牛顿迭代法的基本思想

牛顿迭代法的基本思想第1页，课件共13页，创作于2023年2月它对应的迭代方程为显然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为

在f(x)=0的根的某个邻域内,在的邻域R内，对任意初值，应用由公式（1）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.返回下一页上一页第2页，课件共13页，创作于2023年2月牛顿法的几何意义由（1）式知是点处的切线 与X轴的交点的横坐标（如图）。也就是说，新的近似值是用代替曲线y=f(x)的切线与x轴相交得到的。继续取点,再做切线与x轴相交，又可得。由图可见，只要初值取的充分靠近,这个序列就会很快收敛于。Newton迭代法又称切线法下一页上一页返回第3页，课件共13页，创作于2023年2月返回下一页上一页第4页，课件共13页，创作于2023年2月牛顿迭代法的步骤步一、准备。选定初始近似值，计算步二、迭代。按公式迭代一次，得到新的近似值，计算步三、控制。如果满足。则终止迭代，以作为所求的根；否则转步四。此处是允许误差,返回下一页上一页第5页，课件共13页，创作于2023年2月而 。其中c是取绝对值或相对误差的控制常数，一般可取c=1。步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者 则方法失败；否则以代替转步二继续迭代。返回下一页上一页第6页，课件共13页，创作于2023年2月例题例1:用牛顿法求下面方程的根解因,所以迭代公式为选取,计算结果列于下表从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了四次迭代就得到了较满意的结果.返回下一页上一页第7页，课件共13页，创作于2023年2月例2计算的近似值。

=10-6x0=0.88解：令x=问题转化为求ƒ(x)=x2-0.78265=0的正根由牛顿迭代公式xk+1=xk-ƒ(xk)/ƒ'(xk)=xk/2+0.78265/2xk

迭代结果

k

0

123xk0.8800000.8846880.8846750.884675

满足了精度要求

=0.884675

返回下一页上一页第8页，课件共13页，创作于2023年2月返回下一页上一页第9页，课件共13页，创作于2023年2月2)修正Newton法求m重根迭代公式

注：若是方程的m重根，而在的某一邻域内连续，则修正Newton法是局部收敛的，并具有至少二阶的收敛速度。因为：

上一页下一页返回考察函数用定义求导第10页，课件共13页，创作于2023年2月Tailor展开所以由定理2知至少是二阶收敛上一页下一页返回第11页，课件共13页，创作于2023年2月牛顿迭代法的优缺点1、优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。2、缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。返回下一页上一页第12页，课件共13页，创作于2023年2月设

(x)在有根区间(a,b)上存在二阶导数，且满足（1）

(a)

(b)<0；（2）

`(x)

0，x

(a,b)；（3）

``(x)不变号，x

(a,b)；（4）初值x0

(a