九年级数学上册第11讲 点和圆、直线和圆的位置关系（一）（解析版）

/第11讲点和圆、直线和圆的位置关系（一）(重点题型方法与技巧)目录类型一：判断点和圆的位置关系类型二：有关三角形外接圆的计算和证明类型三：确定圆的条件类型一：判断点和圆的位置关系理解点和圆的位置关系的“两点”技巧：

（1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d)和半径（r）的数量关系.（2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断.典型例题例题1．（2022·江苏·九年级课时练习）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若，则点P与⊙O的位置关系是（

）A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外【答案】C【详解】∵⊙O的半径为5，PO＝6，∴点P到圆心O的距离大于半径，∴点P在⊙O的外部，故选C．点评：例题1考查了点与圆的位置关系，理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点到圆心的距离小于半径即可判断点P在⊙O的内部．例题2．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知⊙O的半径为3，点M在⊙O上，则OM的长可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】解：∵点M在⊙O上，⊙O的半径为3，∴OM=3，故选：B．点评：例题2考查点与圆的位置关系，若圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当点在圆外时，则d>r；当点在圆上时，则d=r；当点在圆内时，则d<r．例题3．（2021·全国·九年级专题练习）已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm，∴线段OA的长度＜5cm．故选：A．点评：例题3考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内．例题4．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，4为半径作圆，点P的坐标是（5，5），则点P与⊙O的位置关系是（

）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或在⊙O外【答案】C【详解】解：∵点P的坐标是（5，5），∴，而的半径为4，∴等于大于圆的半径，∴点P在外．故选：C．点评：例题4考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系．先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．例题5．（2021·浙江绍兴·九年级期中）已知⊙O的半径为，点在⊙O外，则_____（填＞或＝，＜）．【答案】＞【详解】∵⊙O的半径为，点在⊙O外∴故答案为：．点评：例题5考查点与圆的位置关系，解题的关键是设⊙O的半径为，点在⊙O外；点在⊙O上；点在⊙O内．例题6．（2022·全国·九年级单元测试）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是______．【答案】2.5【详解】解：如图所示：当点M在圆外时，外点到圆上各点的距离中，最大值可表示为半径，最小值可表示为半径，点到圆上的最小距离MB＝1，最大距离MA＝6，∴2半径＝6﹣1＝5，∴半径r＝2.5，故答案为：2.5．点评：例题6主要考查了点与圆的位置关系，根据题意画出图形是解决本题的关键．画出图形，根据点在圆外时，点到圆周上点的最大距离最小距离转化为点到圆心的距离表示即可得到结论．例题7．（2022·江苏·九年级专题练习）已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的距离d＝OD＝3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?【答案】PD＝4cm，点P在⊙O上．QD＞4cm，点Q在⊙O外．RD＜4cm，点R在⊙O内．【详解】解：连接PO，QO，RO．∵

PD＝4cm，OD＝3cm，∴

PO＝．∴

点P在⊙O上．，∴

点Q在⊙O外．，∴

点R在⊙O内．点评：例题7主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．同类题型演练1．（2019·山东潍坊·九年级期中）矩形中，，，如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（

）A．点、均在外 B．点在外，点在内C．点在内，点在外 D．点、均在内【答案】C【详解】解：根据题意，绘制图形如下，连接AC,∵矩形，，，∴中，，∴点在内，点在外，故选：C．2．（2022·广东广州·一模）A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是（）A．点A，点B都在⊙O上 B．点A在⊙O上，点B在⊙O外C．点A在⊙O内，点B在⊙O上 D．点A，点B都在⊙O外【答案】B【详解】解：∵OA＝＝5，OB＝＝＞5，∴点A在⊙O上，点B在⊙O外．故选：B．3．（2022·江苏江苏·九年级期末）已知的半径为，点P在上，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，∴OP＝4cm．故选：A．4．（2021·全国·九年级专题练习）在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B在⊙A内，则实数a的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵⊙A的半径为3，若点B在⊙A内，∴AB＜3，∵点A所表示的实数为5，∴2＜a＜8，故选：D．5．（2022·浙江·九年级单元测试）已知的半径为5，点到圆心的距离为，如果点在圆内，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：点在圆内，且的半径为5，，故选：D．6．（2020·广西南宁·九年级期末）已知的半径点在内,则_________（填>或=，<）【答案】<【详解】解：的半径为点在内，．故答案为:．7．（2022·浙江·九年级单元测试）已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为______．【答案】1【详解】解：如图：连接AO并延长交圆O于点B，C两点，点A到⊙O上的点的最短距离线段AB的长，最长距离为线段AC的长度．设圆的半径为r，则：BC＝2r＝AC−AB＝4−2＝2，∴r＝1．故答案为：1．8．（2022·全国·九年级课时练习）已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P．（1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？（2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？【答案】（1）点P在外；（2）点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上．【详解】解：（1），的直径为2点的位置只有一种情况在圆外，即点与的位置关系是点在圆外．（2），的直径为2点的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．即点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上．9．（2020·浙江·杭州市保俶塔实验学校九年级阶段练习）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点．（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何?（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．【答案】（1）A在圆上，M在圆内，B在圆外；（2）3＜r＜4【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M，∴AB=，CM=AB=，∵以点C为圆心，3为半径作⊙C，∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外；（2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外，3＜r＜4，故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4．类型二：有关三角形外接圆的计算和证明典型例题例题1．（2021·河北·九年级专题练习）边长为2的正三角形的外接圆的半径是（）A．2 B．2 C． D．【答案】C【详解】解：如图，等边△ABC中，三边的垂直平分线交一点O，则O是△ABC外接圆的圆心，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，BF＝CF＝BC＝1，∴OF＝BF＝，∴OB＝2OF＝．答案：C．点评：例题1考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形外接圆．掌握等边三角形三线合一以及其交点即为该等边三角形外接圆的圆心是解答本题的关键．由等边三角形三线合一可知，其交点即为△ABC外接圆的圆心O，即可推出∠OBC＝∠OCB＝30°，BF＝CF＝BC＝1，再由含角的直角三角形的性质，即可求出OB长．例题2．（2022·广东珠海·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（

）A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）【答案】A【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A点评：例题2考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．例题3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．【答案】1【详解】解：连接、，，，，即，解得：，故答案为：1．点评：例题3考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．例题4．（2022·湖南·长沙市北雅中学九年级阶段练习）已知：在中，，．(1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）(2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：如图即为所求．①分别以点，点为圆心，大于的长为半径，画弧，作出线段的中垂线；②同理作出线段的中垂线；③两条中垂线的交点O为圆心，为半径画圆，即为所求．（2）解：如图，连接，由题意得：，∵，，∴，∴，∴圆的面积为：．点评：例题4考查画三角形的外接圆，以及垂径定理求半径．熟练掌握外心的定义和等腰三角形的判定与性质，以及垂径定理是解题的关键．（1）分别作线段和线段的中垂线，中垂线的交点即为的外心O，以O为圆心，为半径画出的外接圆即可；（2）如图，连接，利用垂径定理求出半径，即可求出的面积．同类题型演练1．（2022·广东·佛山市华英学校三模）如图，点，，都在格点上，的外接圆的圆心坐标为（

）A．（5，2） B．（2，4） C．（3，3） D．（4，3）【答案】A【详解】解：根据的外接圆的定义，作和的垂直平分线相交于点，∴点P（5，2），故选：A．2．（2021·广东·广州市实验外语学校九年级阶段练习）三角形的三边长为6，8，10，那么此三角形的外接圆的半径长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】解：∵，∴三角形为直角三角形，∵直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，斜边为直角三角形中最长边，∴三角形外接圆的半径,∴三角形外接圆的半径等于5．故选：D．3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，．则△ABC的外心坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵B点坐标为（2，-1），C点坐标为（2，3），∴直线BC∥y轴，∴直线BC的垂直平分线为直线y=1，∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，∴△ABC外心的纵坐标为1，设△ABC的外心为P（a，1），∴，∴，解得，∴△ABC外心的坐标为（-2，1），故选D．4．（2022·江苏·九年级课时练习）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______．【答案】【详解】解：，，解得，当时，不能构成三角形；当时，，这个三角形是斜边为5的直角三角形，该三角形外接圆的半径为，故答案为：．5．（2022·重庆渝中·二模）如图，菱形中，，于点，为的中点，连接，，．若，则的外接圆半径为______．【答案】【详解】∵菱形∴，∵∴∵∴的外接圆的圆心为中点O如图：∵，即∴点D在上∵∴∴∴∴，∵∴∵，∴∴，即∴∴设∴∴或（舍去）经检验，是原方程的解∴∴或（舍去）∴的外接圆半径故答案为：．6．（2021·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习）如图，已知△ABC为等腰三角形，AD⊥BC；(1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；(2)若底边，腰，求△ABC外接圆⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：如图所示：如图是所求作的的外接圆.（2）解：如图：∵是等腰三角形，底边，腰，∴，∴在中，.在中，.∴．7．（2020·江苏·沭阳县怀文中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为；⊙M的半径为；（3）点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系是点D在⊙M；（4）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过个格点．【答案】（1）见解析；（2）（2，0），2；（3）内部；（4）8【详解】解：（1）如图，点M即为所求．（2）M（2，0），MA＝＝．故答案为：（2，0），2．（3）点D（5﹣2）在⊙M内部．故答案为：内部．（4）如图，满足条件的点有8个．故答案为：8．类型三：确定圆的条件典型例题例题1．（2022·全国·九年级单元测试）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．都不能【答案】B【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．点评：例题1考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．例题2．（2021·北京·九年级期中）有下列四个命题，其中正确的个数是（

）（1）经过三个点一定可以作一个圆；（2）任意一个三角形有且仅有一个外接圆；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；（4）在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】（1）经过不在同一直线上的三个点一定可以作一个圆，故本说法错误；（2）任意一个三角形有且仅有一个外接圆，本说法正确；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，本说法正确；（4）在圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本说法错误；故选：B．点评：例题2考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据确定圆的条件、三角形的外心的概念、垂径定理的推论判断即可．例题3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（

）A．点P B．点Q C．点R D．点M【答案】B【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．故选：B．点评：例题3考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．例题4．（2021·江苏宿迁·九年级阶段练习）已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为______时，过P，A，B三点不能作出一个圆．【答案】(−1,3)【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A(0,2)，点B(2,0)，∴，解得，∴y=−x+2.解方程组，得，∴当P的坐标为(−1,3)时，过P，A，B三点不能作出一个圆.故答案为(−1,3).点评：例题4考查确定圆的条件和一次函数的性质，解题的关键是掌握确定圆的条件和一次函数的性质.由而在同一直线上的三个点不能画一个圆可知，当P，A，B三点共线时，过P，A，B三点不能作出一个圆．为此，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再与y=x-4联立，两直线的交点坐标即为所求．例题5．（2021·河南南阳·九年级期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点，，，请完成下列填空：(1)请用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）的方法作出该弧所在圆心点的位置；(2)并写出圆心坐标是______，的半径是______；(3)求弧的长．【答案】(1)见解析(2)（2，0），(3)【详解】(1)解：如图所示，点D即为所求；(2)解：由（1）可知点D的坐标为（2，0），∴，故答案为：（2，0），；(3)解：如图所示，连接AD，CD，∴，，∴，∴∠ADC=90°，∴．点评：例题5主要考查了坐标与图形，找圆心，勾股定理与勾股定理的逆定理，求弧长，正确找到圆心的位置是解题的关键．（1）只需要作AB，BC的垂直平分线，两者的交点即为点D；（2）根据（1）所作即可得到答案；（3）先利用勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°，然后利用弧长公式求解即可．同类题型演练1．（2022·江苏·九年级专题练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子（）A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块【答案】A【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，两条垂直平分线的交点就是圆心．故选：A．2．（2022·江苏·九年级专题练习）下列说法：①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．正确的个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧；故①不符合题意；在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也不一定相等；因为圆当中任意一条弦都与两条弧相对，故②不符合题意；等弧所对的圆心角相等；正确，故③符合题意；过不在同一直线上的三点可以画一个圆；故④不符合题意；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故⑤不符合题意；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．故⑥不符合题意；故选A3．（2020·浙江·余姚市兰江中学九年级阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（

）A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，1)【答案】A【详解】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD=DB=DA=，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故选：A．4．（2022·江苏·九年级专题练习）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为__．【答案】n≠﹣8【详解】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴，解得：，∴直线AB的解析式为，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴当点C在直线AB上时，，∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8，故答案为：n≠﹣8．5．（2021·江苏·沭阳县怀文中学九年级阶段练习）已知直线l:y=x−4，点A(0,2)，点B(2,0)，设点P为直线l上一动点，当P的坐标为______时，过P，A，B三点不能作出一个圆.【答案】(3,−1)【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A(0,2)，点B(2,0)，∴，解得，∴y=−x+2.解方程组，得，∴当P的坐标为(3,−1)时，过P，A