2022-2023学年人教版九年级数学下册第二十六章反比例函数讲义（知识点总结）

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26.1．1反比例函数

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1.反比例关系与反比例函数的联系与区别

如果，那么x与y这两个量成反比例关系，这里x,y既可以代表单独一个字母，也可以代表单项式或多项式，如与成反比例，则，从中可以发现反比例关系不一定是反比例函数，但是反比例函数（k为常数，）中的两个变量必成反比例关系。

2.反比例函数关系式的七种确定方法

（1）根据定义：如若函数是反比例函数，求其函数关系式。

（2）根据一组对应值：如已知与成反比例，当时，，求关于的函数关系式。

（3）利用已知点的坐标：如已知反比例函数的图像经过点，求其函数关系式。

（4）利用反比例函数的性质：已知函数是反比例函数，且在每个象限内，随的增大而减小，求出函数关系式。

（5）利用反比例函数的图像位置：写出图像在第二、四象限内的一个反比例函数关系式。

（6）利用的几何意义：如反比例函数图像上一点A与坐标轴围成的矩形ABOC的面积为8，求该反比例函数的关系式。

（7）结合一次函数：如已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4，求此反比例函数的关系式。

26.1.2反比例函数的图象和性质

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一.正比例函数与反比例函数的区别与联系

反比例函数与正比例函数是数学中常见的函数形式。它们在现实生活中也有广泛的应用，如商业、工程、社会等各个领域。本文将详细讨论反比例函数与正比例函数的区别与联系。

反比例函数的定义与特点

反比例函数是指一个函数，其值与自变量的倒数成反比例关系，即y=k/x（k为常数）。其中，x不等于0，y也不等于0。反比例函数的定义域为x不等于0，值域为y不等于0。反比例函数的图像呈现出一种双曲线的形态，有两个分支。

与反比例函数相关的一些特点是：

1.零点：反比例函数没有零点，因为它的定义域中没有0。

2.渐近线：反比例函数有两条渐近线，分别是x=0和y=0。

3.不对称性：反比例函数充满不对称性，因为当自变量增大时，因变量会减少，反之亦然。

正比例函数的定义与特点

正比例函数是指一个函数，其值与自变量成正比例关系，即y=kx（k为常数）。其中，x和y均不能为0。正比例函数的定义域和值域都为全体实数。正比例函数的图像呈现出一种直线的形态。

与正比例函数相关的一些特点是：

1.零点：正比例函数的零点为0，因为当x等于0时，y也等于0。

2.斜率：正比例函数的斜率为常数k，斜率越大，则函数图像越陡峭。

3.对称性：正比例函数呈现出一种对称性，因为当自变量增大时，因变量也会增大，反之亦然。

反比例函数与正比例函数的区别

1.定义与形式

反比例函数和正比例函数的定义和形式非常不同。反比例函数的值与自变量的倒数成反比例关系，而正比例函数的值与自变量成正比例关系。

2.零点与极点

反比例函数没有零点，因为它的定义域不包括0。而正比例函数的零点为0，因为当自变量等于0时，函数的取值也为0。而反比例函数有两个极点，一个是x=0，另一个是y=0。极点是指函数的值越来越接近无穷，当x或y趋近于0时。

3.图像形态和性质

反比例函数的图像呈现双曲线的形态，而正比例函数的图像呈现直线的形态。正比例函数具有对称性，反比例函数则不具备。

函数正比例函数反比例函数

解析式y=kx(k≠0）

图象形状过原点的直线与坐标轴没有交点的双曲线

自变量的取值范围全体实数x≠0全体实数

二．k的两种求法

①若点(x0，y0)在双曲线上，则k＝x0y0．

②k的几何意义：若双曲线上任一点A(x，y)，AB⊥x轴于B，则S△AOB

3.正比例函数和反比例函数的交点问题

若正比例函数y＝k1x(k1≠0)，反比例函数，则

当k1k2＜0时，两函数图象无交点；

当k1k2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．

26.2实际问题与反比例函数

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一．反比例函数的应用

知识总结

知识方法要点关键总结注意事项

反比例函数的应用（工程、路程、几何图形、物理学）找出等量关系，列出反比例函数解析式注意“等量”“物理学”的含义

方法规律总结

（1）反比例函数中比例系数k的几何意义（2）根据物理学中的质量=密度×体积，压力=压强×受力面积，电压=电阻×电流，功=力×在一定方向上的位移等这些等量关系式转化为数学中的反比例函数关系式，来解决物理学中的问题。表示压强，表示压力，表示受力面积）表示电流，表示电压，表示电阻）表示密度，表示质量，表示体积）表示速度，表示距离，表示时间）（3）利用反比例函数解决工程、行程、运输量、工作效率、打折销售等方面的问题，以实际问题情景为载体，建立数学与实际问题的转化等量关系式。根据度量关系：路程=平均速度×时间，工作量=工作效率×时间，运输量=平均运输量×车量，列出相应的等式，转化为两个变量之间的函数关系式，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题。

二.反比例函数与正比例函数在几何图形中的应用异同

（1）反比例函数在几何图形（立体图像、平面图形）的应用比较广泛，通常以几何图形为背景，利用反比例函数的解析式解决问题。

（2）正比例函数与直线、三角形、四边形相交，求出直线上一点的坐标，代入正比例函数解析式中，求出比例系数k.

（3）反比例函数与正比例函数在几何图形中的应用，主要是找出一点的坐标符合反比例函数或正比例函数的解析式，求出k值，都是运用待定系数法。

3.利用反比例函数模型来刻画某些实际问题中变量之间的关系，利用数形结合来分析实际问题，要注意以下几点：

在实际问题的函数