第二章-膨胀波课件

2.1微扰动的传播当弹丸在空气中以超音速飞行或者超音速气流围绕固定的弹丸时，如图所示，自弹丸头部以及其他部位发出的暗线，都是扰动传播的结果。显然，这种扰动是由于气流在弹体表面发生折转而形成的，扰动在超音速气流中传播开来就形成了这些暗线。随着弹丸运动或者气流流过弹丸，弹丸表面各点不断发出扰动，我们把这种连续发出扰动的点叫扰动源，将连续地发出微扰动的点叫微扰动源。现在考虑在静止均匀的气体中以速度V运动的微扰动源，其微扰动的传播速度为a，在某一瞬时t扰动的传播情况分以下四种：2.1微扰动的传播当弹丸在空气中以超音速飞行12.1微扰动的传播一、点扰动源的速度为零扰动以o点为球心往四面八方传播，如果扰动源以每隔一秒发出一个扰动，那么在t秒末就有t个同心的扰动球面。当时间足够长时，扰动就会遍及于全流场，如图(a)所示。二、点扰动源的速度为亚音速在t瞬时，扰动源运动到o点，要找在该瞬时扰动的传播情况。就是要找t以前扰动源所发出的扰动到t时传播的情况。当V<a时，扰动源发出的扰动，连续地布满全部空间。2.1微扰动的传播一、点扰动源的速度为零扰动以o22.1微扰动的传播三、点扰动源的速度等于音速用相样的方法可以作出t瞬时扰动的传播图形。因为V=a，2V=2a…所得的扰动球面均通过o点。且在o点与垂直于V的平面相切(见图c)，即扰动不能通过此平面，只能传播到扰动源所经过的那一边。该平面以左为作用区或扰动区，以右为寂静区。当V=a时，扰动连续地布满以通过扰动源垂直于V的平面为界的半空间。2.1微扰动的传播三、点扰动源的速度等于音速用相32.1微扰动的传播四、点扰动源的速度大于音速用同样的方法可以作出在t瞬时扰动的传播图形，因为V>a,2V>2a……所有的扰动球面均与一圆锥面相切。此圆柱面以o点为顶点，以V为轴，包围扰动源所经过的区域(如图d)。由此可见，当V>a时，扰动连续布满圆锥形空间。2.1微扰动的传播四、点扰动源的速度大于音速用同4求圆锥的母线与其轴的夹角μ，即圆锥的半顶角。由图看出2.1微扰动的传播OA为扰动空间和未扰动空间的分界面，叫微扰动波（马赫波），μ叫微扰动角（马赫角），也就是速度V与微扰动波的夹角。总结：(1)当V≥a时才出现马赫角；当V=a时μ=π/2；当V>a时，。(2)微弱扰动传播的区域：M<1时，微弱扰动可传播到整个区域；M≥1时，微弱扰动可传播到马赫锥以内的区域，马赫波和马赫锥只在超音速流场中存在。求圆锥的母线与其轴的夹角μ，即圆锥的半顶角。2.1微扰5

2.2膨胀波的形成及其特点一、膨胀波的形成设有流速为M的定常直匀超音速气流沿直壁AOB由左向流来，如图所示，略去壁面的摩擦作用，直壁AOB和气流完全平行，它对气流是不产生任何扰动的。现假定在壁面的o点有一微小毛疵，这毛疵会对流场产生一个极微弱的扰动，扰动的传播线是马赫线OL，OL和壁面之间的夹角是对应于M的马赫角μ。2.2膨胀波的形成及其特点一、膨胀波的形成62.2膨胀波的形成及其特点现在若壁面在O点不是一小毛疵，而是一微小外凸角dδ角。此时沿壁面流动的气流也就随着向外折转一个dδ角，继续沿壁面流动，折转点O为扰动源，气流经O点产生一道微弱扰动波OL，弱扰动波与波前气流的夹角也为μ，并且。2.2膨胀波的形成及其特点现在若壁面在O点不是一小72.2膨胀波的形成及其特点这说明超音速气流受外凸扰动时，流管截面积是增大的，此时气流速度必然要加速，同时压强、温度、密度等参数相应地降低。因此，超音速气流流经由微小外折角所引起的微弱扰动波是膨胀波。其中dδ—气流折转角，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。在图所示的情况下，dδ<0,故∠BOL=μ-dδ。由于,所以dA>0。气流向外折转时其截面面积要发生变化，变化量dA为2.2膨胀波的形成及其特点这说明超音速气流受82.2膨胀波的形成及其特点设想超音速气流在O点外折了一个微小角度dδ后，在O1、O2等一系列点，继续外折一系列微小的角度dδ1、dδ2‥‥‥。在壁面的每一个折转处，都产生一道膨胀波O1L1、O2L2‥‥‥，个膨胀波与波前气流方向的夹角为μ1μ2

‥‥‥，因气流每经过一道膨胀波，M数都有所增加，那么μ则逐渐减小，膨胀波沿流线越来越倾斜，是发散形的。根据极限的概念，曲线可以看成是由无数段微元折线所组成的。因此，超音速气流绕外凸曲壁流动的问题与上述问题的本质是相同的。曲壁上每一点都相当于一个折点，都有一道膨胀波，气流每经过一条膨胀波就折转一个微小的角度dδ，参数就发生一个微小的变化。经过无限多个微小量的变化后，参数将累积发生一个有限值的变化，并折转一个有限的角度δ。2.2膨胀波的形成及其特点设想超音速气流在O点外折91.定常直匀超音速气流绕外凸壁流动时，在壁面折转处必定产生一扇形膨胀波系，此扇形膨胀波系是由无限多的马赫波所组成。2.气流经过膨胀波系时气流参数是连续的变化(速度增大，压强、温度、密度相应减小)。3.气流穿过膨胀波系的流动过程是等熵的膨胀过程。气流穿过膨胀波系后，将平行于壁面流动，即气流方向朝着离开波面的方向转折。4.沿着膨胀波系中的任意一条马赫波，所有的气流参数相同，而且马赫波都是直线。5.对于给定的起始条件，膨胀波系中的任意一点的速度大小只与该点的气流方向有关或转折角的大小有关。二、超音速气流绕外凸壁流动的特点2.2膨胀波的形成及其特点1.定常直匀超音速气流绕外凸壁流动时，在壁面折转处必定产生一102.3膨胀波计算公式（一）膨胀波前后气流速度变化与折转角的相互关系设超音速气流以速度V流过一具有微小外凸角dδ的外凸壁，在折转处产生与波前气流方向V成μ角的膨胀波(如图)。在波上取一控制区“aa1bb1”，aa1和bb1与波面平行且无限接近，而ab1和a1b与波面垂直。波前气流参数为M、V、ρ、p、T，气流经过此波后折转了dδ角。波后气流参数为M1=M+dM，V1=V+dV，p1=p+dp，ρ1=ρ+dρ，T1=T+dT。为了分析方便．将速度V、V1分解成平行OL被面的Vt、V1t与垂直于OL波面的Vn、V1n。设m表示单位时间内通过OL波面的单位面积的质量。一、超音速气流小角向外折转（）2.3膨胀波计算公式（一）膨胀波前后气流速度变化与折转角的11根据连续方程展开并略去二阶小量，得或作用在控制面上的力在法向的分力为根据动量方程有(a)2.3膨胀波计算公式根据连续方程展开并略去二阶小量，得或作用在控制面上的力在法向12将代入上式，得将(a)代入上式得(b)由于，故有说明膨胀波前气流法向分速必等于当地音速。2.3膨胀波计算公式将代入上式，得将(a)代入上式得(b)由于13由于在平行波面方向上没有压强变化，因此作用在控制区表面上的合力在该方向的分量为零。根据动量方程即上式说明气流经过膨胀波时，在平行于波面方向上的分速Vt保持不变。可见式中dδ<0，将cos(μ-dδ)展开得由于dδ为无限小量，故，。(c)(d)(e)2.3膨胀波计算公式由于在平行波面方向上没有压强变化，因此作用在控制区14因故代入（e）式有此式就是超音速气流沿外凸壁流动的基本微分方程，也是膨胀波前后的流速变化关系式。二、膨胀波前后压强、密度、温度等变化与转折角流速变化关系式1.压强关系式根据微分形式的动量方程可求得超音速气流流过微小外凸角dδ后，膨胀前后的压强变化关系式。2.3膨胀波计算公式因故代入（e）式有此式就是超音速气流沿外凸壁流动的基本微分方15一维形式动量方程或者将式代入上式，得2.密度关系式根据音速公式可得膨胀波前后密度变化关系式所以2.3膨胀波计算公式一维形式动量方程或者将式代入上式，得2.密度关系163.温度关系根据音速公式可得膨胀波前后密度变化关系式由得代入压强关系式和密度关系式得说明：外凸角dδ越大，超音速气流折转后的压强、密度、温度下降越多；气流M数增大，等式右边分子项要随增大，而分母项要随气流M数增大，因此压强、密度、强度降低较或的比例为小。2.3膨胀波计算公式3.温度关系根据音速公式可得膨胀波前后密度变化关系式由172.3膨胀波计算公式二、超音速气流大角向外折转由前面的分析知，超音速气流大角向外折转时，在折转处要产生扇形膨胀波系。气流通过扇形区域过程，连续地向外折转，气流参数连续变化，所以此时膨胀过程可看作是等熵过程。为了导出气流的方向角δ和M数之间的变化。首先从超音速气流沿外凸壁流动的基本微分方程出发，即：为了积分上式。要知道V和M之间的关系，利用V=aM取对数积分得2.3膨胀波计算公式二、超音速气流大角向外折转182.3膨胀波计算公式而绝能等熵过程时，a0=常数，对上式积分整理得代入基本微分方程得积分得2.3膨胀波计算公式而绝能等熵过程时，a0=常数，对上式积192.3膨胀波计算公式令于是式中δ为气流流动的方向角，即气流速度方向对于x轴正向的倾角(规定逆时针方向为正，顺时针方向为负)。

ν(M)称为普朗特-迈耶(Prandtl-Meyer)函数，其值取决于气体性质(k值)和M数。显然，ν(M)的单位是角度单位。至于积分常数C_,可由已知的未被扰动气流的方向角δ1和Ml数来确定。即则有2.3膨胀波计算公式令于是式中δ为气流流动的方向角，即气流202.3膨胀波计算公式若M1=1得由此可见，普朗特-迈耶函数表示由M=1气流膨胀到M数大于1时的气流折转角，称之为普朗特-迈耶角。当最终M数为无限大时，普朗特-迈耶角为最大值。2.3膨胀波计算公式若M1=1得由此可见，普朗特-迈耶函数212.3膨胀波计算公式

如果超音速气流沿着如图所示的外凸壁面流动，则在折转处会产生右伸膨胀波系(由无限多的右伸马赫线所组成)。此时气流穿过每道膨胀波，折转角dδ是正的，因此用上述相同的方法可导得积分得或2.3膨胀波计算公式如果超音速气流沿着如图222.3膨胀波计算公式

由上式可见，在给定波前的气流参数的条件下，只需知道壁面的折转角就可确定ν(M2)，从而就可确定波后气流的马赫数M2。最后即可确定波后其它的气流参数。因此超音速气流绕外凸壁流动时，气流参数值的总变化只决定于波前气流参数和总共的折转角度，而与气流的折转方式无关。即不论是一次折转，还是多次折转，也不论是壁面突然折转还是经曲壁的逐渐折转，只要总的折转角度相同，其最后的参数值是相同的。设膨胀波系后的气流方向角为δ2，马赫数为M2。则对于右伸膨胀波系为2.3膨胀波计算公式由上式可见，在给定波232.3膨胀波计算公式例题：M数为1的均匀空气流绕外凸壁膨胀流动，气流按逆时针方向折转20，计算经膨胀波系后的最终M数。。解：因为初始来流M1=1，故，而气流穿过膨胀波系为逆时针方向折转，故此膨胀波系为右伸膨胀波系，有将带入上式，则得查表得2.3膨胀波计算公式例题：M数为1的均匀空气流绕外凸壁膨胀242.4微弱压缩波

如图所示，超音速直匀气流沿内凹壁AOB流动，壁面在O点向内折转一个微小的角度dδ，于是在折转处将产生一道马赫波OL，气流穿过波OL流动方向向内折转了一个微小的角度dδ（dδ>0）与壁面OB相平行，气流参数也发生一个微小的变化。从图上所示流管截面积的变化可以看出，通过波OL时，流管截面积是减小的。即这说明超音速气流受内凹扰动时，流管截面积变小，此时压强、温度、密度等参数将相应地增大。这种微弱扰动波就是微弱压缩波。2.4微弱压缩波如图所示，超音速直匀气流沿内252.4微弱压缩波但是超音速气流大角向外折转的处理方法对大角向内折转是不适用的。这是因为气流经压缩波是减速的，这样，每经过一道压缩波，气流已向内折转了一个角度，再加上μ角又是逐渐加大的，各压缩波将会相交聚集而成强压缩波(即激波)。有关激波的理论将在下一章详细研究。关于微弱压缩波后气流参数的计算，如果是左伸微弱压缩波仍用式：如果是右伸微弱压缩波仍用式2.4微弱压缩波但是超音速气流大角向外折转的处理方262.5波的反射和相交上面讨论的都是在流场中只存在单波系(左伸波系或右伸波系)的流动情况。但实际情况是，往往同时存在着左伸和右伸波系的问题。例如：膨胀波(或微弱压缩波)在固壁面或自由边界面上的反射、两族膨胀波(或微弱压缩波)的相交等问题。

为了简化对问题的讨论，把每个微小角度的折转所引起的膨胀波系用一条膨胀波来替代。这条膨胀波的方向由波前气流方向和波前马赫角来决定(当然也可以较为准确地用波前后平均气流方向和波前后平均马赫角来决定)，见图（a）。如果δ角较大，则实际存在的扇形膨胀区较大，再用一条波替代就欠准确，此时可把δ角分成几等分，由几条膨胀波来替代，见图（b）。2.5波的反射和相交上面讨论的都是在流场中只存在单波272.5波的反射和相交在每条膨胀波之间的狭小扇形区域中气流参数认为是均匀的，即气流参数的变化仅在膨胀波上发生。换句话说，每条膨胀波对应着一个气流折转角，在相邻两条膨胀波之间的区域中，气流的普朗特-迈耶角保持不变。2.5波的反射和相交在每条膨胀波之间的狭小扇形区域282.5波的反射和相交一、膨胀波的相交如图所示，气流在两壁面上的A及A’处分别外折δl及δu

。此时在折点A和A’

分别产生一条膨胀波，相交于B点。I区的气流经波AB和A’B进入Ⅱ、Ⅲ区，方向分别与A、A’后的上下壁面平行。如果继续保持这个方向流下去的话，则将在交点B以后会形成一个楔形真空区。但这是不可能的，气流将自行在此膨胀而布满此空间。因此，在B点也产生两道膨胀波BC和BC’，而且在波后Ⅳ区内上下两股气流又汇合在一起，根据平衡条件，两股气流应具有相同的方向、压强和速度。膨胀波相交仍为膨胀波。2.5波的反射和相交一、膨胀波的相交如图所示，气流在292.5波的反射和相交二、膨胀波在直固壁上的反射如图（a），Ⅰ区初始气流经膨胀波AB进入Ⅱ区，方向和A点以后的下壁面平行。由于上壁面是直的，故气流和上壁面之间会形成一个楔形真空区，这相当于Ⅱ区气流在B点又产生一条膨胀波BC，而波后气流又折转成与上壁面平行。新产生的波即为反射波。一般反射角并不等于入射角。如果上壁面在B点向内折δ角（如图b）

，使B点以后的壁面与Ⅱ区气流平行，不产生新膨胀波，即反射波消失。2.5波的反射和相交二、膨胀波在直固壁上的反射如图302.5波的反射和相交三、膨胀波在自由界面上的反射

如图所示，射流与外界静止气体间的边界就是一种自由边界。这种边界的特性是，在接触面两边的压强相等。若超音速射流出口压强P1大于外界环境压强Pa，则气流出口后经膨胀波AB和A’B外折