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第四章（2）刚体4-1刚体定轴转动4-2转动定律转动惯量4-3力矩功动能定理1第1页

平动在刚体运动过程中,假如刚体上任意一条直线始终保持平行,这种运动就称为平动。可用质心运动讨论。T5-0.exe转动在刚体运动过程中,假如刚体上所有点都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为转动。这条直线称为转轴。T5-1.exe刚体

在任何情况下,其大小和形状都不变化物体。平动和转动是刚体运动最基本形式。

一、平动和转动(Translationandrotation)既平动又转动质心平动加绕质心转动。刚体运动2第2页在刚体转动中,假如转轴固定不动,称为定轴转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴平面称为转动平面。刚体作定轴转动时，所有点都具有相同角速度和角加速度,在相同时间内有相等角位移。不过位移、速度和加速度却不相等。一般情况下,角速度和角加速度是矢量,但在定轴转动中它们方向沿着转轴,能够用带正负号标量来表达。二、刚体定轴转动(Fixed-axisrotation)3第3页三、刚体转动角速度和角加速度角速度方向由右手定则确定。

角加速度刚体在Dt时间内角速度增量Dw与Dt之比极限单位：Pd

rzxθ

角速度刚体在dt时间内角位移dq与dt

之比。4第4页、本来是矢量，由于在定轴转动中轴方位不变，故只有沿轴正负两个方向，能够用标量替代。在刚体作匀加速转动时，对应公式如下：四、匀变速转动公式（

=衡量）ω1Dw>0

>0ω1Dw<0

<05第5页五、刚体运动学中角量和线量关系T5-2.exe由定义得：

例1：设圆柱型电机转子由静止经300s后达成18000r/min，已知转子角加速度a

与时间成正比，求转子在这段时间内转过圈数。解：因角加速度随时间而增大，设：=ct6第6页对上式两边积分由条件知因此由角速度定义得到：转子转数：7第7页设刚体绕固定轴Oz以角速度

转动,各体元质量分别为

m1,

m2,…,

mn,各体元到转轴Oz距离依次是r1

,

r2

,

…

,

rn。

n个体元绕Oz轴作圆周运动动能总和为：T5-3.exe一、刚体转动动能(Rotationalkineticenergy)刚体动力学8第8页式中称为刚体对转轴转动惯量。代入动能公式中,得到刚体转动动能一般体现式刚体转动动能与质点运动动能在体现形式上是相同性。T5-3.exe

用J表达：9第9页二、刚体转动惯量(Momentofinertia)

从转动动能公式看到,刚体转动惯量J与质点质量m相对应。在质点运动中,质点质量是质点惯性量度。在刚体转动中,刚体转动惯量是刚体转动惯性量度。若刚体质量连续分布,转动惯量中求和号用积分号替代与转动惯量有关原因：刚体质量、转轴位置、刚体形状。10第10页

例1：一根质量为m=1.0kg

、长为l=1.0m均匀细棒,绕通过棒中心并与棒相垂直转轴以角速度

=63rad

s-1

旋转,求转动动能。

解：先求细棒对转轴转动惯量J,然后求转动动能Ek。将棒中点取为坐标原点,建立坐标系Oxy,取y轴为转轴,如图所示。在距离转轴为x

处取棒元dx,其质量为xdxxyo11第11页根据式(5-4),应有棒转动动能为T5-4.exe12第12页两个定理1.平行轴定理式中JC为刚体对通过质心轴转动惯量,

m是刚体质量，d是两平行轴之间距离。2.垂直轴定理若z轴垂直于厚度为无限小刚体薄板板面,xy平面与板面重合,则此刚体薄板对三个坐标轴转动惯量有如下关系13第13页

解：两平行轴距离,代入平行轴定理，得

例2：在上一例题中,对于均匀细棒,我们已求得对通过棒心并与棒垂直轴转动惯量为求对通过棒端并与棒垂直轴J。14第14页·Roxy

例3：求质量为m、半径为R均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内轴转动惯量。

解：盘质量分布均匀,盘质量面密度为

取半径为r、宽为dr圆环如图所示，其质量为T5-5.exe圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)转动惯量为rdr15第15页根据垂直轴定理由于对称性,,因此解得16第16页三、力矩作功在刚体转动中,假如力矩作用使刚体发生了角位移,那么该力矩也作了功。由于dsi=rid

,

并且cos

i=sin

i

,因此假设作用于以z轴为转轴刚体上多种外力分别是

在刚体转动中,外力

所作元功为17第17页式中Mzi

是外力Fi

对转轴Oz力矩。T5-6.exe

在整个刚体转过d

角过程中，n个外力所作总功为式中是作用于刚体所有外力对Oz轴力矩代数和,也就是作用于刚体外力对转轴合外力矩Mz。18第18页假如刚体在力矩Mz

作用下绕固定轴从位置

1转到

2,在此过程中力矩所作功为力矩瞬时功率能够表达为式中

是刚体绕转轴角速度。19第19页

例：半径为R光滑圆环上A点有一质量为m小球，从静止开始下滑，若不计摩擦力，求小球达到B点时角动量和角速度。

解：小球受重力矩作用θABPR20第20页四、动能定理

(theoremofkineticenergy)根据功能原理,外力和非保守内力对系统作总功等于系统机械能增量。对于刚体一切内力所作功都为零。对定轴转动刚体,外力功即为外力矩所作功;系统机械能为刚体转动动能。将转动动能详细形式代入上式并积分,得21第21页定轴转动刚体,外力矩作功等于刚体转动动能增量。这就是作定轴转动刚体动能定理。五、转动定理

(Theoremofrotation)T5-7.exe将力矩作功和转动动能详细形式代入式子得22第22页在定轴转动中,刚体相对于某转轴转动惯量与角加速度乘积,等于作用于刚体外力相对同一转轴协力矩。转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相同,合外力矩与合外力相对应,转动惯量与质量相对应,角加速度与加速度相对应。m反应质点平动惯性，J反应刚体转动惯性。或者写为上式就是转动定理数学体现式。23第23页a

[例]定滑轮可视为均匀圆盘，物体与桌面间滑动摩擦系数为绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮轴摩擦忽视。1)下落加速度

2)绳中张力24第24页[例]可视为均匀圆柱体两个滑轮同轴固结在一起，绕O轴转动.转动惯量可加25第25页ocmg[例]均匀米尺绕O点转动1)刚释放米尺角加速度2)竖直位置角加速度3)任意位置角加速度,加速度26第26页[例]已知：均匀直杆m，长为l，初始水安静止，轴光滑，AOl=4

。求:杆下摆q角后，角速度w=?轴对杆作用力vN=?解：杆地球系统，+∵只有重力作功，∴E守恒。初始：，Ek10=

令

EP10=末态：EJko2212=w,

EmglP24=-sinq

则：

12402Jmglowq-=sin

(1)27第27页

由平行轴定理

JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()

(2)由(1)、(2)得：

wq=267glsin应用质心运动定理：vvvNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：-+=q

(3)$costmgNmatct方向：

q+=

(4)28第28页algcl==4672wqsin

(5)allmgJctlo==444aqcos=37gcosq

(6)由(3)(4)(5)(6)可解得：Nmgl=137sin,qNmgt=-47cosqvNmglmgt=-13747sin$cos$qqNmg=+7153162sinqaq==--tgNNtgctgtl11413||()29第29页[例]板静止于光滑台面图示位置，在恒力作用下使之与滑轮无相对滑动通过轮子，忽视轴摩擦。1)板在运动过程中与轮间摩擦力2)板与轮脱离接触时速率30第30页设刚体绕z轴作定轴转动，体元

mi对轴角动量

lzi

=ri

mi

vi

是角速度

,vi=ri

。

lzi=ri

2

mi

或整个刚体对转轴角动量

Lz等于转动惯量与角速度乘积。一、刚体对转轴角动量(Angularmomentum)riviOiz·

mi

定轴转动刚体角动量守恒定律31第31页二、刚体对转轴角动量定理将转动定理Mz=Ja

写成下面形式:试验表白,此式更具普遍性。由上式得到

刚体对转轴角动量定理作定轴转动刚体对转轴角动量时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力协力矩。32第32页角动量定理也能够写为

Mz

dt称为冲量矩,等于力矩与力矩作用于刚体时间乘积。可见，作定轴转动刚体所受冲量矩等于刚体对同一转轴角动量增量。对上式积分得到角动量定理积分形式

33第33页刚体对转轴角动量守恒定律当定轴转动刚体所受外力对转轴协力矩为零时,刚体对同一转轴角动量不随时间变化。刚体组绕同一转轴作定轴转动时,系统对转轴角动量保持恒定，有两种情形：一是系统转动惯量和角速度大小均保持不变；另一种是转动惯量变化,角速度大小也同步变化但二者乘积保持不变。或恒量在定轴转动中,假如Mz=0,则三、刚体对转轴角动量守恒定律34第34页刚体对转轴角动量守恒是经常能够见到，如人手持哑铃转动,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作多种迅速旋转动作,都利用了对转轴角动量守恒定律。T5-10.exe

35第35页

若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，

当Mz外=0时，Jconst.iziw=å，这时角动量可在内部传递。[例]如图示已知：M=2m，h，q=60°求：碰撞后瞬间盘w0=？

P转到x轴时盘w=?a=?解：m下落：mghmv=122vghÞ=2(1)36第36页碰撞

t

极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽视，角动量守恒：mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)对m+M+地球系统，只有重力做功，E守恒，则：P、x重合时EP=0。令1mgRJ