线性系统的稳定性与稳定判据课件

§3-5线性系统的稳定性与稳定判据一．稳定的概念与定义定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不稳定。二．线性系统稳定的充要条件稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。§3-5线性系统的稳定性与稳定判据一．稳定的概念与定义1线性系统稳定的充要条件：闭环系统特征方程度所有根均具有负实部，或其特征根全部位于s平面的左半部。线性系统稳定的充要条件：2线性系统的稳定性与稳定判据课件3三．稳定判据1.Routh稳定判据系统的特征方程为必要条件:（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零；（2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同 的符号。充分条件：劳斯阵列第一列所有元素为正。三．稳定判据必要条件:充分条件：4劳斯阵列劳斯阵列52.Routh判据的特殊情况（几点说明）１、为简化计算，用一个正整数同时乘以或除以某一行的各项，不改变稳定性的结论。2、对于不稳定的系统，说明有特征根位于复平面的右侧，在复平面右侧特征根的数目，就等于劳斯阵中第一列系数符号改变的次数。3、劳斯阵中出现某一行的第一列项为零，而其余各项不全为零，这时可以用一个有限小的正数ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算劳斯阵中的其余各项。列出劳斯阵以后，观察第一列数值，当ε→0时，含ε项的符号与上、下行符号进行比较，若系数符号相反，就说明有符号改变。4、劳斯阵中出现全零行，表明系统存在一些大小相等，符号相反的实根或一些共轭虚根。为继续计算劳斯阵，将不为零的最后一行的各项组成一个辅助方程，由该方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零行的各项，然后继续按劳斯阵的计算方法写出以下各行。2.Routh判据的特殊情况（几点说明）１、为简化计算，6符号改变一次符号改变一次符号改变一次符号改变一次7a.某行第一个元素为零，其余均不为零。例：设系统特征方程为，试判别系统的稳定性。解：（1）特征方程各项系数大于0；（2）列劳斯阵当ε→0时，，该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改变了两次，系统不稳定，有两个特征根位于复平面右侧。a.某行第一个元素为零，其余均不为零。例：设系统特征方程为8改变一次改变一次改变一次改变一次9b.劳斯表某行全为零说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。例：设系统特征方程为，试判别系统的稳定性。解：（1）特征方程各项系数大于0；（2）列劳斯阵劳斯阵中s3行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s4行)的各项组成辅助方程为将辅助方程对s求导数，得导数方程

b.劳斯表某行全为零说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相10用导数方程的系数取代s3行中为零的项，为简化计算，各项除以8，并计算以下各行的系数，得劳斯阵为

新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位于复平面右侧的根。由于出现全零行，表明存在共轭虚根，这些根可由辅助方程求出。令解得虚根为用导数方程的系数取代令11线性系统的稳定性与稳定判据课件12线性系统的稳定性与稳定判据课件13解：系统特征方程为为使系统稳定，必须：（1）特征方程各项系数大于0，即要求K＞0；（2）列劳斯阵

第一列各项系数应大于零，于是有6－K＞0，即K＜6。为使系统稳定，K的取值范围应为0＜K＜6，临界开环增益为Kp＝6。例1：已知控制系统的闭环传递函数为，试确定系统的临界开环增益。3.Routh判据的应用解：系统特征方程为例1：已知控制系统的闭环传递函数为14C(s)R(s)-C(s)R(s)-15线性系统的稳定性与稳定判据课件164.Hurwitz判据设系统的特征方程为：则系统稳定的充