第二章 质点动力学

第二章质点动力学1牛顿第二章质点动力学

前言§2-1牛顿运动定律§2-2*力学相对性原理非惯性系中的力学§2-3动量动量守恒定律§2-4功动能势能机械能守恒定律§2-5*

理想流体的伯努利方程第二章质点动力学2前言运动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。在力学中，物体与物体间的相互作用称之为力。力的作用既有瞬时效应，又有积累效应：前者由牛顿定律描述，后者则由三大守恒律所描述；原来物体作何种运动，既与物体间的相互作用有关，又与物体自身的性质有关。当物体内部出现某种非线性因素时，在一定条件下即可能导致混沌。从17世纪开始，以牛顿定律为基础建立起来的经典力学体系，一直被认为是“确定论”的。但廿世纪80年代，人们发现了在“确定论”系统中，却可能发出现“随机行为”。为什么？第二章质点动力学3§2－1牛顿运动定律一、惯性定律惯性参照系实验表明，动力学规律并非是在任何参考系中都成立。这就引出了惯性参考系的问题。1、惯性定律“孤立质点”的模型：不受其它物体作用或离其他物体都足够远的质点。例如，太空中一远离所有星体的飞船。

牛顿第一定律（惯性定律）：一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态。第二章质点动力学4

惯性和惯性运动

惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动

惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物质固有的属性。

惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。2.惯性系与非惯性系问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？第二章质点动力学5牛顿定律只适用于某些参照系。asa/S/系S系光滑S/:牛顿定律不成立

a/0S:牛顿定律成立

a=0

第二章质点动力学6

什么是惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速直线运动时，该参照系为惯性系。

如何确定惯性系──只有通过力学实验*1地球是一个近似程度很好的惯性系但

相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。

一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。*2太阳是一个精度很高的惯性系

太阳对银河系中心的加速度为

马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系。惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。第二章质点动力学7※牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比。与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力F的方向相同。比例系数k与单位制有关。在国际单位制（SI制）中k=1。二、牛顿第二定律惯性质量引力质量其数学形式为２0物体之间的四种基本相互作用；1、关于力的概念１0力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，可使物体获得加速度。力的概念只是物质的相互作用在经典物理中的一种表述。第二章质点动力学830力的叠加原理若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。力的叠加原理的成立，不能自动地导致运动的叠加。2、关于质量的概念3、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定量关系１0质量是物体惯性大小的量度；２0引力质量与惯性质量的问题；调节引力常数Ｇ，使m引，m惯的比值为一惯性质量与引力质量等价。第二章质点动力学9三、牛顿第三定律1０作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的力，不是一对平衡力。2０作用力与反作用力是同一性质的力。3０若A给B一个作用，则A受到的反作用只能是B给予的。牛顿第三定律：当物理A以力作用在物体B上时，物理B也必定同时以力作用在物体A上，和大小相等，方向相反，且力的作用线在同一直线上，即*牛顿第三定律只在实物物体之间，且运动速度远小于光速时才成立。第二章质点动力学10四、牛顿定律的应用1、牛顿定律只适用于惯性系在直角坐标系在自然坐标系2、牛顿定律只适用于质点模型3、具体应用时，要写成坐标分量式第二章质点动力学11若F=常量，则若F=F(v)，则

若F=F(r)，则

４、要根据力函数的形式选用不同的方程形式运用举例：第二章质点动力学12MMMM1)物体M对地的加速度2)物体m对M的加速度3)物体m与M间的弹力N4)尖劈与桌面间的弹力R

解：分别以m,Ｍ为对象，选地为参考系a/

是m对M的加速度，aM是M对地的加速度所以m对地的加速度为例2-1质量为M的光滑尖劈，倾角为θ，置于光滑的水平桌面上，质量为m的物体放在尖劈的斜面上，求：※牛顿定律只适用于惯性系建立如图坐标，则am在X、Y轴上的分量分别为第二章质点动力学13由牛顿定律的坐标分量式方程可得对于m有对于Ｍ有m,Ｍ的受力图如下所示第二章质点动力学14联立得第二章质点动力学15例２－２图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体m1>m2>m3(m1>m2+m3)绳轻且不可伸长，滑轮质量不计，求每个物体对地加速度及绳中张力。解：设m2,m3对滑轮的相对加速度为a/，向下为Ｘ轴正方向,a1为m1对地加速度，则可得对m1对m3对m2AB对动滑轮为什么T2＝T2/第二章质点动力学16第二章质点动力学17例2－3一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为M的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量为m＝M/2，若人相对于绳以加速度a0向上爬，则人相对于地面的加速度是多少？解：分别以人、物为对象，受力图如下。mgTa0MgTaa则人对地的加速度为设物体向下的加速度为a由牛顿第二定律，有联立，得于是人对地的加速度为第二章质点动力学18※已知运动情况求力例2－4长l的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m的小球。使小球从悬挂着的铅直位置以水平初速度v0开始运动。用牛顿定律求小球沿逆时针方向转过

角时的角速度和绳中的张力

解：取小球为研究对象；小球受重力mg，及绳子的张力T

取自然坐标系，将重力mg、张力T沿、n方向分解.列方程第二章质点动力学19将①式两边同乘d

，并约去等式两边m可得对上式两边求积分有解得将v=l

代入②式第二章质点动力学20解：设向下为Ｘ轴正向，且由牛顿第二定律得例2-5在地球表面附近自由下落的物体，所受空气阻力与速率平方成正比，求其速度表示式※已知力求运动若令则有第二章质点动力学21故即讨论：第二章质点动力学221、

单位制：基本量、导出量

单位制的任务是：规定那些物理量是基本量及所使用的基本量的数量级。

七个基本量为

长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度从基本量导出的量称为导出量，相应的单位称为导出单位。五、国际单位制和量纲（自学提纲）2、量纲：通过物理定律、定理、定义等将某个物理量表示成某种单位制中基本物理量的方次。第二章质点动力学23

因为导出量是基本量导出的，所以导出量可用基本量的某种组合(乘、除、幂等)表示。这种由基本量的组合来表示物理量的式子称为该物理量的量纲式，例如：在SI制中第二章质点动力学24力的瞬时效应→加速度：牛顿定律力的积累效应──一、质点的动量定理１、动量的引入在牛顿力学中，物质的质量可视为常数故即§2-3冲量、动量、动量定理第二章质点动力学25１）式中 叫做动量，是物体运动量的量度。２）动量 是矢量，方向与相同。动量是相对量，与参照系的选择有关。 ２、冲量的概念１）恒力的冲量２）变力的冲量此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定

指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量力在某一段时间间隔内的冲量冲量的方向与力的方向相同作用力F＝恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量，第二章质点动力学2626在直角坐标系中的分量式②动量与惯性系的选取有关，而动量的增量与惯性系的选取无关。③动量定理的应用范围比牛顿第二定律更广泛。注意事项：①冲量是元冲量的矢量和，一般情况下，冲量的方向与外力方向不相同，也与动量的方向不同，而与动量的增量方向相同。即其表示：物体所受外力的冲量等于物体的动量的增量3、质点的动量定理第二章质点动力学27平均冲力概念１）峰值冲力的估算ff0tt+△tt

３）当相互作用时间极短时，相互间冲力极大，此时某些有限主动外力（如重力等）可忽略不计。

４、动量定理的应用２）当动量的变化是常量时，有第二章质点动力学28

例２－7作用在质量为1kg的物体上的力F=6t+3,如果物体在这一力的作用下，沿直线运动，则在0

2.0s时间内，这个力作用在物体上的冲量I=

2秒末物体的速度v=________________

第二章质点动力学29XYOBA例2－8质量为m的小球在向心力作用下，在水平面内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，如图所示。小球自A点逆时针运动到B点的半圆内，动量的增量应为：（A）（B）（C）（D）答（B）动量的增量为第二章质点动力学30

例2-9一火箭在均匀引力场中，以恒定速率u喷射气体，由静止上升。假定排出气体质量的增率为dm/dt=

m,其中m是火箭的瞬时质量，

是常数，再假定使火箭减速的空气阻力是bv（b为常数），求火箭的终极速度。

解：以t时刻火箭内的质量m和即将喷出的质量dm为一系统，以竖直向上为正方向，则

t时刻（t+dt）时刻运用动量定理在整理中略去高阶无穷小量dmdv

得第二章质点动力学31将代入，并整理，得显然，当时有终极速度，即第二章质点动力学32二、质点系的动量定理1、内力与外力

i质点所受的内力i质点所受合力2、i质点动量定理第二章质点动力学333、质点系的动量定理（对i求和）因为内力成对出现这说明内力对系统的总动量无贡献，但对每个质点动量的增减是有影响的。第二章质点动力学34质点系合外力的冲量=质点系动量的增量。

于是有或第二章质点动力学35三、动量守恒定律若系统所受的合外力系统总动量守恒

一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。

注意：动量守恒式是矢量式(1)守恒条件是而不是第二章质点动力学36

若，但若某一方向的合外力零，则该方向上动量守恒；

(3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中；

(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，而运用动量守恒。(2)若

表示系统与外界无动量交换，表示系统与外界的动量交换为零。则系统无论沿那个方向的动量都守恒；第二章质点动力学37

MMLM例２－10质量为Ｍ的木块在光滑的固定斜面上，由Ａ点从静止开始下滑，当经过路程Ｌ运动到Ｂ点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，立即陷入木块内，设子弹的质量为m，速度为v，求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度解：木块由Ａ至Ｂ过程，机械能守恒，木块在B点的末速度

以子弹，木块为一系统，沿斜面方向为Ｘ轴，则该方向上动量守恒。（图中f，f/为内力，支持力Ｎ在Ｘ方向中没有分力，重力在Ｘ方向中的分力可略去）第二章质点动力学38

为什么在水平方向动量不恒？因为此时约束反力Ｎ在水平方向的分力不为零子弹击中瞬间，Ｘ方向有第二章质点动力学39uuMMMABC例２－11三只小船的质量（包托载重）均为M，以相同速率v0在一条直线上航行。如中船的人以水平相对速率u将质量为m的两个小包同时分别投向前后两只船，不计水对船的阻力，求投后各船的速率解：解此题的关键是将质点系内各量统一到同一惯性系中。

以小船前进方向为正方向，设B船投出小包时的速度为v2,则分别投向A、C两船的小包的对地速度为

第二章质点动力学40

分别以A、C、B船及小包为对象，由水平方向动量守恒，可得

解得

第二章质点动力学41例2－12一质量m1=50kg的人，站在质量m=200kg长为L＝4m的船的船头上，开始时船静止。试求当人走到船尾时，船移动的距离。水的阻力不计。方向与人前进的方向相反。水平方向动量守恒

解：设人对船的速度为，船对静止水的速度为。第二章质点动力学42

一、功的概念功率1、恒力的功

即某力的功等于力与质点在该力作用下的位移的标积

(中学）力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘

积

由矢量标积定义式，有§2-４功动能势能机械能守恒定律第二章质点动力学43功值的图示法2、

变力的功１）元功

XYZObaL设质点沿X轴运动，则力Ｆ在区间x1,x2内做的功，即为图中有阴影部分的面积

物体在变力的作用下从a运动到b

b第二章质点动力学442)dA

在F-S图上的几何意义0absF(s)dA3）变力在一段有限位移上的功功的直角坐标系表示式因为功是标量，所以总功等于各方向上的分量之代数和。

dA=F（s）ds

，其在F－s图上即为有阴影的小方块的面积。说明：(1)功是标量，有正、负之分。(2)功是过程量，与初末位置及运动路径有关。第二章质点动力学45★一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关0所以一般情况下

式中为相对位移第二章质点动力学46３、功率

单位时间内所作的功称为功率

功率的单位：在SI制中为瓦特（w）

第二章质点动力学47物体m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.0xyzabz1z2mg

重力的功只由质点始、末位置来决定，而与所通过的路径无关.4、保守力的功

重力的功第二章质点动力学4848万有引力的功

由图知元位移

力函数

Mm第二章质点动力学49

弹簧弹性力的功力函数元位移oXo第二章质点动力学501)、保守力

如重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等均为保守力，即保守力沿任一闭合路径的功为零。abcc/

如果某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该力谓之保守力。第二章质点动力学51LmS+保守力的共同特征：a、力函数或为常数，或者仅为位置的函数；

b、保守力的功总是“原函数”增量的负值。

2)、非保守力若力的功值与具体路径有关,则为非保守力.如摩擦力、爆炸力等。第二章质点动力学52

例2－14一物体按x=ct3

规律在媒质中作直线运动，式中c为常量，t为时间，设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k，试求物体由x=0运动到x=l时，阻力所作的功。

解：速度

阻力为阻力对物体所作的功为：

第二章质点动力学53二、动能定理1、动能是一个独立的物理量，与力在空间上的积累效应对应。★这说明又，m为常数第二章质点动力学54★是质点作机械运动时所具有的运动量的量度，称之为动能★是状态量，相对量，与参照系的选择有关

2、动能定理或即，合外力的功等于物体动能的增量

合力对质点作用一段距离所产生的积累作用，从而导致动能的有限变化。第二章质点动力学55

动能与动量的区别引入两种度量作用第二章质点动力学56例２－１6一质量为m的质点，在力的作用下，由静止开始沿一轨迹方程为x2＝9y的曲线从原点０（０，０）运动到Ｑ（３，１）点。试求质点运动到Ｑ点时的速度。解：根据功的定义将x2＝9y代入上式得

根据动能定理：

第二章质点动力学57例2-17一个质量15g的子弹，以200米/秒的速度射入一固定的木板内，如阻力与射入木板的深度成正比，即且求子弹射入木板的深度。解：以m为研究对象，建立坐标系ox，设射入深度为OXm在射入深度为x时，由动能定理：第二章质点动力学58三、势能描述机械运动的状态参量是

对应于：

弹簧弹性力的功

万有引力的功重力的功

1、势函数为此我们回顾一下保守力的功第二章质点动力学59

由上所列保守力的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、终态的相对位置，故可引入一个由相对位置决定的函数由定积分转换成不定积分，则是

式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量

又由于功是体系能量改变量的量度。因此，这个函数必定具有能量的性质；而这个具有能量性质的函数又是由物体相对位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用ＥＰ表示。则有：第二章质点动力学602、已知保守力求势能函数

弹性势能：保守力的力函数若取坐标原点，即弹簧原长处，为势能零点，则c=0于是

重力势能

保守力的力函数若取坐标原点为势能零点，则c=0

第二章质点动力学61

引力势能保守力的力函数

若取无穷远处为引力势能零点，则

势能函数的一般特点rij1)对应于每一种保守力就可引进一种相关的势能2)势能大小是相对量与所选取的势能零点有关3)一对保守力的功等于相关势能增量的负值4)势能是彼此以保守力作用的系统所共有

第二章质点动力学62３、已知势能函数求保守力分布若保持y，z不变，则dy＝dz＝0同理则第二章质点动力学63例：求保守力函数第二章质点动力学64

势能曲线

将势能随相对位置变化的函数关系用一条曲线描绘出来，就是势能曲线。Ep(h)0(a)h重力势能曲线Ep(r)r0(c）引力势能曲线0(b)lEp(l)弹性势能曲线第二章质点动力学651、势能曲线能说明质点在轨道上任一位置时，质点系所具有的势能值。2、势能曲线上任一位置处的斜率（dEP/d

）的负值，表示质点在该点处所受的保守力。

设有一保守系统，其中一质点沿x方向作一维运动，则有

由教材中之图可知，凡势能曲线有极值时，即曲线斜率为零处，其受力为零。这些位置点即为平衡位置。

势能曲线有极大值的位置点是不稳定平衡位置，势能曲线有极小值的位置点是稳定平衡位置点

由势能曲线所获得的信息第二章质点动力学66四、质点系的动能定理与功能原理1、质点系的动能定理

质点系的内力和外力

对于单个质点

第二章质点动力学67

对i求和—质点系的动能定理

质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功、内部非保守力的功三者之和。第二章质点动力学68若引入(机械能）则可得

系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力功之和。2、功能原理由于内力总是成对出现的，而对每一对内部保守力均有

第二章质点动力学69２）功能原理只适用于惯性系（从牛顿定律导出）3)具体应用时，一是要指明系统，二是要交待相关的势能零点

注意的问题：１）功能原理是属于质点系的规律（因涉及ＥP），与质点系的动能定理不同质点系动能定理质点系功能原理4）当质点系内各质点有相对运动时，注意将各量统一到同一惯性系中第二章质点动力学70五、机械能守恒律由功能原理式可知机械能守恒的条件：系统与外界无机械能的交换系统内部无机械能与其他能量形式的转换

当系统机械能守恒时，应有

即系统内，动能的增量＝势能增量的负值若和,则系统的机械能保持不变。第二章质点动力学71六、能量转换与守恒

在一个孤立的系统内，各种形态的能量可以相互转换，但无能怎样转换，这个系统的总能量将始终保持不变。第二章质点动力学72

例2-18如图所示质量为M的物块A在离平板h的高度处自由下落，落在质量也是M的平板B上。已知轻质弹簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。解：从物块A自由下落到弹簧压缩到最大限度可分为三个物理过程：第二章质点动力学73

第三个