线性方程组与矩阵秩的若干问题课件

引言矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的，它是矩阵的最重要数字特征之一。这里，我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容：矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用；矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。引言矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的1一.线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为：一.线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用m个方程n个2线性方程组(1)的矩阵表示为：其中，线性方程组(1)的矩阵表示为：其中，3线性方程组有解的判定定理

线性方程组(1)有解的充分必要条件是

这里，表示矩阵的秩。特别地，若，则线性方程组(1)有唯一解；若，则线性方程组(1)有无穷多解。线性方程组有解的判定定理线性方程组(1)有解的充分4

利用上述定理，可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直线及平面的位置关系。

1.直线与直线的位置关系

设几何空间中两条直线的方程分别为利用上述定理，可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直5

这样，与的位置关系取决于线性方程组

解的情况。记这样，与的位置关系取决于线性方程组解的情况。6则有如下结论：

（i）与相交

（ii）与重合

（iii）与平行

（iv）与异面则有如下结论：（i）与相交（7

2.

直线与平面的位置关系

设几何空间中直线和平面的方程分别为

记2.直线与平面的位置关系设几何空间中直线和平8则有如下结论：

（i）与相交

（ii）在上

（iii）与平行则有如下结论：（i）与相交（9

3.

三个平面的位置关系

设几何空间中三个平面的方程分别为

记3.三个平面的位置关系设几何空间中三个平面10则有如下结论：

（i）三个平面有一个公共点

（ii）三个平面有一条公共直线

（iii）三个平面平行

（iv）三个平面构成三棱柱

则有如下结论：（i）三个平面有一个公共点（i11二.矩阵秩不等式中的一些问题关于矩阵的秩,有两个重要的不等式.

Sylvester不等式：设、、分别是、、矩阵.

Frobenius不等式：二.矩阵秩不等式中的一些问题关于矩阵的秩,有两个重要的不等12

问题：

在这两个不等式中等号成立的条件是什么？

即以下等式成立的条件分别是什么？

问题：

在这两个不等式中等号成立的条件是什么？13

许多教材以习题方式给出等式①成立的充分必要条件：当且仅当齐次线性方程组与齐次线性方程组同解.

利用这一结果，可以得到等式②成立的充分必要条件：

当且仅当齐次线性方程组与齐次线性方程组同解.许多教材以习题方式给出等式①成立的充分必要条件：当且仅14对于等式③和等式④，文献[3]、文献[4]均做了研究，给出等式成立的充分必要条件.

文献[3]的结论：的充分必要条件是存在矩阵和，使得.的充分必要条件是存在矩阵和，使得.其中，是的任意取定的一个满秩分解.对于等式③和等式④，文献[3]、文献[4]均做了研究15

文献[4]的结论：的充分必要条件是,对于齐次线性方程组的任一解,都存在使得.或的充分必要条件是,对于齐次方程组的任一形如的解,都存在,使得.者说,的零空间包含于的象空间,即.文献[4]的结论：的充分必要条件是,对于齐次线性方程16

文献[5]利用矩阵的广义逆，分别给出等式①~等式④成立的充分必要条件.

引理1对于任意适维矩阵、、，有这里列出其主要结果：文献[5]利用矩阵的广义逆，分别给出等式①~等17

引理2对于任意、，有引理2对于任意、，有18

引理3设有n列，有n行，则对任意、，有引理3设有n列，有n行，则19

定理1在Sylvester不等式中，对任意、，

有为列满秩；为行满秩；定理1在Sylvester不等式中，对任意20

引理4对任意、，有引理4对任意、，21

定理2在Frobenius不等式中，对任意、

，有定理2在Frobenius不等式中，22参考文献[1]陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社,2000.[2]丘维声.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2002.[3]胡付高.关于一类矩阵秩的恒等式注记[J].武汉科技大学学报,2004,27(3):322-323.[4]吕登峰,刘琼等.矩阵秩的Sylvester