数学建模高压锅销售量分析与验证

段伟，周小姣，沙金鑫：高压锅销售量分析与验证段伟，周小姣，沙金鑫：高压锅销售量分析与验证#辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期11-12学年1学期姓名段伟05,周小姣28，沙金鑫17专业通信工程班级09-2班课程名称数学建模论文题目高压锅销售量分析与验证评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15评结合实际性10定知识掌握程度15疋书写规范性10标工作量10准总成绩100准评语:任课教师魏林时间11年9月8日备注TOC\o"1-5"\h\z摘要3一•模型的背景问题描述3基本假设3问题分析3符号说明4模型建立41•建立高压锅指数增长模型42•高压锅销售线性模型的假设63•建立高压锅logistic模型74拟合Gompertz模型9综合评价与结论10参考文献10摘要本文根据给定的1981年到1993年高压锅销售量的数据，并运用Logistic和Gompertz两种曲线模型研究了某地区高压锅的销售量的变化规律，分别建立指数增长模型、Logistic增长曲线模型和Gompertz增长曲线模型来对高压锅的销售量进行预测分析，并对各模型进行了比较分析。一.模型的背景问题描述比较分析法是通过对财务报表中各类相关数字资料，将多期连续的相同指标或比率进行定基对比和环比对比，得出它们的增减变动方向、数额和幅度，以揭示企业财务状况、经营情况和现金流量变化趋势的一种分析方法。趋势分析法在定量预测。趋势分析法又可称为趋势曲线分析、曲线拟合或曲线回归。它是根据已有的历史数据资料来拟合一条曲线，使得这条曲线能够反映出研究对象本身的增长趋势，然后按增长趋势曲线，对要求的未来的某一点进行估计，预测出该点该时刻的研究对象的预测值。F表为某地区1981年到1993年间高压锅的销售量列表（单位：万台）。年份ty年份ty1981043.65198871238.7519821109.86198981560.0019832187.21199091824.2919843312.671991102199.0019854496.581992112438.8919865707.651993122737.7119876960.25表1-1:高压锅的销售量（单位：万台）根据表1-1高压锅的销售量数据，分析其变化规律，得到该地区高压锅的销售量的变化趋势的拟合曲线，建立销售量的模型，通过建立的销售量模型，得到模拟曲线，根据得到的拟合曲线，对该地区的高压锅销售量进行预测。当地企业可以根据预报的高压锅销售量，对高压锅生产量进行控制。二基本假设1、忽略人为因素对销售量的影响。2、高压锅的销售量随时间连续变化。3、高压锅的增长量与当时的高压锅总量总是成正比。4、销售量的增长律恒定。三•问题分析本文要求根据某地的1981年到1993年间高压锅销售量的数据，建立高压锅的销售量模型。根据表1-1:高压锅的销售量(单位：万台)提供的数据，以时间t为衡轴，销售量y为纵轴，建立销售时间t与销售量的关系图，高压锅的销售量图表3-1显然，高压锅的销售量随时间的变化呈指数增长。高压锅的销售数量是连续变化的，但总体分析可以得出增长量与当时的高压锅总量成正比，销售量的增长律是不变的。据此，建立高压锅的销售量指数增长模型。rx(t)固有高压锅销售量增长率，即：r(0)=r时段t的高压锅销售量数xm高压锅的最大销售量，显然有r(xm)=0五■模型建立1•建立高压锅指数增长模型假设商品是自然销售的，即不受人为因素影响，记时刻t的销售量为x(t)，在销售量基数很大的情况下，突然地增加或减少的只是少数几个个体数，相对于全体数量而言可以忽略不计。将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻销售量为x0，增长率为常数r,考虑t到t+At时间内高压锅销售量的增量，有x(t+At)一x(t)=rx(t)Atdx令AtT0，得到dt"x(0)=x0⑴解出：x(t)=x0ert(2)

(2)式的参数r和x0可以用表1-1数据估计。为了利用最小二乘法，将(2)式取对数，可得y=rt+y=rt+a，y=Inx，a=Inx0(3)分别以1981年到1992年的数据和1981年到1993年的数据拟合(3)式，用matlab计算：t=0:11;x=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.7515601824.2921992438.89];y=log(x);p=polyfit(t,y1)r=p(1),x0=exp(p(2))Y=polyval(p,t);X=exp(Y);p=0.34354.4914r=0.3435x0=89.2424得到r=0.3435,x0=89.2424t=0:12;x=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.7515601824.2921992438.892737.71];y=log(x);p=polyfit(t,y1)r=p(1),x0=exp(p(2))Y=polyval(p,t);X=exp(Y);得到r=0.3205，x0=97.1060结果分析：用上面得到的参数r和x0代入⑶式,将结果与实际数据比较。x1是用1981年到1992年的数据拟合的结果，计算人口x2用的是全部数据的拟合的结果。年实际销售量计算销售量x1计算销售量198143.6589.242497.10601982109.86125.8205133.79421983187.21177.3910184.34391984312.67250.0989253.99211985496.58352.6078349.95451986707.65497.132348225700.8937664.3460

19881989199019911988198919901991199219931238.751560.001824.292199.002438.892737.71988.17151393.21964.22769.33904.45504.7915.34691261.21737.72394.23298.84545表5-1根据表5-1的数据，用matlab制作指数增长型拟合图形，图5-1.1表示用1981年到1992年的数据拟合的结果图，图5-1.2表示用全部数据（1981年到1993年）拟合的结果。图5-1.1、图5-1.2中曲线是计算结果，“*”表示实际数据。定变化的，由此可见，高压锅的销售量的增长律是不变的假设不成立。需重新建立模型分析。定变化的，由此可见，高压锅的销售量的增长律是不变的假设不成立。需重新建立模型分析。2.高压锅销售线性模型的假设由图表3-1，假设y和t满足线性关系，所以建立线性模型，设y=at+b利用最小二乘法确定a,b的具体值，并根据a,b的值拟合高压锅的销售情况，与原数据进行比较。MATLAB的程序实现如下：y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;sp=polyfit(t,y,l);yy=polyval(p,t,l)plot(t,y,'*',t,yy)画出原数据与拟合曲线图5-2(yy-y)213=157.2915预测的标准误差为：模型y=at+bsp=polyfit(t,y,l);yy=polyval(p,t,l)plot(t,y,'*',t,yy)画出原数据与拟合曲线图5-2(yy-y)213=157.2915预测的标准误差为：模型y=at+b分析从图形及标准误差可以看出，线性模型虽然简单，但误差太大。并且当t时y，而高压锅销售量是有限的，也就是说高压锅的销售量是一个有限的数，不可能是一个无限大的。所以，用线性模型不能完全反映高压锅的销售情况。必须寻找一个更好的模型去分析高压锅的销售情况。3.建立高压锅logistic模型由于高压锅刚进入市场，人们对其需求量不是很大，高压锅销售数量的增长率小；但随时间推移，人们生活水平的提高，其销售量增长率也逐渐提高，销售数量将趋于一个定值，即L，此时销售数量的增长率将趋于0•综上，高压锅的销售情况满足Logistic模型。设高压锅的销售数量的增长率为r(t)，高压锅的销售量的上限为L，销售量为y(t)dt则有：建立模型r(t)y=r(1-dy<dtr(1一模型分析y2yr=ry—当L与y(t)相比很大时，LL，与ry相比可以忽略不计，Logistic模型可以转化为指数模型；而当L与y相比不是很大时，r疋就不能忽略，其作用是使高压锅的销售量L的增长速度减缓下来。用Matlab对一阶常微分方程模型做分析，程序如下：y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;y0=43.65;[tt,yy]=ode45(@Logistic,t,y0);plot(t,y,'*',tt,yy);作图结果L图5-3作图结果L图5-3y=Logistic增长曲线模型为t1+ae-kt.ae-ae-k两边同时取倒数得yL两边同时取对数得ln(—一1)=ln(ae-kt)=lna+lne-kt=lna一kty两边同时取对数得Lyl=ln(一1)令y，aa=-k，bb=lna.即得线性关系式：yy=aat+bb所以Logistic增长曲线模型能线性化。用Matlab对Logistic模型做非线性回归Matlab程序如下：

y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;L=3000;y1=log(L./y-1);p=polyfit(t,y1,1);k=-p(1);a=exp(p(2));yy=L./(1+a*exp(-k*t));plot(t,y,'*',t,yy);拟合Logistic模型，画出拟合图形=Le拟合Logistic模型，画出拟合图形=Le_be「kt图5-4Gompertz增长曲线模型为yt两边同时除以L得Lln两边同时取对数得=ln(_b)_ktln两边同时取对数得=ln(_b)_kt.再两边同时取对数得令y2=InIn-，aa=_k，bb=ln(_b).得线性关系式y2=aat+bb.拟合Gompertz模型用Matlab拟合Gompertz模型Matlab程序如下y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71];t=0:12;L=3000;

yl=log(log(y/L));a=polyfit(t,yl,l);b=-exp(a⑵)；k=-a(1);yy=L*exp(-b*exp(-k*t));plot(t,y,'*',t,yy);画出Gompertz模型并与原数据比较，作图如图5-5图5-5Ky=Logistic增长曲线模型，其一般形式为t1+ae-bt・增长曲线有两个重要特征。一是y随着t的增加直至+8而趋向于K，K即是Y的饱和值；反过来，当t~-时，y-0。二是增长曲线具有一个拐点，在拐点之前，y的增长速度越来越快；在拐点之后，y的增长速度越来越慢，逐渐趋近于0。在现实经济生活中，许多指标的增长过程具有这两个特征。所以，逻辑