一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)

一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。(3)一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11。解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.(1)给定不等式$2x^2-8x-4-a>0$在区间$(1,4)$内有解，即$a<2x^2-8x-4$在区间$(1,4)$内有解。令$f(x)=2x^2-8x-4=2(x-2)^2-12$，当$x=2$时，$f(x)$取最小值$f(2)=-12$；当$x=4$时，$f(4)=2(4-2)^2-12=-4$，所以在区间$(1,4)$上，$-12\leqf(x)<-4$。要使$a<f(x)$有解，则$a<-4$。故选D。(6)若不等式$x^2-kx+k-1>0$对$x\in(1,2)$恒成立，则实数$k$的取值范围是$(-\infty,2]$。由$x\in(1,2)$，得$x-1>0$，则$x^2-kx+k-1=(x-1)(x+1-k)>0$，等价于$x+1-k>0$，即$k<x+1$恒成立。由于$2<x+1<3$，所以只要$k\leq2$即可。故填$(-\infty,2]$。(7)已知函数$f(x)=x^2+mx-1$，若对于任意$x\in[m,m+1]$，都有$f(x)<0$成立，则实数$m$的取值范围是$(-2,2)$。由题可得$f(x)<0$对于$x\in[m,m+1]$恒成立，即$f(m)<0$且$f(m+1)<0$。解得$2m-1<f(m)<0$，$2m^2+3m<f(m+1)<0$，即$-\frac{1}{2}<m<\frac{1}{2}$。故填$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。(8)若关于$x$的不等式$x^2-ax-a\leq-3$的解集不是空集，则实数$a$的取值范围是$a\leq-6$或$a\geq2$。不等式$x^2-ax-a\leq-3$的解集不是空集$\Leftrightarrowx^2-ax-a+3$的判别式$\Delta\geq0$，解得$a\leq-6$或$a\geq2$。(9)已知二次函数$f(x)$的二次项系数为$a$，且不等式$f(x)>-2x$的解集为$(1,3)$。(1)若方程$f(x)+6a$有两个相等的实根，求$f(x)$的解析式；(2)若$f(x)$的最大值为正数，求$a$的取值范围。(1)由题可得$f(x)+2x>0$的解集为$(1,3)$，故$f(x)+2x=a(x-1)(x-3)$，且$a<0$。因而$f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax^2-(2+4a)x+3a$。由方程$f(x)+6a$有两个相等的实根，得$ax^2-(2+4a)x+9a=0$，即$5a^2-4a-1=0$，解得$a=1$或$a=-\frac{1}{5}$。由于$a<0$，舍去$a=1$，将$a=-\frac{1}{5}$代入$f(x)$的解析式，得$f(x)=-\frac{1}{5}x^2-\frac{3}{5}x-\frac{9}{5}$。(2)由$f(x)=ax^2-2(1+2a)x+3a=\frac{a}{2}(x-(1+2a))^2