人教版八年级数学下册 巧用勾股定理解折叠题练习（含答案）

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巧用勾股定理解折叠题

勾股定理在折叠问题中的应用具有典型性和普遍性，运用勾股定理解折叠题时，往往融方程与几何图形于一体，具有较强的综合性。

一、三角形的折叠

1如图1，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B,OA:OB:AB=3:4:5,且线段OA的长是方程的解，M是线

段OB上一点，若将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点P处.

(1)求点P的坐标;

(2)在y轴上是否存在点N,使△APN是以PN为底的等腰三角形若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

2如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°.AD为△ABC的中线,将△ABD沿AB进行折叠,得到△ABE,连接CE,CE交AD于F点.

(1)判断四边形ADBE的形状，并说明理由;

(2)若已知EC⊥AD,EC=2,求△CBE”的面积.

二、矩形的折叠

3如图3，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′与AD交于E,AD=8,AB=4,求阴影部分面积.

三、平行四边形的折叠

4如图4,将ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E,连接BE.

(1)求证:四边形BCED'是平行四边形;

(2)若BE平分∠ABC,求证:AE+BE=AB.

四、正方形的折叠

5如图5.正方形ABCD的边长为4,点M、N分别在AB、CD上.将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上的点E处，折痕MN与DE相交于Q.

(1)请判断DE与MN之间的数量关系，并说明理由；

(2)若点G为EF的中点,随着折痕MN位置的变化，请求出△GQE周长的最小值.

1.解:(1)解得x=6,

经检验x=6是原分式方程的解，

∴OA=6.

又∵OA:AB=3:5,

∴AB=10,

∵△ABM沿直线AM折叠,点B恰好落在x轴上的点P处，

∴AP=AB=10.

∵OP=AP-OA=10-6=4,

∴点P的坐标为(-4,0);

(2)存在.

设N(0.t),

∵A(6,0),P(-4,0),

∴AP=100,AN=36+C.

∵△APN是以PN为底的等腰三角形，

∴36+1=100,解得t=8或t=-8,

∴点N的坐标为(0,8)或(0,-8).

2.解:(1)四边形ADBE为菱形.

理由:∵∠BAC=90°,AD为Rt△ABC的中线,∴AD=BD=DC.

由折叠可知:AE=AD,BE=BD,

∴AE=AD=BD=BE,

∴四边形ADBE为菱形;

(2)∵四边形ADBE为菱形,

∴BD=BE,AD∥BE.

∵AD⊥CE,∴BE⊥CE,

∴∠BEC=90°.

∵BC=2BD,

∴BC=2BD=2BE.

∵BE+CE=BC,

∴△BEC的面积

3.解:由折叠可知:∠DBC=∠DBE,又AD∥BC,

∴∠DBC=∠BDE,

∴∠BDE=∠DBE,∴BE=DE.

设AE=x,则DE=BE=8-x.

在Rt△BAE中,4+x=(8-x),解得x=3.

4.证明:(1)∵将ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，

∴∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,∠D=∠AD'E.

∵DE∥AD',

∴∠DEA=∠EAD′,

∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA,

∴∠DAD'=∠DED',

∴四边形DAD'E是平行四边形，

∴DE=AD',

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC,AB=DC,

∴CE∥D'B,CE=D'B,

∴四边形BCED'是平行四边形；

(2)∵BE平分∠ABC,

∴∠CBE=∠EBA.

∵AD∥BC,

∴∠DAB+∠CBA=180°.

∵∠DAE=∠BAE,

∴∠EAB+∠EBA=90°,

∴∠AEB=90°,

∴AE+BE=AB.

5.解:(1)MN=DE.

理由:如图5,过M点作MO⊥CD,MO交CD于点O,交DE于点H.

由折叠性质可知,DE⊥MN.

∠MHQ+∠HMQ=90°,

∠MNO+∠NMO=90°,

∴∠MHQ=∠MNO.

又∵MO∥BC,∴∠MHQ=∠CED,

∴∠MNO=∠DEC.

∴△MNO≌△DEC(AAS),

那么MN=DE.

(3)如图6,取AD中点P,连接QP、QG、QC,

由