第九章 B-s期权定价模型

理解股票价格对数正态分布的特性，掌握Black-Scholes微分方程的基本概念和推导Black-Scholes公式的过程；掌握公式的性质，并且能够运用该公式进行定价；掌握风险中性定价的原理和方法；能够运用期权定价公式对支付红利的股票期权进行定价。第九章B-S期权定价模型

一、布莱克——斯科尔斯微分方程

（一）思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性(dz)影响，若匹配适当，这种不确定性就可以相互抵消。布莱克和斯科尔斯建立一个包括一单位衍生证券若干单位标的证券多头的投资组合。若数量适当，标的证券多头盈利(或亏损)总是会与衍生证券空头的亏损(或盈利)相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。（二）布莱克—斯科尔斯微分方程的假设

1．证券价格遵循几何布朗运动，即μ和σ为常数；2．允许卖空标的证券；3．没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；4．在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；5．不存在无风险套利机会；6．证券交易是连续的，价格变动也是连续的；7．在衍生证券有效期内,无风险利率r为常数。(三)布莱克——斯科尔斯微分方程的推导

1、基础证券的运动模型：由于假设证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：dS＝μSdt十σSdz其在一个小的时间间隔Δt中，S的变化值ΔS为：ΔS=μSΔt+σSΔz……（1）2、衍生工具的运动模型：

假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的

函数，由伊藤引理可得：3、构建无风险组合：从上面分析看出，(1)和(2)中的Δz相同，都等于。因此只要选择适当的衍生证券和标的证券的组合就可以消除不确定性。为了消除Δz，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令Π代表该投资组合的价值，则：4、无套利定价由于式(5)中不含有Δz，该组合的价值在一个小时间间隔Δt后必定没有风险。因此该组合在Δt中的瞬时收益率一定等于Δt中的无风险收益率。否则的话，套利者就可以通过套利获得无风险收益率。因此，在没有套利机会的条件下：ΔΠ＝rΠΔt……（6）把式(3)和(5)代入（6）得:5、这就是著名的布菜克——斯科尔斯微分分程,

它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。6、注意(1)组合的风险性当S和t变化时，的值也会变化，因此上述投资组合的价值并不是永远无风险的，它只是在一个很短的时间间隔Δt中才是无风险的。在一个较长时间中，要保持该投资组合无风险，必须根据t的变化而相应调整标的证券的数量。当然，推导布莱克——斯科尔斯微分方程并不要求调整标的证券的数量，因为它只关心Δt中的变化。(2)风险中性定价原理从式(7)可以看出，衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价(S)、时间(t)、证券价格的波动率(σ)和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率μ并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外负担外的收益来吸引他们承担风险。在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。应该注意的是，风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——斯科尔斯微分方程而作出的人为假定。但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资考风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。二、布莱克——斯科尔斯期权定价公式

1973年，布莱克和斯科尔斯成功地求解了他们的微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期权的精确公式。在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时(T时刻)的期望值为：其中，表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：在风险中性条件下，我们可以用r取代下式中的μ

N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率)。根据标准正态分布函数特性，有：N(—x)＝1—N(x)。对B-S公式理解：（1）上式右边的第二项-e-r(T-t)XN(d2)，是构建无套利组合时加入的一个单位衍生证券空头的现值，风险中性条件下的贴现值。由于该头寸是空头，所以符号为负，可以理解为组合中的负债价值。N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，即是欧式看涨期权被执行的概率；XN(d2)是执行价格乘以行权的概率，是概率折扣后到期行权获得的价值，是T时刻的终值；e-r(T-t)XN(d2)是上面终值X风险中性期望值的现值，它构成当前期权价格的一部分；（2）上式右边的第一项SN(d1)，是构建无套利组合时加入的若干个单位的标的证券的多头的现值。由于该头寸是多头，所以符号为正，可以理解为组合中的资产价值。无套利资产组合中必然同时存在多头和空头，否则风险无法对冲。

Δ＝N(d1)可以看作是组合中股票的数量（不超过1），SN(d1)就是股票的市值。

SN(d1)＝e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望值的现值。考虑到在风险中性条件下，ST实际上是S按无风险利率增长在T时刻的终值：ST=Ser(T-t)

或S＝e-r(T-t)ST

因此SN(d1)可以变换为：SN(d1)＝e-r(T-t)STN(d1)期权定价公式可以相应表示为：（3）d1和d2的性质当股票价格S变得很大时，d1和d2变得很大，N（d1）和N（d2）趋近于1，则：看涨期权价格f为：S-Xe-r(T-t)

看跌期权价格p为0，因为N（-d1）和N（-d2）趋近于0。

当股价波动率σ趋近于0时，有两种情况：当S>Xe-r(T-t)时，d1和d2趋向于正无穷大，N（d1）和N（d2）趋近于1，看涨期权价格f为：S-Xe-r(T-t)；看跌期权价格p为：0

当S<Xe-r(T-t)时，d1和d2趋向于负无穷大，N（d1）和N（d2）趋近于0，看涨期权价格f为0；看跌期权价格p为：Xe-r(T-t)–S总之，只要σ趋近于0，一定有：看涨期权价值总为：MAX（S-Xe-r(T-t)，0）；看跌期权价值总为：MAX（Xe-r(T-t)–S，0）；欧式看跌期权定价在标的资产无收益情况下，由于C＝c，因此式(10)也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：p＝Xe-r(T-t)N(—d2)—SN(—d1)(11)由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到一个精确的解析公式。美式看跌期权可以用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。三、有收益资产的期权定价公式

到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。那么，对于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？实际上，如果收益可以准确地预测到，或者说是已知的，那么有收益资产的期权定价并不复杂。(一)有收益资产欧式期权的定价公式

在收益己知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失，因此，我们只用S表示有风险部分的证券价格。σ表示风险部分遵循随机过程的波动率。直接套用公式（10）和（11）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。当标的证券己知收益的现值为I时，我们只要用(s—I)代替式(10)和(11)中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q(单位为年)时，将Se-q(T-t)代替式(10)和(11)中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。从而使布莱克——斯科尔斯的欧式期权定价公式适用欧式货币期权和股价指数期权的定价。对于欧式期货期权，布莱克教授也给出了定价公式：

例1假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7％，英国的无风险连续复利年利率为10％，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10％，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。由于英镑会产生无风险收益,现在的1英镑等于6个月后的e0.1×0.5英镑,而现在的e-0.1×0.5英镑等于6个月后的1英镑，因此可令S＝1.5000×e-0.1×0.5,并代入式（10）可求出期权价格：

通过查累积正态分布函数N(x)的数据表，我们可以得出：c=1.4268×0.4298—1.4484×0.4023＝0.0305＝3.05美分因此，6个月期英镑欧式看涨期权价格为3.05美分。(二)有收益资产美式期权的定价

1．美式看涨期权当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂。布莱克提出了一种近似处理方法。方法：先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在tn提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。例2假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30％，无风险连续复利年利率为10％，求该期权的价值。首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据前面的结论，美式看涨期权不能提前执行的条件是：在本例中，D1=D2＝1.0元。第一次除权日前不等式右边为X[1-e-r(t1-t2)]＝50×(1—e—0.1×0.5)＝2.4385由于2.4385＞1.0元，因此在第一个除权日前期权不应当执行.第二次除权日前不等右边为：X[1-e-r(T-t2)]＝50×(1—e—0.1×0.0833)＝0.4148由于0.4148＜1.0元，因此在第二个除权日前有可能提前执行然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权价格。对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：1.0×e-0.1×0.4167十1.0×6—0.1×0.9167＝1.8716元因此S-I=48.1284，代入式(10)得：c12＝48.1284N(d1)一50e—0.1×1N(d2)＝48.1284N(d1)一45.2419N(d2)其中d1=[1n(48.1284／50)十(0.1十0.09／2)×1]/[0.3×√1]=0.3562d2=0.3526-0.3×√1＝0.0562由于N(0.3562)＝0.6392N(0.0562)＝0.5224c12＝48.1284×0.6392—45.2419×0.5224＝7.1293元对于11个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：1.0×e-0.1×0.4167=0.9592元因此S-I=9.0408元，代入式(10)得c11＝49.0408N(d1)一50e—0.1×0.9167N(d2)＝49.0408N(d1)一45.6203N(d2)其中：d1=[1n(49.0408／50)十(0.1十0.09／2)×0.9167]/[0.3×√0.9167]=0.3952d2=0.3952-0.3×√0.9167＝7.2824c11＝49.0404×0.6536—45.6203×0.543＝7.2824由于C11＞C12，因此该美式看涨期权价值近似为7.2824元

2、美式看跌期权由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只