人教版高中数学选择性必修第二册 全册综合测评(含解析)

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(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a3+a6+a9=18,若an=6,则n为()

A.12B.8C.6D.4

2.已知函数f(x)=alnx+2,f'(e)=2,则a的值为()

A.-1B.1C.2eD.e2

3.在等比数列{an}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则a6+a7=()

A.2B.2

C.4D.4

4.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何”意思是:“一女子善于织布,每天织出的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少”根据上述已知条件,该女子第3天所织布的尺数为()

A.B.C.D.

5.在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N*),且满足S3=S15,则Sn的最大项为()

A.S7B.S8C.S9D.S10

6.已知函数f(x)=e-x(cosx+sinx),记f'(x)是f(x)的导函数,将满足f'(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{xn},n∈N*,则f(xn)=()

A.(-1)ne-(n+1)πB.(-1)n+1e-nπ

C.(-1)ne-nπD.(-1)n+1e-(n+1)π

7.设奇函数f(x)在R上存在导函数f'(x),且在(0,+∞)上f'(x)b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,已知S16>0,S170,d0

C.S8与S9均为Sn的最大值

D.a90,a>0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为ln3-.

(1)求a的值;

(2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)-(x>0)的单调性;

(3)设a1=,an+1=f(an),求证:0,∴a9>0,a100时,g(x)也是减函数.

又0g(ln2)>g.

即f>(ln2)f(ln2)>f.

∴a>b>c.

故选A.

解题模板构造函数,利用单调性解决比较大小的问题中,掌握一些基本的大小关系可帮助解题,如本题中,当0ln=等.

二、多项选择题

9.ABD∵S16=>0,

∴a8+a9=a1+a16>0,∴B正确.

又S17==17a90,∴d=a9-a80,∴A、D正确.

易知S8是Sn的最大值,S9不是Sn的最大值,∴C错误.故选ABD.

10.AC由题意得,f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ex-,设h(x)=f'(x),则h'(x)=ex+>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,

又h=-2=-20,

∴h(x)存在唯一零点,设为x0,

当0x0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,

∴f(x)有唯一极小值点x0,∴A正确.

令f'(x0)=-=0,得=,

∴x0=ln=-lnx0.

∴f(x0)=-lnx0-2=+x0-2

≥2-2=0(当且仅当x0=1时等号成立),又0,即[f(x)]min>0,

∴f(x)无零点,∴B错误.

由f(x0)=+x0-2,-3时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,A错误.

又01+或1-0,f(x)单调递增.

又当x→∞时,f(x)0.

∴函数f(x)的零点个数为1.(12分)

19.解析(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

令n=1,得=,所以a1a2=3.①(1分)

令n=2,得+=,

所以a2a3=15.②(3分)

由①②得a1=1,d=2,所以an=2n-1.(5分)

(2)由(1)知bn=2n·22n-1=n·4n,

所以Tn=1·41+2·42+…+n·4n,

所以4Tn=1·42+…+(n-1)·4n+n·4n+1,(7分)

两式相减,得-3Tn=41+42+…+4n-n·4n+1(9分)

=-n·4n+1=·4n+1-,(11分)

所以Tn=·4n+1+=.(12分)

20.解析(1)由题意得a1=2000(1+50%)-d=3000-d,a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4500-d,(2分)

an+1=an(1+50%)-d=an-d.(5分)

(2)由(1)得an=an-1-d=·-d=·an-2-d-d=…=a1-d1+++…+,(7分)

整理得an=(3000-d)-2d·=(3000-3d)+2d.(9分)

由题意知am=4000,所以(3000-3d)+2d=4000,

解得d=

=.(11分)

故该企业每年上缴资金d的值为万元时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.(12分)

21.解析(1)依题意得,∠AOC==-,(2分)

则y=××202×40×2+×202×sinθ×50+×θ×202-×202×sinθ×30

=16000×+10000sinθ+6000θ-6000sinθ

=+4000sinθ-2000θ,00,当0),

则φ'(a)=+>0,

所以φ(a)为单调递增函数,故a=1是唯一解.(4分)

(2)由(1)可知,g(x)=ln(2x+1)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+1)-(x>0),

则g'(x)=-2=-0)为单调递减函数.(6分)

因为h'(x)=-=>0,

所以h(x)=f(x)-(x>0)为单调递增函数.(8分)

(3)证明:由a1=,an+1=f(an)=ln(2an+1),易得an>0