7.4向量的内积教学课件

第7章平面向量7.4向量的内积创设情境兴趣导入Fs图7—21O如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，角的方向拉小车，使小车前进了100m．朝着与水平线成那么，这个人做了多少功？做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．力F是水平方向的力W＝｜F｜cos30°·｜s｜＝100×·10＝500与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即动脑思考探索新知W＝｜F｜cos30°·｜s｜＝100×·10＝500这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．BAOab如图，设有两个非零向量a，b，作由射线OA与OB所形成的的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a，b>．两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b，即

a·b＝|a||b|cos<a，b>(7.10)

由内积的定义可知a·0＝0,0·a＝0.动脑思考探索新知动脑思考探索新知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：当a＝b时，有<a，a>＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝cos<a,b>＝当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|；当<a,b>=时，a·b＝−|a||b|．a·b＝0ab.

对非零向量a，b，有动脑思考探索新知可以验证，向量的内积满足下面的运算律：a·b＝b·a.

(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

a·(b·c)≠(a·b)

·c.

一般地，向量的内积不满足结合律，即巩固知识典型例题例1

已知|a|＝3,|b|＝2,<a，b>＝60°，求a·b．解

a·b＝|a||b|cos<a，b>＝3×2×cos60°＝3．巩固知识典型例题例2已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求<a,b>．解

cos<a,b>＝由于0≤<a,b>≤180°，所以<a,b>＝运用知识强化练习1.已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夹角为60°，求a·b．2.已知a·a＝9,求|a|.3.已知|a|＝2,|b|＝3,<a,b>＝30°，求(2a＋b)·b

．动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i·j

＝0,又|i|＝|j|＝1,所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)

＝x1

x2

i•i＋x1

y2

i•j＋x2

y1i•j

＋y1

y2

j•j

＝x1

x2|j|2＋y1

y2|j|2

＝x1

x2＋y1

y2.

这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即

a·b＝x1

x2＋y1

y2

(7.11)

设a＝(x,y)，则，即动脑思考探索新知

cos<a,b>＝(7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于a⊥ba·b＝0，由公式(7.11)可知a·b＝0

x1

x2＋

y1

y2＝0．因此a⊥b

x1

x2＋

y1

y2＝0．

(7.14)

由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时，巩固知识典型例题例3求下列向量的内积：（1）a＝(2,−3),b＝(1,3)；（2）a＝(2,−1),b＝(1,2)；（3）a＝(4,2),b＝(−2,−3)．解

(1)a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；

(2)a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；

(3)a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．

巩固知识典型例题例4

已知a＝(−1,2)，b＝(−3,1)．求a·b,|a|,|b|,<a,b>．

解

a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5.

|a|＝|b|＝cos<a，b>＝所以<a，b>＝巩固知识典型例题例5判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(−2,3),

b＝(6,4)；(2)a＝(0,−1),

b＝(1,−2)．解(1)因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a⊥b．(2)因为a·b＝0×1＋(−1)×(−2)＝2，所以a与b不垂直．运用知识强化练习1.已知a＝(5,−4)，b＝(2,3)，求a·b．2.已知a＝(2,−3)，b＝(3,−4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．本节知识点：1.向量内积定义：2.特殊情况：(1)(2)当<a,b>＝90°时，cos<a，b>=0

a·b＝0；(3)

a·b＝|a||b|cos<a，b>

当<a,b>＝0°时，

cos<a，b>=1

a·b＝|a||b|；当<a,b>=时，cos<a，b>=-1

a·b＝−|a||b|．(4)a·0＝0,0·a＝0.3.运算律：(1)交换律：a·b＝b·a.

(2)结合律：注意：结合律中是一个实数，两个向量，三个向量相乘是不满足结合律的。

a·(b·c)≠(a·b)

·c.

(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

（1）cos<a,b>＝4.设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),

a·b＝x1

x2＋y1

y2.(5.求向量的模长：设a