2020-2021学年北师大版数学1学案：2 实际问题的函数建模

§2实际问题的函数建模

内衣标准学科素泰

lo会利用已知的数模型

精确数据分析

解决实际问题.

强化教学运算

2o能重立函数模型解决

熟练教学建模

实际问题。

课前自主预习@-----------------------------------------------------------掌握基本知识，注重基础训练

授课提示：对应学生用书第71页

Z■基础认识］

知识点一常见函数模型

预习教材P120.130,思考并完成以下问题

C1J①斜率左的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？

②在系法数模型的解析式中,Q的正负如何影响函数的单调

性？

提示:①人>0时直线必经过一、三象限，y随无的增大而增大；

^<0时直线必经过二、四象限,y随x的增大而减小.②当x>0,«

>0时，函数的图像在第一象F艮内是上升的，在(0,+8)上为

增的数；当%>0,avO时，函数的图像在第一象F艮内是下降的，

在(0,+8)上为减函数、

(2)①依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什2性质？

②数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？

提示:①主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢.

②因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图选择我们比

较熟悉的、最简单的函数进行拟合，但用得到的函数进行估计

时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函

教模型.

知识梳理常见函数模型

⑴一次丫=kx+b（k,b为常

法教模型教房0）

(2)二次函y=加+陵+。(Q,b,

教模型c为常数，存0)

常用的教

(3)指教y=bcf+c（a,b,c为

模型

困教模型常数,Z?#0,。＞0且。#1）

y=租log。％+n(mfa,

(4)对数函

H为常数，相声0,a>0

教模型

且存1)

C5J第函y=+b（a,6为常教，

教模型存0）

⑹分段

y=错误！

的教模型

知识点二解决法数应用问题的基本步骤

知识梳理利用的教知识和函数观点斛决实际问题时，一

般按以下几个步骤进行：

（一）审题；（二）建模；（三）求模；（口）还原.

这些步骤用柩图表示如图：

、联想、

建立函数模型

、转化

问

数

题

学

解

解

答

决

转译

I实际问题结论I数学问题结论

[t我检测7

L今有一组数据，如下表所示:

X12345

6.99.0

y3511

91

下列的数模型中，最接近的表示这组数据满足的规律的一个

是（）

A、指教的教B、反比例困数

C«一次函数,D、二次函

解析：画出散点图，如图所示：

74

12.

10.

8.

6.

4.

2

°123456，

观察散点图，可见各个点接近于一条直线，所以可用一次函教

表示、

答案：C

2、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个,2个分裂成4个，....

现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数

关系是（）

x1xx+1

A、y=2xB、y=2-C.y=2D,y=2

解折：分裂一次后由2个变成2x2=22（个人分裂两次后变成

4x2=23（个），……，分裂x次后变成y=2"i个、

答案：D

3.票汽车在一时间段内速度v（km/h）与耗油量。（L）之间有

近仞的函数关系：2=0o0025V2-0O175v+4.27,则车速为

km/h时，汽车的耗油量最少、

解折：2=0.0025V2-0O175v+4o27

=0o0025（v2-70vJ+4.27

=0.0025[(u-35>-352]+4.27

=0.00253-35)2+1。2075.

故v=35km/h时，耗油量最少.

答案：35

该课堂合作探究------------------------------------------------------洞悉学习方向，把脉核心问题

授课提示：对应学生用书第71页

探究一一次的教、二次舀教模型

Z■例U票商场经营一枇进价是每件30元的商品，在市场

销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下

关系：

销售单价

30404550

x(元)

日销售量

6030150

y(件)

门)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x.y)

对应的点，并确定x与y的一个函数关系式j>=犬幻；

(2)设经营此商品的目销售利润为。元，根据上述关系式写出

。关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得

最大目销售利润、

［思路点拨］依据(x,y)的关系一女1)是一次函教一建立P的

困教关系一利用二次函数的性质求最值、

y

Z■斛折7卖数对(x,y)对应的60点、如图所

50

40

30

示，由图可知y是x的一次函数.20

10

⑴设/(x)=kx+b,~O1620304050*

则错误!斛得错误！

.\f(x)=-3x+150,30S烂50,检验成立、

(2)P=(x-30)-(-3x+150)=-3x2+240x-4

500,30<x<50,

对称轴x=-错误！=40W£30,507、

当销售单价为40元时，所获利润最大.

方法技巧一次及教、二次函教均是重要的函数模型，特别

是二次函教模型在函教建模中占有重要的地住、利用二次函教

求最值时要注意取得最值时的《变量与实际意义是否相符.

跟踪探究1.慕校高一(2)班共有学生51人，

据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出

是〃元，若该班全体学生改饮票品牌的桶装纯净

水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买

纯净水的费用，另一部分是其它费用228元，其中，纯净水的

销售价M元/桶)与年购买总量桶)之间满足如图所示关系.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)当。=120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根

据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用

与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的

理由；

(3)当。至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年

总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？

解折：(1)设)=履+b(原0),

・「％=8时，y—400；x=10时，y—320o

错误!斛之得错误！

二)关于x的舀教关系式为y=-40x+720(%>0Z

(2)该班学生买饮料每年总费用为51x120=61201元).

当y二380时,380=-40x+720,得x=8.5,

该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380x8.5+228

=34581元入

所以，饮用桶装纯净水的年总费用少，

(3)设该班每年购买纯净水的费用为P元，则

P=xy=X-40x+720J=-40Cx-9)2+3240,

当X=9时，Prnax=3240.

要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮

料的年总费用少，

则51GPmax+228,斛得位68,故。至少为68元时全班饮用

桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费

用少,

探究二指数型法教、对教型的教模型

［例2J某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均

增长率为1.2%,试解答以下问题：

（1）写出经过x年后，该城市人口总数y（万人）与无（年）的

函数关系；

（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0。1万人）；

（3；计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确

到1年入

910

（参考数据：1。012~1.113,1.012~1O127,1g1。2-0o079,

lg2-0o3010,1g1.012=0。005）、

［解析］（1）2009年底人口总数为100万人，

经过1年,2010年底人口总数为100+100x1o2%=100xfl

+1.2%),

经过2年，2011年底人口总数为100x(1+1.2%)+100x(1+

1.2%)xl.2%=100x(1+lo2%)2,

经过3年，2012年底人口总数为100x(1+1.2%；2+100x(1

2

+lo2%)xlo2%=100X(1+1.2%)3,

所以经过x年后，该城市人口总数为100xCl+lo2%产，

所以y=100Xn+1.2%)xo

(2)10年后该城市人口总数为100x(1+lo2%)10~112o7(万

人)，

(3J由题意得100x(1+1.2%)”>120,

两边取常用对数得lg[100x(l+l。2%)x]>lg120,

整理得2+xlg1.012>2+lg1.2,得xN16,

所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人、

方法技巧指数型的数模型：y二加炉+仅4>0且存1,根#0),

在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问

题都可用指数型函数模型来表示,对数型及数模型：)二根10gd

+c(m^0,。>0且〃#1),对数型函数模型一般给出函数关系式，

然后利用对数的运算求斛、

跟踪探究2.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究

燕子的科学彖发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=

510g2错误!，单住是m/s,其中。表示燕子的耗氧量.

(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单住？

(2)当一只燕子的耗氧量是80个单住时，它的飞行速度是多

少？

斛折：门)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0,代人题目

所给公式可得0=51og2错误!O

解得。二10,即燕子静止时的耗氧量为10个单核.

(2)将耗氧量。=80代人公式得：

v=510g2错误!=510g28=15(m/sJ,

即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15m/so

探究三分段函数模型

「例3］某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的

80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方

案获得相应金额的英券：

旃费金额

n88(388,(588,(888,1

(元)的范

,388J588]888]1887•••

M

获得奖券的285888128・・・

金额(元)・・•

根据上述促销方法，顾蓉在该商场购物可以获得双重优惠，例

如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能

获得对应的奖券金额为28元'于是，该独家获得的优惠领为：

400x0.2+28=108元、设购买商品得到的优惠率=错误!.试问：

门)购买一件标价为1000元的商品，顾家得到的优惠率是多

少？

(2)当商品的标价为［100,600J元时，试写出顾客得到的优

惠率y关于标价x元之间的函数关系式；

C3J当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可

以得到超过35%的优惠率？若可以，靖举一例；若不可以,试说明

你的理由,

「思路点拨】结合实例计算(1人当［100,235),［235,485］,

(485,6007,求)与x的关系式；在(2)的基础上计算每一段上

的优惠率，分析是否达到35%.

［解析］(U由题意，标价为1000元的商品消费金额为1

000x0.8=800元，

故优惠额为：1000x0.2+88=288元，则优惠率为错误!=28。8%。

(2)由题意，当靖费金额为188元时，其标价为235元;当消费金

颖为388元时，其标价为485元;

当消费金领为588元时，其标价为735元.

由此可得，当商品的标价为flOO,600］元时，顾客得到的优

惠率y关于标价x元之间的函数关系式为：

y=错误！

（3）当CO,235）时，优惠率即为：20%；

当xW［235,4857时，优惠、率为：）=0。2+错误!，

此时的最大优惠率为0.2+错误!=0.319V35%。

当x€（485,600］时，优惠率为：）=0。2+错误!，

此时的优惠率yvO。2+错误!=0。32<35%；

综上，当独家购买不超过600元商品时，可得到的优惠率不

会超过35%

延伸探究如果此人实际消费1000元，问该人得到优惠领

共多少元？

斛折：此人得利的优惠额为：错误!x0。2+128=378元.

方法技巧lo分段舀教模型是日常生活中常见的困数模

型,对于分段的教，一要注意规范书写格式；二要注意各段的

自变量的取值范围，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边

开“，以保证在各分点的“不重不漏”、

2、斛决分段函数问题需注意几个问题：(D所有分段的区间

的并集就是分段舀数的定义域.(2)求分段函数的函数值时，先

要弄清4支量在邺个区间内取值，然后再用该区间上的斛折式

来计算的数值.(3)一般地，分段的数由几段组成，必须注意考

虑各段的自变量的取值范囹.

跟踪探究3.如图所示，等腰楞形A3CD的两底分别为AZ)=

2,BC=1,/氏4。=45。,直线从W14。支AD于Mf支折线A3CD

于N,记AM=x,试将梯形ABCD住于直线MN左侧的面积y

表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域、

斛折：如图，过3,C分别作AD的垂线，垂足分别为“和

G,

则AH=错误!,AG=错误!,

当"优于“左侧时,AM二x,MN二x,

了.)二S^AMN=错误!I?'OSXV错误!.

当M住于H,G之间时，y=错误!AHHB+HAf・MN=错误!又错误!x错误!

+错误!X错误！=错误!x一错误！，错误!Sxv错误！.

当A/优于GQ之间时，y=S梯形"co-SAMONU错误!x错误!x(2

+1)一错误!(2—x)(2—x)=一错误!f+2x一错误！，错误!S烂2。

所求函数的关系式为y=错误！

...函数的定义域为£0,2，值域为错误!.

探究8拟合的数模型的应用

r例4］环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因挑污

比较严重，决定着手整治，一月时污染度为60,整治后前田个

月的污染度如下表：

月教1234・・・

污染

6031130•・・

度

污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用

下列三个函数模型从整治后第一个月开始工厂的污染模式：

fix)=20|x-4|(x>l),g(x)=错误!(x-4)2(x>l),h(x)

=30|logu-2|(x>lJ,其中x表示月教，g(x)fh{x)分别表

示污染度.

问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由、

［解析1用力行)模拟比较合理、理由：因为犬2)=40/2)=26。

7,h(2)=30^3；=20,g(3户6。7,h(3)句2.5。

由此可得"G)更接近实际值，所以用"G)模拟比较合理、

方法技巧对于此类实际应用问题，关键是先建立适当的法

教关系式，再解决教学问题，然后验证并结合问题的实际意义

作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数斛题、函数拟

合与预测的一般步骤是：

(1J能够根据原始数据、表格，描出数据点.

(2)通过数据点，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或

拟合曲线、如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，谪“点”

不漏,那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况

一般是不会发生的,因此，使实际点尽可能地均匀分布在直线或

曲线两侧，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.

(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函教关系

式、

(4)利用法教关系灰，根据条件对所给问题进行预测和控制，

为决策和管理提供依据、

跟踪探究4o为了估计山上积雪融化后对下游灌流的影响，

在［上建立了一个观察站，测量最大积雪深度xcm与当年灌溉

面积yhn?。现有连续10年的实测资料，如下表所示.

年最大积雪深灌溉面秋

序度x/cmy/hm2

115o228.6

210.421o1

321.240o5

418o636o6

526.449o8

623.445o0

713.529o2

816.734.1

924o045.8

1019.136.9

(1)描点画出灌流面积y(hm2)随秋雪深度x(cm)变化的图

像；

(2；建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x)f

并画出图像；

(3)根据所建立的函教模型，求最大积雪深度为25cm时，

可以灌溉的土地数量、

斛折：(1)描点作图如图甲.

甲乙

(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近,由此，

我们假设灌溉面秋y和最大秋雪深度x满足线性函数模型y=。尤

+b(存0)、取其中的两组数据(10.4,21.1J,C24.0,45o8),

代人y=4X+"得错误！

用计算器可算得向1.8,Z?~2o4.

这样，我们得到一个函数模型y=1。8x+2o4o

作出的数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据

的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉

面秋的关系.

(3)由y=1。8x25+2o4,求得y=47。4,即当最大积雪深

度为25cm时，可以灌溉土地47.4hm2。

03^^讨论探究@------------------------------------------------------总结规律方法，提升核心素养

授课提示：对应学生用书第74页

［课后小结］

L的数模型的应用实例主要包括三个方面:

(1)利用给定的函数模型斛决实际问题；

(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；

(3)建立拟合舀教