![第二篇函数与导数专题4不等式微点1均值不等式_第1页](http://file4.renrendoc.com/view/fc8bb182f47999cf9e7627bd910e4b19/fc8bb182f47999cf9e7627bd910e4b191.gif)
![第二篇函数与导数专题4不等式微点1均值不等式_第2页](http://file4.renrendoc.com/view/fc8bb182f47999cf9e7627bd910e4b19/fc8bb182f47999cf9e7627bd910e4b192.gif)
![第二篇函数与导数专题4不等式微点1均值不等式_第3页](http://file4.renrendoc.com/view/fc8bb182f47999cf9e7627bd910e4b19/fc8bb182f47999cf9e7627bd910e4b193.gif)
![第二篇函数与导数专题4不等式微点1均值不等式_第4页](http://file4.renrendoc.com/view/fc8bb182f47999cf9e7627bd910e4b19/fc8bb182f47999cf9e7627bd910e4b194.gif)
![第二篇函数与导数专题4不等式微点1均值不等式_第5页](http://file4.renrendoc.com/view/fc8bb182f47999cf9e7627bd910e4b19/fc8bb182f47999cf9e7627bd910e4b195.gif)
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
试卷第=page11页,共=sectionpages33页试卷第=page11页,共=sectionpages33页第二篇函数与导数专题4不等式微点1均值不等式第二篇函数与导数专题4
不等式微点1
均值不等式【微点综述】在数学研究中,有许多形式优美而且具有重要应用价值的不等式,一般称其为重要不等式.本文着重探讨均值不等式基本形式、变形及其应用.【典例刨析】一、高等数学知识:1.从二元、三元到元均值不等式,,.以上不等式等号当且仅当各字母相等时取等号.2.二元和三元的几个变形用好不等式,等不等式.以上不等式等号当且仅当各字母相等时取等号.3.几种平均数的比较(均值不等式链),记,分别称为这个正数调和平均、几何平均、代数平均、平方平均,则有,当且仅当时取等号.即个正数调和平均不超过它们的几何平均,不超过它们的代数平均,不超过它们的平方平均.证明:首先证明,即要证.不妨设,于是,等号当且仅当时成立.因为,即.(*)下面用数学归纳法证明.显然当时,成立;当n=2时,也成立.假设当且时成立,那么对,,…,和这k个数有,从而有,两边同乘以,得.由(*)式得,即得.所以对n=k+1也成立,得证.在中,将,,...,分别换成,,…,得不等式,即.【反思】均值不等式常常用来证明一些其他的不等式、求解函数的极值和确定函数的值域等,特别是当n=2时的不等式,更是随处可见.4.不等式的对称性设是一个元函数.若将中任意的两个变元互相交换位置,得到的与原式是恒等的,则称是完全对称的,如,等.设是一个元函数.若作置换,得到的与原式是恒等的,则称是轮换对称的,如,等.显然,完全对称的一定是轮换对称的.二、应用(一)应用均值不等式求函数的最值(值域)1.求函数的值域.【答案】【分析】利用基本不等式计算即可得到答案.【详解】由基本不等式知,当且仅当,即时等号成立.所以函数的值域为.2.某加工厂有一块三角形的铁板余料(如图),经测量得知:,,.工人师傅计划用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱,设计方案为:将图中的阴影部分(含的3个角)切去,再把它沿虚线折起,请计算当容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?【答案】当容器的高为时,容器的容积最大,最大容积是【分析】设容器的高为x,由题意可得,,,,于是可求得,从而可得容器的容积V的表达式,通过凑“定值”,利用均值不等式求最值即可.【详解】设容器的高为x,由,,,得.从而,,,,于是,,.又由,可得.设容器的容积为V,则,当且仅当,即时,.【反思】建立目标函数、凑“定值”是利用均值不等式求最值的关键.本题也可利用求导进行处理.,令,由,得.当时,.3.已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.【答案】16【分析】利用“”的代换的方法化简,再结合基本不等式求得的最小值.【详解】∵+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10+.
∵x>0,y>0,∴≥2=6.当且仅当,即y=3x时,取等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.(二)应用均值不等式研究函数的单调性4.证明:数列为严格单调递增数列.【答案】证明见解析【分析】根据递增数列的定义,取,,利用均值不等式证明即可.【详解】证明:取,,则由均值不等式可得,即得,所以数列为严格单调递增数列.(三)应用均值不等式证明不等式5.已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,证明:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.【答案】证明见解析.【分析】根据已知对不等式左边的式子进行变形,结合基本不等式进行证明即可.【详解】证明:(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b),(b+c)(a+c)(a+b)≥2·2·2=8abc.当且仅当b=c=a=时,等号成立.【点睛】本题考查了基本不等式的应用,考查了推理论证能力.6.设正实数a、b、c满足:,求证:对于整数,有.【答案】证明见解析【分析】本不等式是对称不等式,显然当时取等号.从不等式局部入手,当时,,用元均值不等式即可求解.【详解】因为,所以.同理可得.三式相加可得:【点睛】对于对称型不等式,有时从整体考虑较难入手,故比较管用的手法是从局部入手,从局部导出一些性质为整体服务,这里的局部可以是某一单项也可以是其中的若干项.【反思】对于对称型不等式,有时从整体考虑较难入手,故比较管用的手法是从局部入手,从局部导出一些性质为整体服务,这里的局部可以是某一单项也可以是其中的若干项.7.已知,,求证:.【答案】证明见解析【分析】根据式子特征,将化成,同理变形其它,即可将原不等式等价转化为证明成立,利用均值不等式即可容易证出.【详解】因为,所以原不等式可等价于而,即成立,∴.【反思】如果没有明显的解题思路时,分析法是不等式的一种证明方法.8.设正实数满足,正实数满足,求证:.【答案】证明见解析【分析】如果从不等式局部入手,相乘,得,而,不等式方向不能传递,因此考虑多项式展开,再作打算.【详解】证明:,,,,,故.【反思】注意均值不等式是“和大于等于积”,依此确定配凑方法.9.设是正实数,求证:.【答案】证明见解析【分析】将原不等式两边平方转化为,结合换元法与均值不等式即可证明结论.【详解】两边平方,并将所要证明的不等式改写为:记于是有,且由均值不等式得:【反思】本题用了数列中的裂项相消法,配出和为定值是关键.10.求最小的实数m,使得对于满足的任意正实数a,b,c,都有.【答案】27【分析】方法一:先利用均值不等式证明得,从而得到的最大值,进而利用恒成立问题的解法即可得解,解析过程要注意等号成立的条件.【详解】因为当时,有,所以下面只需证明不等式对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c都成立.[方法一]:因为,所以,即,当且仅当时,等号成立;同理,,当且仅当时,等号成立;所以,当且仅当时,等号成立;因为,所以,当且仅当时,等号成立,即;因为,,,当且仅当时,等号成立;所以,当且仅当时,等号成立;所以,当且仅当时,等号成立,即;又因为,所以,当且仅当时,等号成立,即,因为,则,所以,即的最大值为,而恒成立,即恒成立,所以,即m的最小值为27.[方法二]:,,则,①由幂平均不等式,得,②①②相加得证,∴m的最小值为27.[方法三]:∵对于,构造函数,,由题意在处取得极小值,∴解得:,故,,故,.∴,把上面三个不等式相加,得,∴m的最小值为27.【针对训练】11.当时,求的最大值.【答案】【分析】利用凑项法使得两式和为定值,再利用基本不等式即可得解.【详解】因为,当且仅当,即时,等号成立,所以的最大值为.12.求出最大的正实数,使得对于满足的任何实数成立不等式:.【答案】2【分析】根据式子结构,把变为,利用基本不等式,根据取等号的条件求出的值.【详解】要求的最大值成立,根据式子结构,构造出.所以,(当且仅当,即当时,上述两个等号可同取到).令,且为正实数,解得:.13.是直角三角形的三边,为斜边,求使恒成立的的最大值.【答案】【分析】解法一:令,则,利用同角三角函数关系式,转化为函数关系,利用导数确定单调性及取值情况,即可求得的最大值.解法二:令根据利用基本不等式求得最值即可.【详解】解法一:令,则再令,则,,∴在上是减函数,故当即时,,从而.解法二:猜测时,.,∵,又,,,所以,从而,当且仅当时,等号成立,故,从而.14.设,且,求证:【答案】证明见解析【分析】根据均值不等式结合三角函数关系求证即可.【详解】令,则,且则,同理所以又,所以.15.,,求证:【答案】证明见解析【分析】先利用均值不等式及不等式的性质证明,再结合分析法及均值不等式、函数的最值证明,得证.【详解】因为,所以,即,当且仅当时,等号成立;欲证明,只需证明,①设,则,当且仅当时,等号成立;设,则,当且仅当时,等号成立;从而①等价于,即成立,因为,所以,所以成立,所以成立,综上,.16.为互不相等的正数,求证:【答案】证明见解析【分析】根据时,可得,从而结合均值不等式类推得证.【详解】当时,所以所以.17.已知,,求证:.【答案】证明见解析【分析】由得,结合已知得①,又得②,结合①②即可得证.【详解】当且仅当即时,取等号,故由得,①,又当且仅当时,取等号,,当且仅当时,取等号,②,结合①②两式得,即.18.正数满足,证明:【答案】证明见解析【分析】由已知可得,从而,结合基本不等式即可证得结论.【详解】∵,∴,∴.19.为正数,证明:【答案】证明见解析【分析】利用分析法,结合基本不等式证明即可.【详解】,原不等式等价于,展开即需证明.令,则只需证明,即证,而,三式相加可得,所以原不等式得证.20.实数满足,证明:.【答案】证明见解析【分析】利用均值不等式证明【详解】.21.对正数,证明【答案】证明见解析【分析】不妨设,由原不等式逐步寻找使不等式成立的等价条件,利用分析法证明.【详解】不妨设,原不等式,这是显然成立的,当且仅当取等号.所以原不等式成立.22.已知:,,求证:【答案】证明见解析【分析】注意到当时,有,于是有,利用作差法可证得,同理有,两式相加即可证得结论.【详解】从不等式局部入手,注意到当时,有,因为,于是有,而,故,同理有,两式相加得,故原不等式得证.23.,,求证:【答案】证明见解析【分析】从不等式局部入手,由,证得,同理,两式相乘即可证得结论.【详解】,即同理,,两式相乘得,原不
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 食用菌菌种买卖合同书
- 学校维修合同范本样本
- 含油铜轴承采购合同范本
- 车辆抵押借款合同范本XX
- Donzakimig-生命科学试剂-MCE
- 小学音乐剧课程设计
- 西双版纳州勐腊长水实验中学教师招聘笔试真题2023
- 黑河嫩江市文化馆招聘编制外舞蹈演员笔试真题2023
- 2023年安宁市教师考试真题及答案
- 供配电技术课程设计
- 生物医学传感生物传感器
- Q-CR 783.1-2021 铁路通信网络安全技术要求 第1部分:总体技术要求
- 《键盘操作再加强》教学设计
- GB/T 17758-2010单元式空气调节机
- 试生产方案编制导则范文
- 《中小学生守则》原文及专家解读
- 全过程造价咨询业务研究以威宁谢工程咨询公司工料测量及工程造价管理业务为例
- 《英语专业实习》课程教学大纲
- 戊烷的理化性质及物质特性表MSDS
- 《普惠金融研究国内外文献综述(4000字)》
- 【教师必备】部编版二年级语文上册 第六单元【集体备课】
评论
0/150
提交评论