅当时，取等号，②，结合①②两式得，即．18．正数满足，证明：【答案】证明见解析【分析】由已知可得，从而，结合基本不等式即可证得结论.【详解】∵，∴，∴．19．为正数，证明：【答案】证明见解析【分析】利用分析法，结合基本不等式证明即可.【详解】，原不等式等价于，展开即需证明．令，则只需证明，即证，而，三式相加可得，所以原不等式得证．20．实数满足，证明：．【答案】证明见解析【分析】利用均值不等式证明【详解】．21．对正数，证明【答案】证明见解析【分析】不妨设，由原不等式逐步寻找使不等式成立的等价条件，利用分析法证明.【详解】不妨设，原不等式，这是显然成立的，当且仅当取等号．所以原不等式成立．22．已知：，，求证：【答案】证明见解析【分析】注意到当时，有，于是有，利用作差法可证得，同理有，两式相加即可证得结论．【详解】从不等式局部入手，注意到当时，有，因为，于是有，而，故，同理有，两式相加得，故原不等式得证．23．，，求证：【答案】证明见解析【分析】从不等式局部入手，由，证得，同理，两式相乘即可证得结论．【详解】，即同理，，两式相乘得，原不