九年级数学上册第10讲 圆的有关性质（二）（解析版）

/第10讲圆的有关性质（二）(重点题型方法与技巧)目录类型一：利用圆周角定理及其推论求角的度数类型二：运用弧、弦、圆心角、圆周角的关系进行计算或证明类型三：圆内接四边形类型一：利用圆周角定理及其推论求角的度数计算圆心角和圆周角时的注意事项：

1.在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化.一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等；

2.一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一条弦的异侧的两个圆周角互补.典型例题例题1．（2022·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，若∠A＝30°，则∠B的度数为（）A．70° B．90° C．40° D．60°【答案】D【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°，故选：D．点评：例题1考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出∠ACB=90°是解此题的关键．例题2．（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠OAB＝70°，则∠CED＝（

）A．70° B．35° C．40° D．20°【答案】D【详解】解：连接OD、OC，如下图∵AB＝CD，∠OAB＝70°，∴∠OAB＝＝70°，∴＝40°，又由圆周角定理可得∠CED＝＝20°．故选：D．点评：例题2主要考查了圆周角定理，解题关键是正确添加辅助线．例题3．（2022·全国·九年级单元测试）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】D【详解】解：∵AB＝AD＝CD，∴，∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，设∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，即3x+75°＝180°，解得：x＝35°，∴∠DBC＝35°，在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．故选D．点评：例题3考查了圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，熟练掌握相关知识点是解题的关键．例题4．（2022·福建省福州第八中学九年级阶段练习）已知A，B，C三点在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠AOB＝___________°．【答案】100【详解】解：如图，在优弧上找一点D，连接AD，BD，∵∠ACB＝130°，∴∠ADB＝180°－∠ACB＝130°＝50°，∴∠AOB＝2∠ADB＝100°．故答案为：100．点评：例题4考查了圆周角定理和圆心角定理，注意本题不含第二种情况．例题5．（2022·云南·会泽县大井镇第二中学校九年级期中）如图，的弦与直径相交，若，则∠AOD=____度．【答案】80【详解】解：∵AB是的直径，∴，∵，∴，∴；故答案为80．点评：例题5主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意易得，则有，然后根据圆周角定理可求解．例题6．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图，点A、B、C、D、E在上，且为，求的度数．【答案】【详解】如图，点A、B、C、D、E在上，且为，所以的度数与的度数之和为360°-40°=320°．因为∠B的度数等于的度数，∠D的度数等于的度数，所以的度数为的度数与的度数之和的一半，所以==160°．点评：例题6考查了圆周角的度数与所对弧度数之间的关系，熟练掌握圆周角的度数等于所对弧度数的一半是解题的关键．根据整个圆弧的度数为360°，计算出的度数与的度数之和，根据圆周角的度数等于所对弧度数的一半计算即可．同类题型演练1．（2022·全国·九年级单元测试）如图，是直径，点，在半圆上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：连接，是直径，，，，四边形是圆的内接四边形，，，故选：．2．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】C【详解】解：∵为的直径，∴，∵四边形是圆内接四边形，，∴，∴．故选：C．3．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在⊙O中，点C是的中点，若，则∠D的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵点C是的中点，∴，∴AC＝BC，∴，∵，∴，故选：C．4．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，等边的三个顶点均在上，连接，，，则的度数为_______．【答案】120°##120度【详解】解∶∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∵∠AOC=2∠ABC，∴∠AOC=120°．故答案为：120°5．（2022·广东顺德德胜学校三模）如图，点是的中点，点是上的一点，若，则______．【答案】110°##110度【详解】解：∵点是的中点，∴，∴∠AED=∠CED=35°，∴∠AEC=70°，∵∠AEC+∠ADC=180°，∴∠ADC=110°．故答案为：110°6．（2021·安徽·淮南市洞山中学九年级阶段练习）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．(1)求证：∠ACO＝∠BCD．(2)若BE＝3，CD＝8，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)5【详解】（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AB⊥CD，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO∴∠ACO＝∠BCD；（2）∵AB⊥CD，∴，∴．类型二：运用弧、弦、圆心角、圆周角的关系进行计算或证明圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角相等或倍分关系的方法：在圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角的相等或倍分关系时，应从同类型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分关系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论.典型例题例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）在中，满足=2，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【详解】解：如图：=2，取的中点E，连接CE，DE；∵=2，点E为的中点，∴，∴AB=CE=DE，∵CE+DE>CD，∴2AB>CD，故选：B．点评：例题1主要考查了等弧对等弦以及三角形三边之间的关系，熟练掌握相关内容，将成倍数关系的弧转化为等弧是解题的关键．取的中点E，连接CE，DE，可得，根据等弧所对的弦相等可得AB=CE=DE，最后根据三角形三边之间的关系即可进行判断．例题2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（

）A．25° B．30° C．40° D．55°【答案】B【详解】∵OB=OC，∠B=55°，∴∠B=∠OCB，∴∠BOC=180°-2∠B=70°，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA==30°，故选：B．点评：例题2圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得∠AOC的度数，难度不大．例题3．（2022·河南南阳·九年级开学考试）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误；所以不正确的有①②③④⑤，共5个．故选：D点评：例题3考查垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．例题4．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数=______．【答案】55°##55度【详解】连接OC，∵C是弧DB的中点，∠DCB＝110°，∴∠DCO=∠BCO=110°÷2=55°，∵AB是圆的直径，O是圆心，∴OC=OB，∴∠ABC=∠OCB=55°，故答案为55°．点评：例题4考查了与圆有关的性质、等腰三角形相关的性质，正确作出辅助线并使用该性质进行证明是解决本题的关键．例题5．（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD＝CD．若AC＝10，DE＝4，则BC的长为______．【答案】##2.25【详解】解：∵AD＝CD，∴，∴OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝5，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r−4，在Rt△OAE中，，解得，∴，∵OB＝OA，AE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴BC＝2OE＝．故答案为：．点评：例题5主要考查了垂径定理，中位线定理，勾股定理，解题的关键是设⊙O的半径为r，根据勾股定理，列出关于r的方程．利用圆心角、弧、弦的关系得到，再根据垂径定理得到OD⊥AC，AE＝CE＝5，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r−4，利用勾股定理得，解得，然后证明OE为△ABC的中位线，从而得到BC的长．例题6．（2022·江苏·九年级）如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM．【答案】见解析【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴，∵，∴，即，∴BM＝CM．点评：例题6考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．同类题型演练1．（2021·甘肃·九年级专题练习）如图，在中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（

）．A． B．C． D．无法比较【答案】B1【详解】解：连接AB，BC，如图，∵∴又∴故选：B2．（2021·山东潍坊·二模）如图，是的直径，，是上的两点，且点为优弧的中点，连接，，，与交于点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】连接，，，，，，点为优弧的中点，，，，故选：B．3．（2020·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的是（

）A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线D．拱形不一定是弓形【答案】B【详解】解：A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；B．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合题意；C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；D．拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意．故选：B．4．（2021·四川绵阳·九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（）A．10 B．13 C．12 D．11【答案】C【详解】解：连接OF，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，，∵D为弧AC的中点，∴，∴，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为15，∴OF＝OA＝，∵AE＝3，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△OEF中，由勾股定理得：，∴DE＝EF＝6，∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，故选C．5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A、B、C、D均在上，若，，则∠B的度数为______．【答案】57.5°【详解】解：连接AD，∵∠AOD=68°，AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=65°，∵∠AOD=65°，OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=（180°-∠AOD）=57.5°，∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=57.5°+65°=122.5°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠B=57.5°，故答案为：57.5°．6．（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，则的半径长为__________【答案】【详解】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE=EF，，∵点D是弧AC的中点，∴，∴，∴AC=DF=12，∴EF=DF=6，设OA=OF=x，在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，解得x=，故答案为：．7．（2021·陕西·商南县富水镇初级中学九年级期中）如图，的弦、相交于点，且．求证：．【答案】详见解析【详解】证明：，，

，即，

，

；8．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，AB＝CD，AB与DC不平行，过点A作，交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接CE、OA．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；（2）求证：AO平分∠BAE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】证明：（1）由圆周角定理得，∠B=∠E，又∠B=∠D，∴∠E=∠D，∵，∴∴∠E+∠DAE=180°，∴，∴四边形AECD为平行四边形；（2）作OM⊥BA于M，ON⊥AE于N，∵四边形AECD为平行四边形，∴AE=CD，又AB=DC，∴AE=AB，又OM⊥BA，ON⊥AE，而∴OM=ON，∴AO平分∠BAE．类型三：圆内接四边形典型例题例题1．（2021·重庆十八中两江实验中学九年级阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，且，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：四边形是的内接四边形，，，故选：B．点评：例题1考查圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．例题2．（2022·江苏·九年级单元测试）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝1：2，则∠C＝（

）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】A【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠A+∠C=180°又∵∠A：∠C＝1：2∴∠C=120°故选：A．点评：例题2考查了⊙O的内接四边形性质，解题的关键结合已知条件求解．⊙O的内接四边形性质对角和180°，加上已知条件∠A：∠C＝1：2，即可求得∠C．例题3．（2022·浙江衢州·二模）如图，是的直径，C，D为上的点，且点D在弧上．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵∠D+∠B=180°，∠D=120°，∴∠B=60°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=30°，故选：A．点评：例题3考查圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角是直角、圆内接四边形的性质，属于中考常考题型．利用圆内接四边形的性质求出∠B=60°，由圆周角定理推论得出∠ACB=90°，再由直角三角形两锐角互余求解即可．例题4．（2021·浙江·金华海亮外国语学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是是内接四边形，已知，则______．【答案】105°【详解】解：∵四边形ABCD是是内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，，∴∠DCE=∠BAD=105°．故答案为：105°点评：例题4主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．例题5．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．【答案】40°##40度【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，故答案为：40°．点评：例题5考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．例题6．（2022·云南昆明·九年级期末）如图，四边形内接于，，求证：．【答案】见解析【详解】证明：∵，∴又∵四边形内接于∴∴∴点评：例题6考查了圆内接四边形对角互补，平行线的判定定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补，以及已知条件可得，即可证明．同类题型演练1．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，ABCD为圆内接四边形，若∠A＝60°，则∠C等于（

）A．30° B．60°C．120° D．300°【答案】C【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°-60°=120°，故C正确．故选：C．2．（2022·江苏宿迁·九年级期末）在圆内接四边形中，，则等于(

)A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，∵∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，∴∠A=180°×=60°，∠C=180°×=120°，∠B=180°×=80°，∴∠D=180°-80°=100°，故选：C．3．（2022·四川自贡·九年级专题练习）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（

）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】C【详解】∵为⊙的直径，∴，又∵，∴，又∵四边形内接于⊙，∴，∴，故答案选：C．4．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E在AD的延长线上，∠CDE=82°，则∠ABC的度数是_____．【答案】82°##82度【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠CDE，∵∠CDE=82°，∴∠ABC＝82°．故答案为：82°5．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD，且∠ADC=120°，若点E为弧BC的中点，