吉林省长春市第二十中学2023-2022学年高二上学期第一次质量检测数学试题含解析

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学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则下列向量中与相等的向量是()

A.B.C.D.

2、在空间四边形ABCD中，下列表达式的结果与相等的是()

A.B.C.D.

3、已知空间向量a和b的夹角为，且，，则()

A.12B.C.4D.13

4、已知数组，，，则()

A.1B.—1C.2D.

5、已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为()

A.45°B.135°C.45°或135°D.90°

6、过点，的直线的倾斜角为()

A.60°B.45°C.135°D.30°

7、已知直线，，若，则()

A.B.2C.D.2或

8、若直线：与直线：垂直，则().

A.0B.1C.0或1D.1或2

9、两平行直线，之间的距离为()

A.B.3C.D.

10、若方程表示圆，则实数m的取值范围为()

A.B.C.D.

二、多项选择题

11、过点且倾斜角为的直线方程为()

A.B.

C.D.

12、椭圆的焦距等于2，则m的值为()

A.6B.9C.6或4D.9或1

三、填空题

13、已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上存在点P使得，则__________.

14、已知椭圆的两个焦点分别为，，过点作直线交椭圆于A，B两点，则三角形的周长为________.

15、已知点P是椭圆上的点，则点P到椭圆的一个焦点的最短距离为_____.

16、已知双曲线的渐近线方程为，且，则双曲线的方程为___________.

四、解答题

17、如图，已知在正方体中，M，N，P分别是，BD，的中点，利用向量法证明：

（1）平面；

（2）平面平面.

18、求经过三点，，的圆的方程.

19、已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程

20、已知椭圆的离心率为，求m的值.

21、已知椭圆的离心率为，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆的左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，求.

22、如图，在直三棱柱中，，，点PQ分别为BC的中点，与底面ABC所成的角为.

（1）求异面直线BP与所成角的大小余弦值；

（2）求点C与平面的距离

参考答案

1、答案：C

解析：)-()＝.

故选：C.

2、答案：B

解析：对于A，，故A不符合题意；

对于B，，故B符合题意；

对于C，，故C不符合题意；

对于D，，故D不符合题意.选B.

3、答案：D

解析：.

4、答案：C

解析：因为，，，

所以，.

故选：C.

5、答案：C

解析：，即.

所以两平面所成二面角为或.

故选：C.

6、答案：B

解析：设过点C，D的直线的倾斜角为，

因为，，由斜率公式得，即，所以.

故选：B.

7、答案：A

解析：因为，所以，解得.

故选：A.

8、答案：B

解析：两直线垂直满足，解得，

故选：B.

9、答案：A

解析：直线，

直线，

所以两平行直线之间的距离.故选A.

10、答案：D

解析：由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.故选D.

11、答案：A

解析：因为直线的倾斜角为，

所以斜率，

又直线过点，

由直线方程的点斜式得：，

化为一般式：.

故选：A.

12、答案：C

解析：椭圆的焦点在x轴时，有.

由题意得：，解得：.

椭圆的焦点在y轴时，有.

由题意得：，解得：

故选：C

13、答案：12

解析：由椭圆的标准方程可知：，

由椭圆的定义可知：，而，

所以解得，因此，

故答案为：12

14、答案：20

解析：依题意椭圆方程为，所以，

所以三角形的周长为.

故答案为：20

15、答案：

解析：由，得，

所以，，

所以，，，

所以点P到椭圆的一个焦点的最短距离为，

故答案为：

16、答案：或或或.

解析：因为双曲线的渐近线方程为，

则可设双曲线的方程为，即，

因为，

所以，解得，

所以双曲线的方程为或.

故答案为：或.

17、答案：（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

解析：（1）以D为坐标原点，，，的方向

分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，，，，，.

由正方体的性质，知AD平面，

所以＝(2，0，0)为平面的一个法向量.

由于，

则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，

所以

又平面，

所以平面.

（2）因为为平面的一个法向量，

由于，

则，

即也是平面MNP的一个法向量，

所以平面平面

18、答案：

解析：依题，设圆的一般方程为（D，E，F为参数），将三点，，代入：解得

综上所述，圆的一般方程为

19、答案：

解析：设，，由点Q是线段OP的中点知，，又，

所以，即

20、答案：3或

解析：由已知可得椭圆方程为

当焦点在x轴上，即时，有，

则

依题意得，解得

当焦点在轴上，即时，有，

则，依题意有

解得，即m的值为3或.

21、答案：（1）；

（2）.

解析：（1）由题意：，

即

短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为

即，

而，

所以，，

所以椭圆的方程：；

（2）由（1），左焦点，直线l的方程：，

设，

联立直线l与椭圆的方程，消去y整理得：

所以，

22、答案：（1）；

（2）.

解析：（1）平面ABC，为与底面ABC所成角，

即，.

以B